Теория к экзамену

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33. Траектория фондовооруженности в модели Солоу. Равновесные (стационарные) значения: основных фондов, национального дохода.

Модель Солоу в абсолютных показателях:

( )

( )

(

)

(

)

(

)

Поскольку,

(

)

( )

(

)

( )

,

то модель Солоу в относительных показателях:

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

Так как каждый абсолютный или относительный показатель изменяется с течением времени, то можно говорить о траектории системы в абсолютных или относительных показателях.

Траектория называется равновесной (стационарной), если основные показатели не изменяются во времени, т.е.

. Установление фондовооруженности на постоянном уровне приводит к выходу

на стационарную траекторию всех показателей. На стационарной траектории						,
поэтому	( )	или	( ). Поскольку функция F(K,L) –
неоклассическая, то функцией f(0) = 0, f ’ > 0, f ”< 0. Если задать условие				( )		, то

уравнение будет иметь единственное ненулевое решение , что видно из рисунка.

Через	̂	обозначена фондовооруженность, при которой скорости роста функции ( )
и	(	)	( ) равны, т.е. – ̂ корень уравнения	( ).

34. Средняя производительность труда и среднедушевое потребление. «Золотое правило» экономического роста в модели Солоу.

Суть «Золотого правила накопления» состоит в том, что надлежащим выбором нормы накопления можно максимизировать среднедушевое потребление в стационарном режиме, а, следовательно, и через относительно непродолжительное время после начала переходного процесса.

(

)

(

) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

( ( ))

,

где

(

) , (

)

(

)

. Среднедушевое потребление целиком

(

)

определяется функцией

(

) Имеем

(

)

, поэтому

при ρ< α,

при ρ> α. Таким образом, наибольшее среднедушевое потребление достигается при ρ* = α, т.е. норма накопления должна быть равна эластичности выпуска по основным фондам. На

практике норма накопления всегда меньше своего оптимального значения (ρ< α), т.е. имеет место недонакопление.

Если в модели Солоу учесть долю материальных затрат в совокупном продукте ) (если а=0,5, то 50% на сырье), то показатели экономики будут таковы:

Фондовооруженность труда

Средняя производительность труда

Среднедушевое потребление

( )			(		(	)	)
( )
			( )			(			)
			( )
( )			(			)(			)
( )

А - фактор шкалы,

a - доля материальных затрат в совокупном продукте,

- коэффициент эластичности выпуска по затратам фондов, ρ - доля инвестирования в конечном продукте, μ - доля износа фондов, ν - темп роста трудовых ресурсов.

Y - ВВП

C - фонд непроизводственного потребления I - инвестиции (фонд накопления)

L - количество занятых K - капита

35. Динамическая модель Кейнса, модель Самуэльсона-Хикса их общность и различие.

Модель Кейнса: Если предположить, что спрос будущего года формируется в текущем году, то предприниматели спланируют производство будущего года в соответствии с прогнозируемым спросом.

В рассматриваемой модели роль единственной эндогенной переменной Y, изменяющейся во времени, выполняет валовой внутренний продукт, т.е. объем производства товаров конечного пользования. ВВП состоит из 4х частей: фонд непроизводственного потребления С, валовые частные внутренние инвестиции I, государственные расходы на закупку товаров и услуг G, чистый экспортE. В модели экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а гос расходы распределяются на потребление и накопление, поэтому: . В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года: , где с – нижняя граница фонда

непроизводственного потребления, 0< с <1 – предельная склонность к потреблению. Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них: . Эта модель

может применяться только для анализа и краткосрочного прогнозирования поведения экономики. Она непригодна для долгосрочного прогнозирования, поскольку не отражает воспроизводственный процесс. С математической точки зрения модель является линейным конечно-разностным уравнением первого порядка.

Решаем однородное уравнение				в виде				, поэтому	и
для определения	получаем характеристическое уравнение								, поэтому
общее решение однородного уравнения				, где А – постоянная. Частное решение
неоднородного уравнения				равно				, поэтому общее решение
неоднородного уравнения:
	А определяем с помощью начального значения								:
откуда	, поэтому окончательно получаем конкретное решение уравнения

( ) , при этом , так как 0<c<1, т.е. - установившееся значение ВВП.

