2. Определенный интеграл

Вычислить определенные интегралы.

	3		x3 +1
2.1. ò								dx .
			x		2	- x
	2
	2/3					x3 -1
2.3.	ò									dx .
					x	2			3
	0					- 4x +
	1/ 2					x3 + 2x2 + 3
	ò
2.5.											dx .
				(x -1)(x - 2)(x -3)
	0
	1/ 2						1- x
2.7.	ò			x2 ln					dx .
							1+ x
	0

2

2.9. òx2 ×4 - x2 dx .

0
	5								dx
2.11.	ò													.
5					x ×		25- x2
			3
	2									)
1	1+ 2										2
									x
2.13. ò	(											dx .
					3
						x
0
0

2.15. ò (x2 + 5x + 6)cos2xdx .

−2 0

2.17. ò(x2 + 4x + 3)cos xdx .

−1
8					3x + 4
2.19. ò											dx .
				x	2	-8x +15
6
e2			ln2 x
	2.21. ò						dx .
1					x
3		2						x
2.23. ò				xarctg					dx .
		9						3
0
1

2.25. ò x2e−x / 2dx .

−1 1

2.27. òarctgxdx .

	0
	16
2.29. ò			256 - x2 dx .
	0
	5/ 2			x2dx
2.31.	ò					.
	0			25- x2
	arctg3			dx
	ò
2.33.							.
				(3tg x + 5)sin2x
	π/ 4

4		3x3 +1
2.2. ò													dx .
		x			2			-1
2
1			2x3 + 5
2.4. ò																dx .
		x	2				- x - 2
0
1
					x +					2 + 2
2.6. ò																		dx .
		x
0				-						x + 2
5													dx
2.8. ò																					.
3		(4 + x2 )× 4 + x2
	4
							16 - x2
2.10. ò																			dx .
								5x				2
	3
	1/ 2								x5dx
2.12.	ò																.
	0							1- x4
	1
				3 1+ 4 x
2.14. ò																	dx .
											x
	0
	0

2.16. ò (x2 - 4)cos3xdx .

−2

3

2.18. ò(x2 -3x)sin2xdx .

0
2				x + 2
2.20. ò						dx .
		11+ 2x - x2
1
e
2.22. ò				×ln2 xdx .
		x
1
1

2.24. ò(1+ 5x - x2 )e−xdx .

0

0

2.26. ò (x2 + 2)ex / 2dx .

−2 1

2.28. ò(x +1)ln2 (x +1)dx .

0

3

2.30. ò x2 ×9 - x2 dx .

	−3
	π/ 2	2 + 3sin x
	2.32. ò
			dx .
		sin x -sin x× cos x
	π/3

15

					π/ 4															2ctg x +1
2.34.					ò																																dx .
								4						(2sin x + cosx)																					2
	arccos
								17
	arctg1/3																			8+ tg x
2.35.					ò																																dx .
										18sin										2				x			+ 2cos					2		x
					0
	π/ 2																	x
	ò					32sin6
2.37.																				dx .
																		3
	0
	π/ 4															dx
2.39.	ò																													.
						sin				2			x + 5cos															2
	0																												x
	π/ 4															3dx															.
2.41.	ò
						3sin						2			x			+			4cos								2
	0																													x
	2arctg							1
								2				1+ sin x
2.43.					ò																								dx .
										(1-sin x)																		2
					0
		8								dx
2.45.	ò																					.
					x×						x2 +1
		3
		3			arctg x + x
2.47.	ò																						dx .
						1+ x									2
	0
	1/ 2				8x - arctg2x
2.49.	ò																											dx .
								1+ 4x											2
	0
	1				15
														x + 3
2.51.	ò																										dx .
															2
					(x + 3)													×					x
	1/8
	π/ 4 2tg2 x -11tg x - 22
2.53.	ò																																	dx .
															4 - tg x
	0
	π/3															tg2 xdx
2.55.	ò																																		.
						3sin						2			x			+			4cos								2	x - 7
	0
	8					5
											x + 24
2.57. ò																											dx .
																2
			(x + 24)															×						x
	1
	π/3
2.59.	ò tg x×lncos xdx .
	0

2.36.ò 2 + tg x dx .

