90

Математический анализ

(третий семестр)

Курс лекций для специальности

1-31 03 06-02 Экономическая кибернетика

(информационные технологии в экономике)

Минск 2014

Оглавление

Оглавление 2

Часть1. Кратные и криволинейные интегралы, теория поля 4

Лекция 1. Двойной интеграл 4

Задача об объеме цилиндрического тела. 4

Двойной интеграл 4

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат 6

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла 8

Лекция 2. Приложения двойного интеграла 8

Приложения двойного интеграла 9

Замечание о несобственных двойных интегралах 12

Лекция 3 Тройной интеграл 14

Задача о массе пространственного тела 14

Свойства тройного интеграла 15

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат 16

Лекция 4. Приложения тройного интеграла 17

Замена переменных в тройном интеграле 17

Приложения тройного интеграла 18

Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства 19

Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода 19

Свойства криволинейного интеграла первого рода 20

Вычисление криволинейного интеграла первого рода 21

Криволинейный интеграл 2 рода 22

Свойства криволинейного интеграла 2 рода 23

Вычисление криволинейного интеграла второго рода 23

Лекция 6. Формула Грина 24

Вычисление площади области по формуле Грина 25

Полный дифференциал и его вычисление 26

Формула Ньютона – Лейбница 27

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой 28

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала 28

Формула Грина для многосвязной области 29

Лекция 7. Поверхностные интегралы 31

Задача о массе поверхности 31

Свойства поверхностного интеграла первого рода 31

Вычисление поверхностного интеграла первого рода 32

Поверхностный интеграл второго рода 33

Запись поверхностного интеграла второго рода 34

Лекция 8. Скалярное и векторное поля 35

Скалярные поля. 36

Векторное поле 37

Формула Остроградского – Гаусса 37

Лекция 9 Формула Стокса 41

Часть 2. Числовые и функциональные ряды 49

Лекция 10. Числовые ряды и их свойства 49

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то . 50

Критерий Коши сходимости ряда 50

Свойства сходящихся рядов 50

Лекция 11 Знакоположительные ряды 52

Интегральный признак Коши 53

Признаки сравнения рядов 54

Признак Даламбера 56

Радикальный признак Коши 58

Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах 59

Лекция 12. Знакопеременные ряды 60

Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах. 60

Теорема Римана. 63

Знакочередующиеся ряды 65

Признак Лейбница. 65

Функциональные ряды 66

Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды 66

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. 67

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. 68

Лекция 14. Степенные ряды 70

Теорема Абеля. 70

Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда 71

Лекция 15. Ряд Тейлора 75

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций 75

Применение степенных рядов 77

Ряды Фурье. 79

Лекция 16. Задача о наилучшем приближении 79

Задача о наилучшем приближении в Н (гильбертовом пространстве) 80

Лекция 17. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций 83

Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье 85

Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке 86