3 семестр ЭКТ / Учебники и методички / Криволинейные интегралы - МГТУ им. Н. Э. Баумана

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

21

4. Потенциальные и безвихревые поля на плоскости

4.1. Основные определения

Напомним, что градиент плоского скалярного поля U ( x, y) – это векторное поле F = ∂∂Ux i + ∂∂Uy j . Как известно, градиент скалярного поля U ( x, y) в каждой

точке ортогонален линии уровня12 поля U ( x, y) , проходящей через эту точку. Вихрем или ротором плоского векторного поля G( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j

в данной точке			M 0 называется плотность циркуляции этого поля в этой
точке, т.е.
rotG			= lim	1		G dl ,
				S (D) ∫
		M 0 def D→M 0
					∂D

где запись D → M 0 означает, что область D стягивается в точку M 0 , т.е. что M 0 D и δ ( D) → 0 , где δ (D) – диаметр13 множества D, S (D) – площадь области D.

Заметим, что ротор плоского векторного поля представляет собой скалярное поле. Ротор векторного поля показывает степень его «закрученности». Положительные значения ротора (вихря) означают закрученность в положительном направлении (против часовой стрелки), отрицательные значения ротора (вихря) – закрученность в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

С помощью формулы Грина можно доказать, что в любой точке ротор плоского поля равен

rotG = ∂Q − ∂O .

∂x ∂y

Тогда саму формулу Грина можно кратко записать так:

∫ G idl = ∫∫rotG dxdy .

∂D

D

Заметим также, что для любого скалярного поля U ( x, y) , чьи смешанные частные производные второго порядка непрерывны,

rot ( grad U ) ≡ 0	(9).
Векторное поле F = P( x, y)i + Q( x, y) j	называется потенциальным в

области Ω R2 , если оно является градиентом некоторого скалярного поля

12линия уровня скалярного поля U ( x, y) – линия, вдоль которой это поле сохраняет постоянное значение. Семейство линий уровня задается уравнением U ( x, y) = C , где C = const .

13Диаметр множества D – это точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точками

множества D, т.е. δ (D) = sup AB . Диаметр существует у любого ограниченного множества, а в

A, B D

случае замкнутого множества в определении диаметра точную верхнюю грань можно заменить на

максимум: δ (D) = max AB .

A, B D

		С.К.Соболев. Криволинейные интегралы	22
U ( x, y) , F = gradU , т.е. во всех точках области 5 справедливы равенства
∂U	= P( x, y),	∂U = Q( x, y) .
∂x		∂y

Потенциал такого поля определяется однозначно с точностью до аддитивной постоянной, т.е. если F = grad U1 = grad U 2 , то

U1( x, y) − U 2 ( x, y) ≡ C = const .

Вызывает интерес случай, когда плоское векторное поле, заданное в некоторой односвязной или многосвязной области Ω R2 таково, что во

	всех точках области 5 rot F = 0 , т.е. выполняется тождество	∂Q	−	∂P	≡ 0
		∂x		∂y

Такое векторное поле называется безвихревым в области 5. Очевидно, что в силу (9), всякое потенциальное плоское поле на плоскости является безвихревым. Обратное не всегда верно.

Y			Y
	Г2				Г1
	Г1	В
					Г2
	А	Г3			Г3
0	5	X	0	5	X
Рис. 15(а)					Рис. 15(б)
Пусть в некоторой		области Ω R2	даны две	точки А и В. Два

ориентированных пути Г1 и Г2, ведущих из точки А в точку В, или два замкнутых контура Г1 и Г2 в области 5, называются эквивалентными относительно области 5, если один из этих путей можно непрерывной деформацией преобразовать в другой, не выходя из области 5. Если эти два пути не имеют общих точек, кроме А и В, то это равносильно тому, что замкнутый контур Г = Г1 − Г2 , ограничивает область D, целиком лежащую в 5. Замкнутый контур Г называется эквивалентным нулю относительно области 5, или стягиваемым к нулю. Если область 5 односвязна, то для любых её точек А и В любые два пути, ведущие из А в В эквивалентны, и любые два замкнутых пути тоже эквивалентны.

Например, на рис. 15(а) в области 5 из точки А в точку В ведут три пути: Г1, Г2 и Г2, причем первые два пути эквивалентны между собой относительно области 5, но не эквивалентны третьему. На рис. 15(б) в области 5 лежат три замкнутых контура Г1, Г2 и Г2, из которых последние два эквивалентны между собой относительно области 5, но не эквивалентны первому. Первый контур можно стянуть в точку относительно 5, а второй и третий – нет.

