Дано:

Решение:

x = Acosωt

Возвращающая сила по определению:

А=5 см= 5 10−2 м

F = −kx = −Ak cosωt .

ω =

π

с−1

Потенциальная энергия при гармонических колебаниях определяет-

ся формулой:

12

kx2

kA2

F= –12 мН= −1,2

10

−2

Н

2

П =

2

= 2

cos ωt .

П=0,15 мДж=1,5 10−4

Дж

Возьмём отношение:

1) t-?

П

= −

A

cosωt .

2) ωt -?

F

2

Из этой формулы можно определить время:
			t =	1			−	2П
					arccos
				ω
								AF
И фазу:
							2П			=
			ωt = arccos			−
							AF
Ответ: 1) t=4 с; 2)	ωt =	π	рад.
		3

= 4 с.

π3 рад.

Занятие №27. Гармонические осцилляторы

Основные формулы

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник):

T = 2π	m	,	(1)
	k

где m - масса тела;

k - жёсткость пружины.

Формула (1) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника:

T = 2π	l	,	(2)
	g

где l - длина маятника;

g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника:

T = 2π	L	= 2π	J	,	(3)
	g		mga

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

L = J(ma) - приведённая длина физического маятника.

7

Приведённые формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближённые результаты. При амплитудах не

более ≈ 3 ошибка в значении периода не превышает 1%. Период колебаний тела, подвешенного на упругой нити:

T = 2π	J	,	(4)
	k

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью;

k - жёсткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Упругая сила:
F = – m A ω02 cos (ωоt + ϕ) = – m ω02 x.	(5)
Амплитуда упругой силы:
Fmax= - m A ω02 .	(6)

Примеры решения задач

Пример №1. Спиральная пружина обладает жёсткостью k=25 Н/м. Определите, тело какой массы m должно быть подвешено к пружине, чтобы за t=1 мин совершалось 25 колебаний.

Дано:	Решение:
k=25 Н/м	По определению период равен:
t=1 мин=60 с	T =	t	.
N=25		N
m-?

Период также может быть выражен через массу тела и жёсткость пружины: T = 2π mk .

Объединяя формулы, найдём массу:

	T 2			kt2
m = k			=		= 3,65	кг.
				4π2 N2
	2π

Ответ: m=3,65 кг.

Пример №2. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза.

Дано:

Решение:

m =600 г=0,6 кг	Период колебаний в первом случае:
T2 = 2T1		T		= 2π	m	.
m-?		1			k
Во втором:
	T	= 2π m +	m .
	2	k

Если взять отношение периодов, то жёсткость сократится и мы сможем выразить массу через известные величины:

8

T1	=	m + m	= 2 , 4m = m + m , m =	m	= 200 г.
T		m		3
2

Ответ: m=200 г.

Пример №3. На горизонтальной пружине жёсткостью k=900 Н/м укреплён шар массой M=4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m=10 г, летящая с горизонтальной скоростью υ0 =600 м/с и имеющая в момент удара скорость, на-

правленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нём. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

Дано:	Решение:
k=900 Н/м	Воспользуемся законом сохранения импульса:
M=4 кг			mυ0 = (M + m)υ.
m=10 г=10−2 кг	Выразим скорость υ:
υ0 =600 м/с					υ =			mυ	0	.
1) А-?							M + m
2) Т-?	Запишем закон сохранения энергии:
		(M + m)υ2				kA2
				=				.
	2				2

Выразим из него амплитуду колебания шара:

A =	m2	υ2	=	mυ		=10 см.
		0			0
	(M + m)k			(M + m)k

Теперь найдем период колебания шара:

(M + m)A2ω2	=	kA2	, ω =	k	, T =	2π	= 2π	M + m	= 0,419 с.
2				M + m		ω		k
	2

Ответ: 1) А=10 см; 2) Т=0,419 с.

Пример №4. На чашку весов массой M,подвешенную на пружине жёсткостью k, с высоты h падает небольшой груз массой m.Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определите амплитуду А этих колебаний.

Дано:

M k h m

A-?

Решение:

Запишем закон сохранения энергии для груза: m2υ12 = mgh .

Выразим скорость υ1 (скорость груза в момент удара):

υ1 = 2gh .

