§2 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция называется выпуклой на , если для любого , то

Определение 2.2

Функция называется вогнутой на , если для любого , то

Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция , заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция , заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию - окружность радиусом R.

1.

2.

3. Исследуем знак, где .

- критические точки.

0. выпуклая вогнутая

Ответ: 1. при функция выпуклая;

2. при функция вогнутая.

§3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при или при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции имеет вид: y=kx+b, где , .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

k= b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид: y=kx+b, где k= и b=

§4 Пример

Исследовать функцию в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем: и

Найдем О.Д.З. функции:

О.Д.З. О.Д.З.

Функция возрастает при

убывает при

2. Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,

Ответ: функция возрастает при

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , ..

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.

16