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

23

4.2. Свойства плоских потенциальных и безвихревых полей.

Теорема 2. Пусть в области Ω R2 задано плоское потенциальное поле F ( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j т.е. такое, что для некоторого скалярного поля U ( x, y) (потенциала поля F) в области / справедливы тождества:

∂U	≡ P( x, y),	∂U	≡ Q( x, y) ,
∂x		∂y

и частные производные функций P( x, y) и Q( x, y) непрерывны в области /. Тогда:

(а) векторное поле F является безвихревым в области /, т.е. ∂Q − ∂P ≡ 0 ;

∂x ∂y

(б) циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю;

(в) работа поля по любому пути в области /, ведущему из точки А в точку В, не зависит от формы пути и равна разности потенциалов:

B	B
∫F idl = ∫P( x, y)dx + Q( x, y)dy = U (B) − U ( A) .		(10)
A	A

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для криволинейных интегралов.

В этом случае применяют и несколько иную терминологию. Тот факт, что

векторное поле F ( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j		потенциально и имеет потенциал
U ( x, y) означает, что форма	P( x, y)dx + Q( x, y)dy			является полным
дифференциалом некоторой	функции,	а	именно U ( x, y) , т.е.
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = dU , поэтому теорему 2			можно	переформулировать

так:

криволинейный интеграл от полного дифференциала по любому замкнутому контуру равен нулю:

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ dU = 0 ,

Г Г

а по незамкнутому пути не зависит от формы пути, соединяющего две данные точки А и В, и вычисляется по формуле: Ньютона – Лейбница:

B B

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ dU = U (B) − U ( A) .

A A

Следующая теорема описывает свойства плоских безвихревых полей.

Теорема 3. Пусть в области Ω R2 задано плоское безвихревое векторное поле G( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j , т.е. во всех точках области / выполняется

тождество ∂Q − ∂P ≡ 0 . Тогда:

∂x ∂y

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

24

(а) Если два пути Г1 и Г2 эквивалентны относительно области /, то работа поля G по пути Г1 равна работе поля G по пути Г2:

Г1 ~Ω Г2 ∫ G idl = ∫ G idl ;

Г1 Г2

(б) Если замкнутый контур Г лежит в области / и его можно стянуть в ноль относительно области /, то циркуляция поля G по контуру Г равна нулю;

(в) если область / односвязна, то поле G( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j потенциально, и поэтому обладает всеми свойствами потенциального поля.

4.3. Нахождение потенциала и вычисление работы плоского потенциального поля

Если в односвязной области 5. векторное поле G( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j является безвихревым, то это поле потенциально. Покажем, как надо находить потенциал такого поля.

Первый способ. Взять любую точку P( x0; y0 ) ,						Y
						y				M
в которой будем считать, что U (P) = 0 , и тогда
потенциал в		другой произвольной			точке
M ( x, y)	равен работе поля G по любому пути					x0	P			N
(расположенному в области 5), ведущему от Р к
										X
М, например, по отрезку прямой РМ,					или по
						0			x
двухзвенной ломаной PNM,			где отрезки PN и				Рис. 16
NM параллельны координатным осям. Если,
например, отрезок PN параллелен оси ОХ, а NM параллелен оси OY, см. Рис.
16, то точка N имеет координаты N ( x; y0 ) , и тогда:
			M	N	M
	U ( M ) = U ( x; y) = ∫ Gidl = ∫ Gidl + ∫ Gidl =
			P	P	N
	x		y
	= ∫ P(t, y0 ) dt + ∫ Q( x, t ) dt						(11).
	x0	y0
Второй	способ. Поскольку			для	искомого		потенциала U ( x, y)
∂U ≡ P( x, y), ∂U		≡ Q( x, y) ,	то	U ( x, y) = ∫ P( x, y) dx = F ( x, y) + C( y) . Для
∂x	∂y

y =const

нахождения функции C( y)	надо найти	∂U = ( F ( x, y) )′	y	+ C′( y)
		∂y

приравнять последнее выражение функции Q( x, y) , откуда найти C′( y) , после интегрирования – и саму функцию C( y) .

Пример 8. Проверить, что векторное поле F = ( x2 − 2 y)i + ( y3 − 2x) является потенциальным во всей плоскости, и найти его потенциал.

