ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИВМиИТ (ВМК)
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби. Метод нижней релаксации»
Работу выполнил:
студент 3 курса 09-315 группы
Халиков Роман Радиевич.
Работу проверила:
Глазырина Людмила Леонидовна.
“___”_______________ 2015 г.
______________
(подпись)
Казань
2016
Оглавление
Постановка задачи. 3
Решение задачи. 4
Метод Якоби. 4
Метод нижней релаксации. 7
Вывод. 10
Листинг программы. 11
Список используемой литературы. 13
Постановка задачи.
Дана система линейных уравнений следующего вида:
(1)
где:
Необходимо
найти значения
.
Для этого воспользуемся итерационными
методами Якоби и нижней релаксации. Для
метода нижней релаксации нужно найти
оптимальный параметр
.
Этот параметр найдем экспериментальным
путем.
Решение задачи.
Метод Якоби.
Общий вид метода Якоби:
Вектор
вычисляем путем последовательного
вычисления каждой следующей итерации
на основе предыдущей.
Для системы (1) метод Якоби запишем следующим образом:
Будем искать каждую следующую итерацию, пока не выполнится условие:
где
В
качестве начального приближения берём
нулевой вектор:
Теорема сходимости: если в системе выполняется диагональное преобладание, то метод Якоби сходится от любого начального приближения.
Матрица А называется матрицей с диагональным преобладанием, если:
Результаты
вычислений для системы (1) при
:
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,1 |
0,026549007 |
0,026546747 |
0,00000226 |
|
0,2 |
0,049004386 |
0,049000116 |
0,000004269 |
|
0,3 |
0,058641021 |
0,058635265 |
0,000005756 |
|
0,4 |
0,055952674 |
0,055946065 |
0,000006608 |
|
0,5 |
0,044790577 |
0,044783895 |
0,000006682 |
|
0,6 |
0,029973603 |
0,029967512 |
0,000006091 |
|
0,7 |
0,015925612 |
0,015920719 |
0,000004893 |
|
0,8 |
0,00580027 |
0,005796919 |
0,000003351 |
|
0,9 |
0,000863885 |
0,000862246 |
0,00000164 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Количество итераций: 142
Результаты
вычислений для системы (1) при
:
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,025 |
0,004061624 |
0,004061621 |
0,000000002 |
|
0,05 |
0,010039869 |
0,010039864 |
0,000000005 |
|
0,075 |
0,016719638 |
0,016719631 |
0,000000007 |
|
0,1 |
0,023506528 |
0,023506519 |
0,000000009 |
|
0,125 |
0,03003907 |
0,030039059 |
0,000000011 |
|
0,15 |
0,036081346 |
0,036081333 |
0,000000014 |
|
0,175 |
0,041477398 |
0,041477383 |
0,000000016 |
|
0,2 |
0,046127192 |
0,046127174 |
0,000000017 |
|
0,225 |
0,049972092 |
0,049972073 |
0,000000019 |
|
0,25 |
0,052985236 |
0,052985215 |
0,000000021 |
|
0,275 |
0,055164682 |
0,05516466 |
0,000000022 |
|
0,3 |
0,05652829 |
0,056528266 |
0,000000024 |
|
0,325 |
0,057109712 |
0,057109688 |
0,000000025 |
|
0,35 |
0,056955171 |
0,056955145 |
0,000000026 |
|
0,375 |
0,056120779 |
0,056120753 |
0,000000027 |
|
0,4 |
0,054670276 |
0,054670249 |
0,000000027 |
|
0,425 |
0,052673076 |
0,052673048 |
0,000000028 |
|
0,45 |
0,050202555 |
0,050202528 |
0,000000028 |
|
0,475 |
0,047334546 |
0,047334518 |
0,000000028 |
|
0,5 |
0,044145973 |
0,044145945 |
0,000000028 |
|
0,525 |
0,040713639 |
0,040713612 |
0,000000027 |
|
0,55 |
0,037113106 |
0,03711308 |
0,000000027 |
|
0,575 |
0,033417683 |
0,033417657 |
0,000000026 |
|
0,6 |
0,029697482 |
0,029697457 |
0,000000025 |
|
0,625 |
0,026018555 |
0,026018531 |
0,000000024 |
|
0,65 |
0,022442079 |
0,022442056 |
0,000000023 |
|
0,675 |
0,019023608 |
0,019023586 |
0,000000022 |
|
0,7 |
0,015812353 |
0,015812333 |
0,00000002 |
|
0,725 |
0,012850517 |
0,012850498 |
0,000000019 |
|
0,75 |
0,010172654 |
0,010172637 |
0,000000017 |
|
0,775 |
0,007805064 |
0,007805049 |
0,000000016 |
|
0,8 |
0,005765213 |
0,005765199 |
0,000000014 |
|
0,825 |
0,004061171 |
0,004061159 |
0,000000012 |
|
0,85 |
0,002691079 |
0,002691069 |
0,00000001 |
|
0,875 |
0,001642625 |
0,001642617 |
0,000000009 |
|
0,9 |
0,000892544 |
0,000892537 |
0,000000007 |
|
0,925 |
0,00040612 |
0,000406115 |
0,000000005 |
|
0,95 |
0,000136717 |
0,000136713 |
0,000000003 |
|
0,975 |
2,53E-05 |
2,53E-05 |
0,000000002 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Количество итераций: 3726