π/6 3sin2x

π/ 4π/ 4

2.38.	ò tg5 xdx .
	0
	0								dx
2.40.	ò														.
				cos			2	x + ctg					2
	−π/ 4													x
	2π/3					1		+ sin x
2.42.	ò																dx .
				1+ cos x + sin x
	0
	π/ 4								dx
2.44.	ò																.
			cos x×(1+ cos x)
	0
	1					xdx
2.46. ò												.
			x		4	+ x			2	+1
	0

ò 1- x

2.48.dx .

1 x ×(x +1)3

	2.50. 1/ò			2 (arccosx)3											-1		dx .
			0					1- x2
		π/ 2		xcos x + sin											x
	2.52.	ò														dx .
				2
		π/ 4			(xsin x)
		π/3			tg2 x
		ò
	2.54.													dx .
				4 + 3cos2x
		0
		2		x3dx
	2.56. ò									.
		0		1+ x2
		2			dx
	2.58. ò											.
					2		)			2
		0	(4 + x
		2			x4 +1
	2.60. ò												dx .
			x	3	×(x	2	+				1)
		1

Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку.

∞

−

∞

3/ 2

x

dx

2.61. ò

e

dx .

2.62. ò

(arctg x)

.

2

1

x

0

1+ x

∞

x

∞

dx

2.63. òx2e−

dx .

2.64. ò

.

2

x

2

+ x - 2

0

2

∞ arctg x dx

∞

dx

2.65. ò

.

2.66. ò

.

x

2

(x

2

+1)

2

1

1

16

∞						4xdx
2.67. ò																			.
	(x			2	+ 3)(x						2				+ 5)
1
∞					dx
2.69. ò															.
	x		2	+ 3x + 2
3
∞					dx
2.71. ò															.
	x		2	+ 5x + 6
1
0								dx
2.73. ò																					.
		(x			2	+1)(x							2			+ 4)
−∞
∞
2.75. ò	arctg xdx									.
	2
0			1+ x
∞
2.77. òe−x2 × x3dx .
0
∞				dx
2.79. ò												.
	(x			2					2
1					+1)x
∞			2
2.81. ò	ln			x		dx .
				2
1		x
∞		xdx
2.83. ò								.
	x		4	-1
2
0								dx
2.85. ò																					.
		(x			2	+1)(x							2			+ 4)
−∞
∞								dx
2.87. ò																				.
	(1+ x					2		)arctg									2
1																		x
∞			dx
2.89. ò								.
	x		3	+1
0

∞

dx

2.68. ò

.

x

2

1

+ x

∞

−

1

e

x

2.70. ò

dx .

x

2

1

∞

xdx

2.72. ò

.

(x

2

+1)

3

0

0

dx

2.74.

ò

.

x

2

+ 6x +12

−∞

∞

dx

2.76. ò

.

x

2

-3x + 3

0

∞

dx

2.78.

ò

.

x

×

x2 +1

2

∞

−

1

e

2

2.80. ò

x

dx .

x

3

1

∞

dx

2.82. ò

.

(x

2

+ 4)(x

2

+

9)

0

0

dx

2.84.

ò

.

x

2

−∞

+ 5x + 7

∞

2.86. òe−3x dx .

	0
	∞	ln xdx
	2.88. ò		.
		2
	1	x
	∞

2.90. òx2 ×e−x3 dx .

0

Вычислить несобственные интегралы от неограниченных функций.