9

Воспользуемся законом сохранения импульса:

mυ1 = (m + M)υ.

Выразим скорость υ (скорость чашки с грузом после удара):

υ = m m+ M 2gh .

При ненагруженной чашке имеем:

Mg=kl.

l =

Mg

- начальное растяжение пружины.

k

1

x

(m + M)υ2 + (M + m)g(x0 −l) = ∫0 kxdx ,

2

l

где x0

- максимальное растяжение пружины.

1

(m + M)

m2

2gh

+ (M + m)g(x0

−l) =

1

k(x02

−l2 ) .

2

(m + M)2

2

Решаем уравнение относительно x0 :

x0 =

m

+ M

g

±

m2g2

+

2m2gh

.

k

k

2

(m

+ M)k

При нагруженной чашке:

(m+M)g=kl´.

′

=

(m + M)

g .

l

k

Найдём амплитуду:

A = x0 −l′ =

m2g2

2m2gh

.

k2

+

(m + M)k

	Ответ: A =	m2g2		+	2m2gh	.
		k	2		(m + M)k

Пример №5. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

	Дано:	Решение:
	l=35 см=0,35 м	Период колебаний физического маятника:
	ω = ωmax	T = 2π	J	.
			mgx
	x-?

Найдём частоту колебаний:

10

ω = 2π

=

mgx .

T

J

Момент инерции определим по теореме Штейнера:

J =

ml2

+ mx2 .

12

Подставим в формулу для частоты:

mgx

12gx

1

ω =

2

.

ml2

=

+12x2

+ mx

2

l2

12

Искомое расстояние x найдём из равенства нулю производной:

dω =

3g (l2 −12x2 ) = 0 , l2 −12x2

= 0 , x =

l

=10,1 см.

dx

x(l2 +12x2 )3

2

3

Ответ: x=10,1 см.

Пример №6. Маятник состоит из стержня (l=30 см, m=50 г), на верхнем конце которого укреплён маленький шарик (материальная точка массой m′=40 г), на нижнем – шарик (R=5 см, M=100 г). Определите период колебания этого маятника около горизонтальной оси, проходящей через точку О в центре стержня.

Дано:

l=30 см=0,3 м m=50 г=0,05 кг m′=40 г=0,04 кг R=5 см=0,05 м M=100 г=0,1 кг

T-?

Решение:

Запишем формулу для периода физического маятника:

T = 2π	J	,
	mобщgd

где d – расстояние между центром стержня и центром масс маятника: d=OC.

Используя теорему Штейнера, найдём момент инерции J:

ml2

l

2

2

2

l

2

J =

+ m′

+

MR

+ M

+ R .

12

5

2

2

Масса маятника:

′

+ M .

mобщ = m + m

Для центра масс имеет место равновесие:

l

l

md + m′

+ d

= M

−d + R .

2

2

Находим d:

11

	l			′	l
	M		+ R
				− m	2
d =	2						.
	m		′
			+ m + M

Подставляя выражения для J, d и mобщ в формулу для периода, получаем итоговую формулу:

ml2 T = 2π 12

	l	2			2		2		l			2
+ m′			+			MR		+ M				+ R
	2				5				2			.
			l					′	l
g M					+ R
							− m		2
			2

Подставляя данные величины, находим:

Т=1,24 с.

Ответ: Т=1,24 с.

Пример №7. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=0,2 мГн и конденсатора площадью пластин S=155 см², расстояние между которыми d=1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину волны λ=630 м, определите диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора.

Дано:

L=0,2 мГн= 2 10−4 Гн S=155 см²=1,55 10−2 м² d=1,5 мм=1,5 10−3 м

λ=630 м

ε-?

Решение:

Электрическая ёмкость плоского конденсатора: C = ε0dεS .

Период колебаний в колебательном контуре: T = 2π LC .

Длина волны определяется формулой:

λ = cT = 2πc L ε0dεS .

Выразим ε:

	λ 2		d
ε =					.
			ε0LS
	2πс

Подставляя известные величины из условия задачи, получаем: ε=6,11.

Ответ: ε=6,11.

Пример №8. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в n=2 раза. Определите работу, совершённую против сил электрического поля.

12