и

а

j

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

25

Решение. Здесь P( x, y) = x2 − 2 y, Q( x, y) = y3 − 2x , поле определено во всех

точках плоскости,	∂Q	= −2 =	∂P и поэтому поле F является безвихревым, и
	∂x		∂y
поскольку вся плоскость R 2 , очевидно односвязна, то и потенциальным.
Применим первый способ. Возьмем, например,				P(0; 1) . Тогда, по формуле
(11),
x		y	x	y

U ( x, y) = ∫ P(t,1) dt + ∫Q( x, t ) dt = ∫(t 2 − 2) dt + ∫ (t3 − 2x) dt =

0 1 0 1

= (	1 t 3 − 2t )		t = x	+ ( 1 t 4		− 2xt )	t = y	= 1 x3	− 2x + 1	y4	− 2xy − 1
	3		t =0	4			t =1	3	4		4
= 1 x3		− 2xy + 1		y4 +	1 .
3		4			4

+ 2x =

Поскольку потенциал определен с точностью до произвольной аддитивной постоянной, то U ( x, y) = 13 x3 − 2xy + 14 y4 + C .

Применим второй способ. Для потенциала U ( x, y) выполняются равенства:

∂U	= P( x, y) = x2 − 2 y,	∂U	= Q( x, y) = y3 − 2x .
∂x		∂y

Тогда:

U ( x, y) = ∫ P( x, y) dx			y =cos t = ∫( x2 − 2 y )dx							y =cos t = 1 x3 − 2xy + C( y).
Далее,										3
∂U = ( 1 x3 − 2xy + C( y) )′				= −2x + C′( y) = Q( x, y) = y3 − 2x ,
∂y	2		y
Откуда C′( y) = y3 C( y) = 1					y4
						+ C .
				4
Итак, потенциал U ( x, y) =				1 x3	− 2xy + 1 y4 + C .
				3		4
	Работу плоского безвихревого (в частности, потенциального) в области 5
поля F ( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j						по некоторому пути из точки А в точку В

можно найти также двумя способами.

Первый способ. Взять произвольный наиболее удобный путь из точки А в точку В, эквивалентный данному пути относительно области 5, например, отрезок прямой, или ломаную АСВ, звенья которой параллельны координатным осям (если поле потенциально, то выбираем любой путь из А в В, можно и не эквивалентный данному). В последнем случае, если точка А и В имеют координаты A( x1; y1), B( x2; y2 ) и например, отрезок АС параллелен оси ОY, а СВ параллелен OХ, то точка С имеет координаты C( x1; y2 ) , и тогда:

	С.К.Соболев. Криволинейные интегралы			26
B	B	C ( x1; y2 )	B( x2 ; y2 )
∫P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫F idl = ∫			F idl + ∫	F idl =
A	A	A( x1; y1 )	C ( x1; y2 )	(12)
y2	x2
= ∫ Q( x1, y)dy + ∫ P( x, y2 )dx.
y1	x1

Второй способ. Если потенциал U ( x, y) данного векторного поля F еще не известен, то его следует найти (лучше вторым способом). Если потенциал U ( x, y) уже известен, то

B B

∫P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫F idl = U (B) − U ( A) .

A A

Упражнение 5. Напишите формулу для вычисление работы потенциального поля первым способом по ломаной АСВ, если отрезки АС и СВ параллельны осям ОХ и OY соответственно.

Пример 9. Вычислить интеграл второго рода

∫( x2 − 2 y)dx + ( y3 − 2x)dy

Г

по дуге Г окружности, проходящей через начало координат, от точки A(1; 2) до точки B(4; −1) .

Решение. Векторное поле F = ( x2 − 2 y)i + ( y3 − 2x) j , как мы уже убедились в примере 8, потенциально на всей плоскости, или, на другом языке, подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Поэтому данный интеграл (работа поля F) по пути из точки А в точку В) не зависит от формы пути. Вычислим этот интеграл по ломаной АСВ, где C(1; − 1) , см. Рис. 17, с помощью формулы (12):

B(4; −1)

−1

4

∫( x2 − 2 y)dx + ( y3 − 2x)dy = ∫ ( y3 − 2) dy + ∫( x2 + 2) dx =

A(1; 2) 2 1

= ( 1	y4	− 2 y )	y=−1 + ( 1 x3		+ 2x )	x=4 = 29	1 .
4			y =2	3		x=1	4

Проверим наши вычисления по формуле Ньютона – Лейбница. Потенциал данного векторного поля F мы также уже нашли в том же примере 8:

U = 1 x3	− 2xy +	1	y4 . Значит,
3	4
B(4; −1)			B

∫( x2 − 2 y)dx + ( y3 − 2x)dy = ∫ dU = U (B) − U ( A) =

A(1; 2)

A

= U (4; −1) − U (1; 2) = 29 14 .

