8
		7
		6
	с. Пфунда 5
	с.Брэкета	4
	с. Пашена
		3
с. Бальмера
с. Лаймана		2
	Рис. 43.1

Вопросы для повторения

1.Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной?

2.Что такое граница серии?

3.Почему из всевозможных спектральных серий атома водорода первой была изучена серия Бальмера?

4.Какой смысл имеют числа m и n в обобщенной формуле Бальмера?

5.Как с помощью постулатов Бора объяснить линейчатый спектр атома?

Глава 25. Элементы квантовой механики

§44. Фотоны

Было экспериментально доказано существование особых световых частиц — квантов (фотонов). Энергия фотонов определяется:

	ε = hν ,									(44.1)
где h ≈ 6,62 × 10-34 Дж • с — постоянная Планка
h / 2π = ħ ≈ 1.05 × 10-34 Дж • с
ε = h			2π			ν = ω ,				(44.2)
			2π
p = W =			ω		= 2π hν		=	h	.	(44.3)
		c
c						c		λ

Из теории относительности следует, что соотношение (44.1), (44.2) и (44.3) справедливы для частиц у которых масса покоя равна нулю.

Теория относительности:

1.Фотон – это частица, масса покоя которой равна нулю

2.Фотон является частицей, отличной от элементарных частиц.

Т.к. ω = 2 π c / λ, то для импульса фотона получаем:

p =

2π

= k ,

(44.4)

λ

или

19

p = k .

(44.5)

§45. Корпускулярно-волновой дуализм. Его экспериментальные проявле- ния. Гипотеза де Бройля

Гипотеза де Бройля. Любые частицы материи, наряду с корпускулярными, обладают также волновыми свойствами, т.е. с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики ( W , p ) , а с другой стороны связываются волновые харак-

теристики (λ , ν ).

ε = hν
p =	h .		(45.1)
	λ

Любой частице обладающей импульсом, сопоставим волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

	λде Бройля		=		h	.		(45.2)
					p
	Если частица не релятивистская, то импульс её будет определяться по формуле:
	p = mV .							(45.3)
	Если частица релятивистская, то:
	p =	m0V				,		(45.4)
		1− β 2
	где β = V / с.
	λнерелят. =			h			.	(45.5)
				mV

Наличие волновых свойств у элементарных частиц – это универсальное явление являющееся общим свойством материи. Волновые свойства должны быть присущи тогда и макроскопическим телам.

Рассмотрим шарик массой 1 г ( V = 1 м /с )

λ = h / p = h / mV ≈ 6,62 × 10-31 м/с

Волновые свойства макроскопического тела мы не можем наблюдать, т.к. λ этого макроскопического тела лежит за пределом области наблюдения.

Некоторые свойства волн де Бройля.

Vфаз =

ω

=

ω

=

ε

=

mc2

=

c2

.

(45.6)

k

p

p

mV

V

Формула (45.6) определяет фазовую скорость частицы, свободно двигающейся со скоростью V и обладающей массой m . с > V

Фазовая скорость может быть больше или меньше скорости света.

		E = m2c4	+ p2c2 .							(45.7)
		0
dE		pc2	pc	2	pc2	p		mV
Vгруп = dp	=	m02c4 + p2c2 =	E		= mc2	= m	=	m	=V .	(45.8)

Групповая скорость волн де Бройля равна скорости распространения частицы. Волны де Бройля испытывают дисперсию.

20

Vafp =	ω	=	m02c4 + p2c2 λ	= m02c4 + p2c2 λ .	(45.9)
	k		2πh

§46. Микрочастицы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Элементарные частицы (электроны, нейтроны, фотоны и др.), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекул, атомы, ядра атомов) называют микрочастицами.

Всякий микрообъект представляет собой образование особого рода. Ни видеть, ни обонять его нельзя.

При определенных условиях понятие траектории оказывается приближенно применимо к движению микрочастиц.