Модель С.-Х.: Отличие модели Самуэльсона-Хикса от динамической модели Кейнса состоит в отказе от постоянства инвестиций и введении их переменной части, которая пропорциональна приросту ВВП текущего года по сравнению с прошлым годом:

( ) где r – коэффициент акселерации (ускорения), 0< r <1. С

математической точки зрения модель С-Х - линейное конечно-разностное уравнение второго порядка. Его решение находится с помощью преобразование Лорана. При r < 1решение уравнения С-Х после завершения переходного затухающего гармонического

процесса принимает установившееся значение: Такое же, как и в

модели Кейнса.

36. Модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева. Продуктивность модели, теорема Фробениуса-Перрона.

Рассмотрим линейную модель производства, содержащую несколько отраслей, в каждой из которых произведен только один продукт. Для производства продукта j-ой отрасли

требуется затратить фиксированное количество				продукта i-ой отрасли. Т.о. для
производства продукта j-ой отрасли в кол-ве				требуется	продукта i-ой отрасли.
Такая модель называется моделью Леонтьева.
Коэффициент	будем называть коэффициент прямых затрат, а матрицу (число отраслей
= ассортименту выпускаемой продукции).
А=(	) (1)
Соотношение межотраслевого баланса			∑	(2).	- валовый объем выпуска
i-ой отрасли, - объем конечного выпуска.
Х – АХ=У (3)	(	) - вектор объема валового выпуска,				(	)

- вектор объема конечного спроса.

Будем называть модель продуктивной, если выполняется соотношение Х – АХ ≥ 0 (4) , (Е – А)Х ≥ 0 (4’), где Е – единичная матрица. Решение этой системы, если оно существует, называется продуктивным решением. Выделяем из числа продуктивных решений, решения, которые будут равновесными. Рассмотрим наиболее сильный тип равновесия: внутреннее равновесие: Х= АХ (5). Вектор Х, удовлетворяющий этому соотношению, называется равновесным. Каждый продукт производится, причем выпуск продукта Х = спросу АХ.

Характеристическим уравнение матрицы А является уравнение относительно						: det(A –
E) = 0. Если А=(	) - 2 отрасли, то		(	)	,
характеристическое уравнение (		)(	)	. Квадратная матрица
называется разложимой, если матрицу А можно представить в виде А=(						), где

квадратные матрицы. Неразложимость матрицы означает, что каждая отрасль хотя бы косвенно использует продукцию всех отраслей.

Теорема Фробениуса-Перрона. Если матрица А – неразложима и наибольший по модулю характеристический корень ( ).

Если , то модель непродуктивна.

Если , то модель продуктивна, но не обладает внутренним равновесием.

Если , то модель продуктивна и обладает внутренним равновесием и выполняется соотношение (5).

Из теоремы Ф.-П. Следуют признаки продуктивности: 1) Если матрица А – неразложима;

2)	Сумма элементов каждой строки ∑		;
3)	∑	хотя бы для одной отрасли.

37. Двойственность в модели Леонтьева.
Пусть	цена продукции i-ой отрасли ,тогда произведение	это стоимость i-го
продукта, затрачиваемого на производство единицы продукта j-ой отрасли
Сумма ∑	это издержки производства или стоимость на выпуск единицы продукта

j-ой отрасли.

Тогда прибыль от выпуска единицы продукта отрасли определяется соотношением

J=1,2,…n	∑
В матричной форме P(E-A)=R; P(		); R(	);где р вектор цен произвед

продукции отраслей; r вектор прибыли с каждой произведенной единицы продукции отраслей.

Если выполняется соотношение P(E-A)>=0 модель называется прибыльной. Модель продуктивна только тогда, когда она прибыльна

(E-A)X=Y ;A=(			)	;
(	) (	)	(	)
(	)
(	)

c

38. Пара двойственных задач ЛП в модели Леонтьева. Учет трудовых ресурсов.