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

27

4.4.Вычисление циркуляции плоского безвихревого поля

вмногосвязной области

Пусть векторное поле G( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y) j является безвихревым во

всех точках некоторой односвязной плоской области 5, кроме нескольких
особых точек P , P ,..., P , в которых данное поле не определено. Согласно
1 2	n

свойству (1), циркуляция данного поля по любому замкнутому контуру, один

раз охватывающему только одну из этих точек P	в положительным
k

направлении (против часовой стрелки), равна одному и тому же значению Ck , называемому циклической постоянной этого поля в данной точке. Чтобы вычислить эту постоянную, надо взять достаточно маленький контур простой формы, например, окружность, охватывающую только эту точку. Для произвольного замкнутого контура Г надо определить, сколько раз и в

	каком направлении (положительном или
	отрицательном) он обходит каждую из
	особых	точек	Рk.	Тогда		циркуляция по		P3
	этому контуру равна:
	∫
	G idl = n1		C1 + n2 C2 + ... + nk Ck ,
	Г							P2
	где Ck	– циклическая			постоянная		особой
								Г
	точки	P ,	а	n	–	целое	число
								P1
		k		k
	(положительное, отрицательное или ноль),
	равное	числу обходов			контура Г		вокруг	Рис. 18

точки P , k = 1, ..., n .

k

Например, на Рис. 18 замкнутый контур Г два раза охватывает точку Р1 в положительном направлении, ноль раз охватывает точку Р2, и один раз точку Р3 в отрицательном направлении. Если особые точки Р1, Р2 и Р3 безвихревого поля G имеют циклические постоянные С1, С2 и С3 соответственно, то циркуляция поля G по контуру Г равна:

∫ G idl = 2 C1 + 0 C2 − 1 C3.

Г

Пример 10. Найти работу векторного поля

	F =	3x − y	i +	x + 3y	j
		x2 + y2		x2 + y2

вдоль замкнутой кривой L x = 1 + 2 cos t, y = sin 2t , 0 ≤ t ≤ 2π в направлении возрастания параметра t.

Решение. Данное векторное поле определено во всех точках плоскости XOY, кроме начала координат. Для этого поля

∂Q	x + 3 y ′			y2 − 6xy − x2	3x − y		′	∂P
	=		=		=		=		,
∂x				( x2 + y2 )2
	x2 + y2		x		x2 + y2		y	∂y

		С.К.Соболев. Криволинейные интегралы				28
поэтому	оно	является	безвихревым в	Y
двусвязной области R 2			{O} . Данная
линия L имеет форму расположенной					L
горизонтально		восьмерки (как символ		0		3
бесконечности) и является одной из так				–1	1	X
называемых фигур Лиссажу14 (см. Рис.
19), она	охватывает начало координат				Рис. 19
один	раз	в	отрицательном

направлении15.

Вычислим циклическую постоянную поля F в начале координат, т.е. работу поля F по окружности Г радиуса 1 с центром в начале координат, при обходе её в положительном направлении: x = cos t, y = sin t, t изменяется от t = 0 до t = 2π . Тогда

P = 3cos t − sin t, Q = cos t + 3sin t, dx = − sin t dt, dy = cos t dt ,

поэтому, циклическая постоянная равна

					2π
C = ∫	3x− y	dx +	x+3 y	dy =	∫ ((3cos t − sin t)(− sin t) + (cos t + 3sin t) cos t )dt =
	x2 + y2		x2 + y 2
Г					0
2π

= ∫ 1 dt = 2π .

0

Следовательно, циркуляция этого поля по контуру L равна −C = −2π .

