- •Федеральное государственное автономное
- •Решение задачи. Табулирование.
- •Составная квадратурная формула левых прямоугольников.
- •Составная квадратурная формула трапеций.
- •Составная квадратурная формула Симпсона.
- •Составная квадратурная формула Гаусса.
- •Листинг программы.
- •Список используемой литературы
Составная квадратурная формула трапеций.
Квадратурная формула трапеций представляется следующим образом:
где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:
Оценка погрешности:
Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:
где .
Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:
Оценка погрешности:
Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи квадратуры трапеций:
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0,4 |
0,396462 |
0,396461 |
0,00000047 |
64 |
0,8 |
0,772096 |
0,772095 |
0,00000077 |
128 |
1,2 |
1,108047 |
1,108047 |
0,00000065 |
256 |
1,6 |
1,389181 |
1,389179 |
0,00000173 |
256 |
2 |
1,605413 |
1,605412 |
0,00000045 |
512 |
2,4 |
1,752486 |
1,752485 |
0,0000008 |
512 |
2,8 |
1,832097 |
1,832096 |
0,0000012 |
512 |
3,2 |
1,851401 |
1,8514 |
0,00000093 |
512 |
3,6 |
1,821948 |
1,821947 |
0,00000043 |
512 |
4 |
1,758203 |
1,758203 |
0,00000071 |
512 |
Составная квадратурная формула Симпсона.
Квадратурная формула Симпсона представляется следующим образом:
где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:
Оценка погрешности:
Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:
где .
Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:
Оценка погрешности:
Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи квадратуры Симпсона:
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0,4 |
0,396462 |
0,396462 |
0 |
2 |
0,8 |
0,772096 |
0,772096 |
0,00000012 |
4 |
1,2 |
1,108047 |
1,108048 |
0,00000055 |
4 |
1,6 |
1,389181 |
1,389181 |
0,00000027 |
8 |
2 |
1,605413 |
1,605413 |
0,00000042 |
8 |
2,4 |
1,752486 |
1,752486 |
0,00000059 |
8 |
2,8 |
1,832097 |
1,832098 |
0,00000066 |
8 |
3,2 |
1,851401 |
1,851402 |
0,00000109 |
8 |
3,6 |
1,821948 |
1,821949 |
0,00000113 |
8 |
4 |
1,758203 |
1,758203 |
0,0000006 |
8 |
Составная квадратурная формула Гаусса.
Квадратурная формула Гаусса представляется следующим образом:
где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:
Оценка погрешности:
Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:
где .
Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:
Оценка погрешности:
Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи квадратуры Гаусса:
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0,4 |
0,396462 |
0,396461 |
0,00000008 |
2 |
0,8 |
0,772096 |
0,772095 |
0,00000084 |
2 |
1,2 |
1,108047 |
1,108047 |
0,00000039 |
4 |
1,6 |
1,389181 |
1,38918 |
0,00000048 |
8 |
2 |
1,605413 |
1,605413 |
0,00000011 |
8 |
2,4 |
1,752486 |
1,752485 |
0,00000043 |
8 |
2,8 |
1,832097 |
1,832096 |
0,00000086 |
8 |
3,2 |
1,851401 |
1,8514 |
0,00000062 |
8 |
3,6 |
1,821948 |
1,821948 |
0,00000001 |
8 |
4 |
1,758203 |
1,758203 |
0,00000021 |
8 |
Вывод.
Результаты вычислений показали, что с помощью выбранных составных квадратурных формул возможно вычисление интеграла с заданной точностью. При этом квадратурная формула Гаусса и Симпсона имеют наибольшую скорость вычисления.