ТеорВер_1часть

Варіант №7 a = 6 b = 5

Задача №1

Серед студентів університету навмання вибирають одного. Подія А полягає в тому, що вибраним студентом є хлопець, подія В полягає в тому, що студент навчається на вечірньому відділені, подія С — у тому, що студент працює в банку. Записати, у чому полягають події:

1.

2.

Розв’язання

1) - обраний студент не є хлопцем, який навчається на вечірньому відділені і не працює в банку.

2) - обраний студент є хлопцем, який працює в банку, або обраний сту-дент не є хлопцем, який не працює в банку.

Задача №2

Після співбесіди з 16 особами, правління інвестиційної компанії вибирає для пра-цевлаштування 5 осіб.

1. Скільки різних можливостей послідовності проходження співбесіди має кожна особа?

2. Скільки різних можливостей вибору 5 осіб має інвестиційна компанія, якщо:

а) усі вибрані особи приймаються на одну посаду?

б) усі вибрані особи приймаються на різні посади?

Розв’язання

1) Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою:

,

де n набуває лише цілих невід’ємних значень. Тому підставивши значення умови задачі отримаємо:

n =16! =1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16 = 20922789888000

2) А) Комбінаціями з n елементів по називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Кількість таких множин .

Б) Коли всі обрані особи приймаються на різні посади , то кількість можливостей буде рівна

Задача №3

Троє студентів домовились про зустріч. Імовірність того, що кожен з трьох студентів з’явиться, дорівнює 0,76; 0,55; 0,7. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо для цього достатньо, щоб на зустріч прийшли принаймні два студенти.

Розв’язання

p₁ = 0,76 q₁ = 0,24

p₂ = 0,55 q₂ = 0,45

p₃ = 0,7 q₃ = 0,3

Ймовірність, того що всі три студенти прийдуть за зустріч знайдемо за формулою:

Р = р₁*р₂*р₃ = 0,76*0,55*0,7 = 0,2926

Ймовірність, того що двоє студенти прийдуть за зустріч :

P = p₁*p₂*q₃ + q₁*p₂*p₃ + p₁*q₂*p₃

P = 0,76*0,55*0,3 + 0,24*0,55*0,7 + 0,76*0,45*0,7 = 0,4572

Тоді ймовірність зустрічі складатиме: Р = 0,2926 + 0,4572 = 0,7498

Відповідь: ймовірність того, що зустріч відбудеться становить 0,7498.

Задача №4

У студентській групі 26 осіб, серед них 20 студентів віком старші від 19 років, та а студентів віком старші від 20 років. Розігрується один білет на виставу. Чому дорівнює ймовірність того, що цей білет отримає студент віком старший 19 років або студент віком старший 20 років?

Розв’язання

Нехай подія А - білет отримає студент віком старше 19 років або студент віком старше 20 років.

Р(А) =

Задача №5

Імовірність знайти необхідний товар у одній крамниці дорівнює 0,5 , а ймовірність домовитись про його купівлю — 0,6. Обчислити ймовірність придбання товару, якщо побу-вали не більше ніж у п’яти крамницях.

Розв’язання

Імовірність появи випадкової події принаймні один раз при n незалежних спробах

Якщо Р(А_і) = p_і = p = const, то q_і = q = const. Тоді Р(С) = 1 – qⁿ.

Обчислимо ймовірність покупки для одного магазину:

Р = р₁*р₂

Р = 0,5*0,6=0,3.

Тоді ймовірність не купити товар дорівнює: q = 1-p = 1-0,3 = 0,7

Отже, ймовірність придбання товару, якщо побувати не більше ніж у 5 крамницях складатиме:

Р = 1 – 0,7⁵ = 0,8319

Задача №6

На промисловому підприємстві встановлено систему пожежної сигналізації. Якщо ви-никає пожежа, сигналізація спрацьовує з ймовірністю 0,95. Але сигналізація може спрацювати випадково (коли пожежі немає) з імовірністю 0,12. Імовірність настання пожежі 0,02. Сигна-лізація спрацювала. Чому дорівнює ймовірність того, що почалась пожежа?