Если область 5, в которой задано плоское безвихревое векторное поле, не односвязна, то можно рассмотреть её некоторую односвязную подобласть 51,

	и в ней, по теореме 3, данное поле уже будет потенциальным.
	Пример 11.	Рассмотрим	векторное	поле F =	3x − y	i +	x + 3y	j	из
					x2 + y2		x2 + y2
	предыдущего	примера в	области 51,	заданной неравенством x > 0 .					Эта

область односвязна, и поэтому данное безвихревое поле в нем потенциально. Можно проверить, что потенциалом поля F в данной области является

функция

U ( x, y) =

3

ln (x2

+ y2 )+ arctg

y

,

поскольку

∂U =

3x − y

,

2

x

∂x x2 + y2

∂U

=

x + 3y

. Поэтому работу

данного

поля по любому замкнутому

∂y

x2 + y2

14 Фигура Лиссажу – траектория, прочерчиваемая точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, т.е. это плоская линия, заданная параметрически уравнениями вида x = a cos(mt + ϕ ), y = b cos(nt +θ ) , где a, b, m, n, ϕ , θ – параметры. Фигуры Лиссажу удобно наблюдать на осциллографе.

15 Методы исследования и построения плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах, с применением элементарной математики, теории предела и дифференциального исчисления, изложены в работе [5] В первом приближении эту кривую можно построить по точкам.

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

29

контуру, расположенному в области 51, равна нулю, а работа по любому пути из точки А в точку В, целиком лежащему в 51, не зависит от формы пути и может быть найдена по формуле Ньютона – Лейбница. Например,

B(2; 2)

∫

3x− y

x+3 y

dx +

dy = U (2; 2)

− U ( 3;

− 1) =

x2 + y2

x2 + y2

A( 3; −1)

=

3 ln 8 + arctg1 − 3 ln 4 + arctg

1

= 3 ln 2 +

5

π .

12

2

2

3

2

Ответы к упражнениям:

d

2

1. ∫ f ( x, y) dl = ∫ f ( x( y), y ) 1 + (x′y ) dy

L c

2.d = 2πR .

3.F = ∫µ( x, y, z) E ( x, y, z) dl .

	L
			d
4.	∫G( x, y) idl = ∫ Pdx + Qdy = ∫(P( x( y), y) x′( y) + Q( x( y), y)) dy.
	L	L	c
	B( x2 ; y2 )		x2	y2
5.	∫	P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ P( x, y1)dx + ∫ Q( x2 , y)dy.
	A( x1; y1 )		x1	y1

Контрольные вопросы

1.Дайте определение криволинейного интеграла первого рода.

2.Сформулируйте свойства криволинейного интеграла первого рода.

3.Какие геометрические приложения имеет криволинейный интеграл первого рода?

4.Какие физические приложения имеет криволинейный интеграл первого рода?

5.Как вычисляется криволинейный интеграл первого рода вдоль линии, заданной: (а) параметрически; (б) явно на плоскости; (в) в полярных координатах?

6.Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.

7. Зависит ли от ориентации кривой: (а) интеграл первого рода; (б) интеграл второго рода?

8.Сформулируйте свойства криволинейного интеграла второго рода.

С.К.Соболев. Криволинейные интегралы

30

9.Что такое (а) связная плоская область; (б) односвязная плоская область? Приведите примеры.

10.Что такое циркуляция векторного поля? Как она обозначается?

11.Сформулируйте теорему Грина.

12.Какие приложения имеет формула Грина.

13.Что такое: градиент скалярного поля? Какими свойствами он обладает?

14.Что такое ротор плоского векторного поля?

15.Как можно записать формулу Грина с помощью ротора?

16.Что такое потенциальное векторное поле?

17.Что такое безвихревое плоское векторное поле?

18.Какие два пути называются эквивалентными относительно данной плоской области?

19.Какими свойствами обладает плоское потенциальное векторное поле?

20.Какими свойствами обладает плоское безвихревое векторное поле?

21.Что такое потенциал векторного поля? Для каких векторных полей существует потенциал? Какие способы его нахождения вы знаете?

22.Напишите формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла. В каком случае она справедлива?

23.Чем отличаются: «криволинейный интеграл второго рода от полного дифференциала» и «работа потенциального векторного поля»?

24.Какие способы вы знаете вычисления криволинейный интеграл второго рода от полного дифференциала по незамкнутому пути.

25.В каких случаях циркуляция векторного поля заведомо равна нулю?

26.Что такое циклическая постоянная плоского безвихревого векторного поля? Где она применяется?

Литература.

1.Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Серия «Математика в техническом университете», вып. 9. М.: МГТУ, 2001.

2.Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Вся высшая математика. Т. 4. М.:

УРСС, 2000.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2. М.: Дрофа, 2003.

4.Мельников Д.А., Неклюдов А.В., Титов К.В. Криволинейные и поверхностные интегралы. Методические указания к выполнению типового расчета. МГТУ, 2002.

5.Соболев С. К., Ильичев А. Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 80 с.