МДЗ №2
Оформил студент группы МП-21
Яковлев Евгений Сергеевич
№ 1 (18.25)
Доказать тождество: ( + BC)(+ AC)( + AB)= ABC +
Так как событие отождествляется с множеством, то над событиями А, В и С можно совершать операции, которые можно выполнять над множествами.
Решение:
-
Перемножаем первые две скобки и получаем:
( + C + C + ABCC)(+AB)
По закону дополнения:
По закону идемпотентности: CC=C
Получаем: ( + ABC)(+AB)
-
Перемножим оставшиеся скобки:
+ AB + ABC + ABCAB Используя законы из 1-го пункта:
По закону дополнения второе и третье слагаемое приравнивается к 0, а по закону идемпотентности, четвертое равно ABC.
Следовательно, что равенство ( + BC)(+ AC)( + AB)= ABC + тождественно. Что и требовалось доказать.
№ 2 (18.40)
Условие:
Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке ниже
Событие Ak = {элемент с номером k вышел из строя}, где k = 1, 2, 3, 4, 5,
событие B = {разрыв цепи}.
Выразить событие B в алгебре событий A1, A2, A3, A4, A5.
Решение:
Разрыв цепи означает, что между точками S и F не будет тока. Значит, в каждой ветви цепи должен выйти из строя один из элементов, чтобы ток не мог пройти.
-
Произойдет разрыв верхней ветви цеп, если выйдет из строя 1 или 2 элемент, либо оба одновременно.
-
Точно также и произойдет разрыв нижней ветви, если выйдет из строя 4 или 5, или оба элемента одновременно.
-
В центральной ветви 3 элемент, для выполнения условия разрыва цепи, обязательно должен выйти из строя.
Получим, что для выполнения события В необходимо, чтобы одновременно выполнялись несколько событий:
В = { {вышел из строя 1 или 2 эл.} & {вышел из строя эл.} & {вышел из строя 4 ли 5 эл.} }
или
B = A3(A1 + A2)(A4 + A5)
Ответ: B = A3(A1 + A2)(A4 + A5)
№ 3 (18.55)
Условие:
Доказать справедливость следующего следствия из определения вероятности событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) (формула сложения вероятностей)
Решение:
P(A) – числовая функция, вероятность события А.
Так как событие есть множество, то вероятность является также функцией множества. Известно, что (А + В) = А + , это легко доказать нарисовав диаграммы Эйлера.
-
Обратим внимание на то что: . В этом не трудно убедиться, изобразив тождество в виде диаграмм Эйлера.
-
Таким образом получаем P(A + B) = P(A) + P(), т.к. события А и В несовместны.
-
Из тождества B = АВ + следует Р(В) = Р(АВ) + Р() в силу несовместности событий. Что также несложно доказать нарисовав диаграммы Эйлера.
Отсюда Р() =Р(В) - Р(АВ).
-
Подставив п.3 в п.2 получим P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Что и требовалось доказать.