3 семестр ЭКТ / Учебники и методички / Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

УМФ – семинар – К 5 – 3

Задание на самостоятельную работу:

1)

№ 349. Пользуясь формулой Даламбера, найти решение задачи Коши:

u(x, 0) = x,

x

(

, +

);

utt − uxx = αxt,

x

(−∞, +∞), t (0, +∞);

ut(x, 0) = sin x,

x

(−∞, +∞).

Ответ:

−∞

∞

u(x, t) = x + sin x sin t +

α

xt3.

6

2)

№ 445. Доказать что в случае, когда f(x, t) ≡ 0

а) из нечётности ϕ(−x) = −ϕ(x) и ψ(−x) = −ψ(x) функций ϕ и ψ следует, что

u(0, t) = 0;

б) из чётности ϕ(−x) = ϕ(x) и ψ(−x) = ψ(x) функций ϕ и ψ следует, что ux(0, t) =

0.

3)

№ 371. Найти общее решение уравнения:

2uxx − 5uxy + 3uyy = 0.

Ответ:

u(x, t) = f1(3x + 2y) + f2(x + y),

где f1,2 – произвольные дважды диффе-

ренцируемые функции.

4)

III. Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t = 0,

1

,

1

,

9

, 3

, 5

,

4a

если её колебания описываются задачей Коши:

4a

2a

a

a

u(x, 0) = ϕ(x),

x

(

, +

);

(6.5)

utt − a2uxx = 0,

x

(−∞, +∞), t (0, +∞);

ut(x, 0) = ψ(x),

x

(−∞, +∞),

−∞

∞

где функция

ψ(x) ≡ 0,

афункция ϕ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.

5)IV. Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t = 0, 41a , 21a , a1 , a2 , a4 , если её колебания описываются задачей Коши:

u(x, 0) = ϕ(x),	x		(	, + );	(6.6)
utt − a2uxx = 0,	x		(−∞, +∞), t (0, +∞);
ut(x, 0) = ψ(x),	x		(−∞, +∞),
		−∞		∞

где функция

ϕ(x) ≡ 0,

афункция ψ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.

6)№ 446. Доказать что в случае, когда ϕ(x) ≡ ψ(x) ≡ 0

а) из нечётности f(−x, t) = −f(x, t) функции f по x следует, что u(0, t) = 0;

c Д.С. Ткаченко

-11-

УМФ – семинар – К 5 – 3

б) из чётности f(−x, t) = f(x, t) функции f по x следует, что ux(0, t) = 0. 7) № 372. Найти общее решение уравнения:

2uxx + 6uxy + 4uyy + ux + uy = 0.

x−y

Ответ: u(x, t) = f1(y − x) + f2(2x − y)e 2 , где f1,2 – произвольные дважды дифференцируемые функции.

c Д.С. Ткаченко

-12-