- •Белорусский государственный университет
- •Задание 1. Вычислить указанные неопределенные интегралы.
- •Решение варианта 0.
- •Задание 2. Вычислить следующие определенные интегралы:
- •Решение варианта 0.
- •Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
- •Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной линиями:
- •§ 2. Функции нескольких переменных Перечень вопросов по теме
- •Задание 5. Вычислить частные производные первого и второго порядков указанных функций.
- •Решение варианта 0.
- •Задание 6. Найти локальные экстремумы (первая функция) и условные экстремумы в указанной области (вторая функция).
- •§ 3. Ряды Перечень вопросов по теме
- •Задание 7. Исследовать ряды на сходимость.
- •Задание 8. Определить область сходимости степенных рядов.
- •§ 4. Дифференциальные уравнения Перечень вопросов по теме
- •Задание 9. Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка. Если даны частные условия, найти частные решения.
- •Задание 10. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Задание 11. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка.
- •Задание 12. Решить следующие однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение варианта 0.
- •Задание 13. Используя дифференциальные уравнения, решить следующие задачи.
Белорусский государственный университет
механико–математический факультет
Кафедра общей математики и информатики
Матейко О. М., Плащинский П.В.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 2
МИНСК
Матейко О. М., Плащинский П.В., 2005.
§ 1. Интегральное исчисление функций
одной переменной
Перечень вопросов по теме
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, метод интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.
Интегрирование иррациональных функций с квадратным трехчленом в знаменателе.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Интегрирование иррациональных функций.
Определенный интеграл: определение, геометрический и физический смысл. Условия интегрируемости функций.
Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объемов геометрических тел.
Задание 1. Вычислить указанные неопределенные интегралы.
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
Решение варианта 0.
Пример 0.1. Непосредственным интегрированием получаем:
.
Пример 0.2. Аналогично,
.
Пример 0.3. Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:
.
Пример 0.4. Применяя тригонометрические формулы понижения степени, приводим интегралы к табличному виду:
.
Пример 0.5. Выделяем в числителе производную знаменателя, а затем, выделяя в трехчлене полный квадрат, приводим интегралы к табличному виду:
.
Пример 0.6. После степенной замены подынтегральная функция становится рациональной:
.
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
| ||
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |
|
|
; |
|
; |
|
; |
|
; | |
|
; |
|
. |