Учтем в модели Леонтьева внешние ресурсы

{} k=1,2,…m

-количество к-го вида ресурсов ,необходимых на производство единицы продукции jой

отрасли.
(			) ;		т е это векторный столбец.
Будем считать, что структуре конечного спроса Y нам задана ‖ ‖
	√
С вектором			мы будем отожествлять комплект готовой продукции и рассмотрим след
задачу максимизации числа					готовой продукции.
;α->max
			(		)
{			{

Двойственная задача для нахождения минимальных оценок продукции отраслей и внешних ресурсов.

(	)
Q оценка внешних ресурсов (		)	;	(	)

39. Модель расширяющейся экономики Неймана.

Это обобщенная модель Леонтьева ,поскольку допускает производство одного продукта разными способами. В модели представлено n продуктов и m способов на их производства.

Каждый jый способ производства задается вектором-столбцом выпусков

(	)	(	) (1)
Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат					(	)и выпуска
(		). (2) Для реализации любого процесса необходимы затраты хотя бы
одного продукта, т е			такое что	. (3)Каждый продукт может быть произведен
хотя бы одним способом, т е				(4) Из (3) и (4) следует ,что каждый столбец в А
и каждая строка в В должны иметь хотя бы один положительный элемент.
Интенсивность процессов неотрицательна				( )≥0
Z это Вектор-столбец интенсивности производства продукта
(	) Интенсивности могут быть пронормированы ∑					( )
P вектор-строка неотрицательных цен на продукты.
(	( )	( )	( )

∑( )

вектор затрат при данном векторе интенсивности процессов. вектор выпуска

Модель Неймана описывает замкнутую экономику в том смысле, что для производства продукции в следующем производственном цикле( в год t) расходуется продукция ,произведенная в предыдущем производственном цикле ,т е в год (t-1)

(5) при этом предполагается,что задан первоначальный вектор запасов. Модель Неймана в форме (5) имеет скорее теорит чем практический характер: в ней в явном виде не отражены накопления и непроизводственное потребление.

Двойственной к (5) ясляется система (6) кот траектуется след образом : ни один процесс в замкнутой модели Неймана не приносит положит дохода. Необходимо заметить, что в (6) затраты делаются в год (t-1),а результаты этих затрат проявляются в год t

Если соотношение (6) рассматривать в форме равенств ,то владелец капитала ,сделав затраты в размере k в год (t-1) может даже получить выгоду в натуральной форме при

,поскольку он может купить больше наборов товаров ̂в год t, чем в год t-1

̂̂

40.Допустимая и оптимальная ( луч Неймана) траектории в модели Неймана, магистраль.

.

Траектория интенсивности называется стационарной ,если существует такое число v>0

(	) Стационарная траектория характеризуется
постоянством темпов роста интенсивности			Для стационарности
последовательности	необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(1)

Траектория цен называется стационарной ,если существует такое число µ>0 что

	(	) Таким образом стационарная траектория характеризуется
постоянством темпов роста цен.
Последовательность		будет стационарной тогда и только тогда ,когда
	(2) Для стационарных траекторий				условия приобретают
вид	( )	(		)
Модель Неймана находится в состоянии динамического равновесия (						),если
выполнены условия (1) ,(2),(3),(4) и				положительные,а	неотрицательны и отличны
от нуля.
	,
Если	то	так что невырожденные условия равновесия задаются в форме
	,				при этом луч {	}

Называется лучом Неймана.

Луч Неймана-это траектория экономики, соответствующая максимальному сбалансированному росту

Траектория называется допустимой, если она удовлетворяет ограничениям max

,t=1,2,..T (1)

и оптимальной ,если она доставляет максимум функции цели задачи.Задача (1) с выделением естественного условия является большеразмерной задачей ЛП,поэтому ее решение не представляет потенциальных трудностей. При этом для каждого набора исходных данных получится свое решение. Однако совсем не ясно ,как выглядит общая картина решений. Магистральная теория позволяет в общих чертах может нарисовать эту картину.