Можно обнаружить наличие микрочастиц (например, в камере Вильсона, когда при движении микрочастицы в перегретом пара в виде капелек тумана обнаруживаются следы движения микрочастиц или так называемые треки), или если рассмотрим движение электронов в электроннолучевой трубке.

Информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая за их взаимодействием с приборами, представляющими собой макротела. Результаты выражаются через динамические характеристики: импульс, энергию.

Одновременно для частицы нельзя зафиксировать точные измерения координат и импульсов. Говорят для микрочастиц о неопределенностях в определении координат или импульсов.

	x	px ≥	2
	y	py ≥	2 .	(46.1)
	z	pz ≥	2

Соотношение (46.1) называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше половины постоянной Планка.

A B ≥ 2 .

(46.2)

Следовательно, для х и р , а также для W и t можно записать

W t ≥	2 .	(46.3)
x px ≥	2

§47. Волновая функция

С 1900 по 1920 г - создание квантовой механики. Её создание связано с: 1) формулировкой М. Планком квантовой гипотезы в 1900 г; 2) работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

На этом этапе возникли новые принципиальные проблемы, например, проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. А согласно фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Т.е. число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом

21

амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина для микрочастиц также характеризуется неодинаковым распределением потоком микрочастиц по разным направлениям. Наличие max в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. А интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статической (вероятностной) закономерности.

Но волны де Бройля нельзя истолковывать как волны вероятности, т.к. тогда вероятность обнаружения частиц в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Реальная плоская волна распространяющаяся в направлении оси X, описывается уравнением:

ξ= Acos(ωt −kx)= Acos ωt − 2πx .

λ

Но

ω = E ,

а

λ = 2πph ,

тогда

ξ= Acos Et − 2πp ?

2π

или в комплексной форме:

Ψ = Aexp[(i )(px − Et)],

уравнение волны де Бройля для свободной частицы, где ψ – волновая или пси-функция. Правильную интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. М. Борн. По Борну:

dP = Ψ 2 dV = ΨΨ*dV .

(47.1)

(47.2)

(47.3)

(47.4)

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность (dP) того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV.

По волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности: Ψ(x,y,z,t).

∫ΨΨ dV =1.	(47.5)
V

(47.5) – условие нормировки.

Функции, удовлетворяющие условию (47.5), называют нормированными.

dVdP – плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: однозначность, непрерывность, конечность (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, непрерывность и конечность первой производной.

Из физического смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер.

22

С помощью волновой функции можно предсказать с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. В квантовой механике состояние микрочастиц описывается с помощью функции Ψ(x,y,z,t). Ψ является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах.

x

φ px

p = mV

Рис. 47.1

центральный Центральный max

x

Пусть частица свободно летит и встречает на своем пути щель ширины x, перпендикулярно распложенную к направлению движения частицы.

До прохождения щели импульс частицы Px, тогда Px = 0, а координата частицы совершенно не определена. В момент прохождения щели вместо полной неопределенности координаты появляется неопределенность x, за счет утраты определенности значения Px. Т.к. вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ,(где φ – угол, соответствующий первому дифракционному min, т.е.:

px = p sinϕ ,

	а
		sinϕ =			λ
					x
	(условие главного min: a sinϕ = mλ , a =	x ; тогда sinϕ =					λ	)
							x
		m =1.
	Следовательно:
		px = p			λ	,
					x
	а
		λ = 2π			,
		p
		.
	x	px = pλ = 2π .						(47.6)

Соотношение (47.6) по порядку величины согласуется с (47.1)

Соотношение неопределенностей Гейзенберга обусловлено корпускулярно-волновой природой микрообъектов и указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрообъектам.

Для макрочастицы размером 1 мкм неопределенности значений x и Vx оказываются за пределами измерения этих величин, так что ее движение будет практически неотличимо от движения по траектории.

Пример: Движение электрона в электронно-лучевой трубке.

Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус r=10-2 мм, длина трубки l = 100мм; тогда px/px ≈ 10-4м.

23