Метод нижней релаксации.
Общий вид метода нижней релаксации:
где
.
Вектор
вычисляем путем последовательного
вычисления каждой следующей итерации
на основе предыдущей.
Для системы (1) метод нижней релаксации выглядит следующим образом:
Будем находить каждую следующую итерацию до тех пор, пока не выполнится условие:
Возьмем
в качестве начального приближения
нулевой вектор:
Необходимо найти такой параметр
,
при котором количество итераций будет
наименьшим.
|
|
Кол-во итераций |
|
0,05 |
2838 |
|
0,1 |
1382 |
|
0,15 |
897 |
|
0,2 |
654 |
|
0,25 |
508 |
|
0,3 |
411 |
|
0,35 |
342 |
|
0,4 |
290 |
|
0,45 |
249 |
|
0,5 |
217 |
|
0,55 |
190 |
|
0,6 |
168 |
|
0,65 |
149 |
|
0,7 |
133 |
|
0,75 |
119 |
|
0,8 |
107 |
|
0,85 |
96 |
|
0,9 |
87 |
|
0,95 |
78 |
Наименьшее
число итераций равно 78 при
.
Полученные
вычисления по методу нижней релаксации
для данной
при
:
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,1 |
0,026549007 |
0,026546257 |
0,00000275 |
|
0,2 |
0,049004386 |
0,048999487 |
0,000004898 |
|
0,3 |
0,058641021 |
0,058634757 |
0,000006264 |
|
0,4 |
0,055952674 |
0,055945892 |
0,000006781 |
|
0,5 |
0,044790577 |
0,044784073 |
0,000006505 |
|
0,6 |
0,029973603 |
0,029968012 |
0,000005591 |
|
0,7 |
0,015925612 |
0,015921352 |
0,00000426 |
|
0,8 |
0,00580027 |
0,00579752 |
0,000002751 |
|
0,9 |
0,000863885 |
0,000862608 |
0,000001277 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Таблица
значений
при
:
|
|
Кол-во итераций |
|
0,05 |
30303 |
|
0,1 |
14760 |
|
0,15 |
9579 |
|
0,2 |
6988 |
|
0,25 |
5434 |
|
0,3 |
4398 |
|
0,35 |
3657 |
|
0,4 |
3102 |
|
0,45 |
2670 |
|
0,5 |
2325 |
|
0,55 |
2042 |
|
0,6 |
1807 |
|
0,65 |
1607 |
|
0,7 |
1436 |
|
0,75 |
1288 |
|
0,8 |
1159 |
|
0,85 |
1045 |
|
0,9 |
943 |
|
0,95 |
852 |
Наименьшее
число итераций равно 852 при
.
Полученные
вычисления по методу нижней релаксации
для данной
при
:
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,025 |
0,004061624 |
0,004061621 |
0,000000003 |
|
0,05 |
0,010039869 |
0,010039864 |
0,000000005 |
|
0,075 |
0,016719638 |
0,01671963 |
0,000000008 |
|
0,1 |
0,023506528 |
0,023506518 |
0,00000001 |
|
0,125 |
0,03003907 |
0,030039058 |
0,000000012 |
|
0,15 |
0,036081346 |
0,036081332 |
0,000000015 |
|
0,175 |
0,041477398 |
0,041477382 |
0,000000017 |
|
0,2 |
0,046127192 |
0,046127173 |
0,000000019 |
|
0,225 |
0,049972092 |
0,049972072 |
0,00000002 |
|
0,25 |
0,052985236 |
0,052985213 |
0,000000022 |
|
0,275 |
0,055164682 |
0,055164659 |
0,000000024 |
|
0,3 |
0,05652829 |
0,056528265 |
0,000000025 |
|
0,325 |
0,057109712 |
0,057109686 |
0,000000026 |
|
0,35 |
0,056955171 |
0,056955144 |
0,000000027 |
|
0,375 |
0,056120779 |
0,056120752 |
0,000000028 |
|
0,4 |
0,054670276 |
0,054670248 |
0,000000028 |
|
0,425 |
0,052673076 |
0,052673047 |
0,000000028 |
|
0,45 |
0,050202555 |
0,050202527 |
0,000000029 |
|
0,475 |
0,047334546 |
0,047334517 |
0,000000028 |
|
0,5 |
0,044145973 |
0,044145945 |
0,000000028 |
|
0,525 |
0,040713639 |
0,040713611 |
0,000000028 |
|
0,55 |
0,037113106 |
0,037113079 |
0,000000027 |
|
0,575 |
0,033417683 |
0,033417657 |
0,000000026 |
|
0,6 |
0,029697482 |
0,029697457 |
0,000000025 |
|
0,625 |
0,026018555 |
0,026018531 |
0,000000024 |
|
0,65 |
0,022442079 |
0,022442056 |
0,000000023 |
|
0,675 |
0,019023608 |
0,019023586 |
0,000000022 |
|
0,7 |
0,015812353 |
0,015812333 |
0,00000002 |
|
0,725 |
0,012850517 |
0,012850498 |
0,000000019 |
|
0,75 |
0,010172654 |
0,010172637 |
0,000000017 |
|
0,775 |
0,007805064 |
0,007805049 |
0,000000015 |
|
0,8 |
0,005765213 |
0,005765199 |
0,000000014 |
|
0,825 |
0,004061171 |
0,004061159 |
0,000000012 |
|
0,85 |
0,002691079 |
0,002691069 |
0,00000001 |
|
0,875 |
0,001642625 |
0,001642617 |
0,000000008 |
|
0,9 |
0,000892544 |
0,000892537 |
0,000000007 |
|
0,925 |
0,00040612 |
0,000406115 |
0,000000005 |
|
0,95 |
0,000136717 |
0,000136713 |
0,000000003 |
|
0,975 |
2,53E-05 |
2,53E-05 |
0,000000002 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Вывод.
Метод нижней релаксации работает эффективнее метода Якоби, но дает чуть более высокую погрешность при вычислении.