4						dx
2.91. ò										.
		3 (4 - x)2
2
1
2.93. òln2 xdx .
0
3					2xdx
2.95. ò											.
		(x			2	-1)		2/3
1
1
		e		x
2.97. ò							dx .
0					x
1								dx
2.99. ò													.
0	(1					- x2 )arcsin x

1
				1+ x
2.92. ò								dx .
				1- x
0
2					dx
2.94. ò											.
1	x× ln x
1						dx
2.96. ò																.
	3 (1- x)2
0
0					xdx
2.98. ò													.
−3					9 - x2
	2								2dx
2.100. ò																		.
						(x -1)(2 - x)
	1

17

2.101.

2.103.

2.105.

2.107.

2.109.

2.111.

2.113.

2.115.

2.117.

2.119.

1

(1- x)3 dx

ò

.

0

x

0

3x2 + 2

ò

dx .

3

x

2

−1

2

dx

ò

.

x×

x -1

1

π/ 4

lnsin

x

ò

dx .

2

0

cos

x

1

òln3 xdx .

0

1 arccos x

ò

dx .

1- x

0

1

x2dx

.

ò0 1- x2

π

dx

ò

.

1+ cos x

3π/ 4

3

xdx

ò

.

(x -1)(3- x)

1

1

ò(x +1)ln xdx .

0

3

xdx

2.102. ò

.

2

5x - 6 - x2

3

dx

2.104. ò

.

1

4x - x2 -3

4

xdx

2.106. ò

.

2

6x - x2 -8

2

x - 2

2.108. ò

dx .

x -1

1

1

x2 - 2x + 2

2.110. ò

dx .

0

1- x

1

x2

2.112. ò

dx .

1- x

0

1

x3dx

2.114. ò

.

0

1- x2

1

arcsin x

2.116. ò

dx .

−1

x +1

4

x + 2

2.118. ò

dx .

x - 2

2

5

dx

2.120. ò

.

1

(10 - x)×

x -1

18

Исследовать на сходимость интегралы.

∞

dx

2.121. ò

.

1+ x3

0

∞

−x

2.123. ò

e

dx

.

x

1

∞

xdx

2.125. ò

.

4

2

x

+1

∞

sin

x

2.127.

ò

dx .

π/ 2

x

1

2/ π

sin x dx

2.129.

ò

.

x

0

1

exdx

2.131. ò

.

0

1- x3

1

dx

2.133. ò

.

x

0 e

-1

∞ xarctg x

2.135. ò

dx .

3

1

+ x

4

0

1

ex

2.137. ò

dx .

0

1- cos x

	∞					dx
2.122. ò													.
			3
						3
	2				x			-1
	∞ sin xdx
2.124. ò										.
					x			2
	1
	∞
2.126. òe−x2 dx .
	0
	π/ 2			dx
2.128.	ò								.
				cos x
	0
	1							p									dx
2.130. òcos													×						.
							1- x										- x)	2
	0												(1
	1				cos x
2.132. ò																dx .
	0				x -sin x
	π/ 2
2.134.	ò ln(sin x)dx .
	0
	1				sin x
2.136. ò															dx .
			2x			2		+
	0												x
	1 sin x + cos x
2.138. ò																	dx .
				5
								1- x					3
	0

2

ln 1+

5

x

3

(

)

2.139. ò

dx .

sin x

-1

0

e

2

x2 +1

2.141. ò

dx .

3

16 - x

4

1

∞

x

arctg x

2.143. ò

dx .

0

1+ x3

1

1- x2

2.145. ò

dx .

x

0

∞

xcos x

2.147. ò

dx .

3

0

1+ x

π/ 2

sin

x

2.149. ò

dx .

0

x

x

∞											dx
2.140. ò																			.
					x		2	+1
1															+ sin x
							1
2.142. òsin x dx .
1
0						x
1			tg xdx
2.144. ò													.
0				1- x2
∞				xe−x
2.146. ò															dx .
				1+ x2
0
1		arcsin									x
2.148. ò														dx .
0							x3
2								xdx
2.150. ò																		.
			3
					4x - x										2	-3
1

19