Розв’язання

Формулу Байєса використовують для переоцінювання ймовірностей гіпотез H_k за умови, що випадкова подія А здійсниться , тобто Р(Н_к/А) =

H₁ – сталася пожежа

H₂ – пожежа відсутня

А – спрацювала сигналізація

Р(H₁/А) =

Ймовірність того, що почалась пожежа становить 13,91%.

Задача №7

Імовірність того, що протягом робочого дня не виникне порушення в забезпеченні сировиною, дорівнює 0,86. Знайти ймовірність того, що протягом робочого тижня (п’яти днів):

а) протягом трьох робочих днів не буде порушень у забезпеченні сировиною;

б) порушення будуть менше ніж протягом трьох днів;

в) порушення виникнуть не менше ніж протягом одного дня, але не більше ніж протягом трьох днів.

Розв’язання

а) протягом трьох робочих днів не буде порушень у забезпеченні сировиною

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться k раз, подається у вигляді: Р_n(R) = , q = 1-p

Р₅(3) =

б) порушення будуть менше ніж протягом трьох днів;

Р₅(4) =

Р₅(5) =

Р (3 < x < 5) = 0,1247 + 0,3829 + 0,4704 = 0,978

в) порушення виникнуть не менше ніж протягом одного дня, але не більше ніж протягом трьох днів.

Р₅(2) =

Р (2 < x < 4) = 0,0203 + 0,1247 + 0,3829 = 0,5279

Задача №8

Імовірність влучення в мішень після одного пострілу дорівнює 0,96. Знайти ймовірність того, що після 100 пострілів мішень буде уражена:

а) 42 разів;

б) не менше ніж 45 разів та не більше ніж 50 разів

Розв’язання

а) мішень буде уражена 42 рази;

Локальна теорема Муавра-Лапласа Р_n(R) =

npq = 100*0,96*0,04 = 3,84

б) мішень буде уражена не менше ніж 45 разів та не більше ніж 50 разів

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Ймовірність того, що в n-незалежних випробуваннях подія А може відбутися з ймовірністю р, подія А відбудеться не менше к₁ раз, і не більше к₂ раз, знаходиться за формулою: P_n = (k₁ ≤ k ≤ k₂) ≈ ∮ -

P₁₀₀ = (45 ≤ k ≤ 50) ≈ ∮(-23,47) - ∮(-27,55) ≈ -0,5+0,5 = 0

Задача №9

4006 автомобілів було відправлено на продаж. Імовірність того, що автомобіль буде з дефектом, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що п’ять автомобілів із цієї загальної кількості будуть з дефектами?

Розв’язання

Використовуємо формулу Пуассона

Якщо в схемі Бернуллі число n достатньо велике, а р – достатньо мале, то має місце така рівність:

Р_n(k) ≈ P(k) = , a = np^(*)

Ця формула дає досить точне наближення при невеликих р (менше ніж 0,1) і добуток npq ≤ 9

Для знаходження ймов. a = np^(*) використовуємо таблицю.

n = 4006 p = 0,01 q = 0,99

a = np = 4006*0,1 = 40,06

P₄₀₀₆(5) = ≈ 0,0214

Задача №10

Скільки потрібно провести випробувань, щоб з імовірністю 0,96 а гарантувати, що відхилення відносної частоти появи події А від сталої ймовірності її настання не перевищить 0,025? Відомо, що ймовірність настання події А у кожному випробуванні дорівнює 0,7.

Розв’язання

Ймовірність події |W(A)-p| ≤  можна розрахувати за формулою:

P{| – p| ≤ } ≈ 2 ∮

За умовою: р = 0,7 q = 0,3

x =  => n =

P{|W(A) – 0,7| ≤ 0,025} ≈ 0,96

P{|W(A) – 0,7| ≤ 0,025} ≈ 2 ∮ (0,025

∮(X) = 0,48

X = 2,054

n =

Отже, нелбхідно провести 1418 випробувань.

7