Луч Неймана, порожденный вектором

̅,который удовлетворяет условию

̅

̅ ̅

̅

является магистралью для задачи (1) ,если для любого

существуют такие числа

( )

( ),что для всякой оптимальной траектории

√∑

̅

( )

( )

[(√∑ ( ) ) (√∑

̅̅̅

( ) )]

т.е. «почти все время» и любая оптимальная траектория идет вдоль луча Неймана, порожденного ̅ В теоремах о магистралях для модели динамического межотраслевого баланса

доказывается существование магистрали. При наличии магистрали оптимальные траектории надо искать среди тех, которые сохраняют примерно постоянные пропорции в использовании различных производственных процессов.

41. Моделирование демографических процессов. Логистическая кривая.

В середине 19 века Ферхюльст вевыл уравнение ,решение которого является логическая кривая.Ф-Перл использовал эту прямую для изучения численности населения в замкнутой

среде. Дальнейшие исследования различных по своей природе показали универсальность логистич. функции,кот описывает не только динамику популяции при ограниченных ресурсов,но и развитии некоторых соц.эк процессов Динамич.процессы с постоянными темпани роста. Рассмотрим динамич.процесс в

котором скорость численности населения пропорциональна численности (где N численность,t время)

N(t) это означает что

	( )			( ) (1)
Это диффиринц уравнение с разделяющими переменными, нач условие (									)
∫			∫	( )	(			)
Коэффициенты естественного прироста рождаемости α и смертности β
1)α>β t →∞				N →∞ 2) α<β t →∞				N →∞

Динамические процессы с ограниченными ресурсами.

Практически все модели ,описывающие реальные процессы нелинейны,поэтому вместо диф.уравнения (1) рассмотрим ур-е типа,где f(N(t)) нелинейная функция,а N численность.

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) (2)

Уравнение (2) испытывает эффект самоотравления.

Одним из решений уравнения (2) является стационарное решение

Точное аналитическое уравнение

( )

( )

(

)( )

( )

( )

(

)

При x= 1 t →∞ x →1 где

Модель 2 позволяет определить область применимости модели 1 .При малых t и малой численности внутривидовой конкуренции можно пренебречь ,в следствие этого логическая кривая практически совпадает с экспонентой

42. Моделирование социально-экономических процессов. Уравнение ФерхюльстаПерла. Модель Золотаса.

Греческий экономис Золотас исходит из гипотезы согласно потреблению производства большого количества товаров не обязательно ведет к улучшению качества жизни, чтобы показать как изменяется общественное благосостояние. Он рассматривает 2 фактора которые действуют с большей или с меньшей относительной интенсивностью в зависимости от уже достигнутого общественного состояния. Одни факторы являются стимулирующими, другиесдерживающими.

Если обозначить уровень общественного благосостояния через у ,а через А критическую точку, то сдерживающим фактором будет А-У ,а стимулирующим КУ ,при таком подход динамика уравнения общественного благосостояния определяется уравнением

( )

Где х подход на душу населения.

Модель Золотаса представляет о формальной точки зрения модель Ферхюльста-Перла и его решением является зависимость

( )		; C=AK

Исследуя решение уравнения (1) Залотас выделяет три стадии развития общества.

I.Общество нужды

II. Общество постоянных улучшений III. Общество преступления

На современном этапе экономического развития индустриальных стран сдерживающий фактор действует относительно сильнее, в следствие чего постепенно возрастает время необходимое обществу, чтобы подняться от достигнутого уже очень высокого уравнения благосостояния до максимально возможного.

Достижение критической точки Золотас связывает как форма распределения доходов и богатства, степень и скорость природных ресурсов ,степень загрязнения окружающей среды. Если проследить y(t) ур.общественного благосостояния и x(t) можно определить показатели. АВ и С .

Тогда можно будет исследовать этапы которые в том или ином государстве.и определить ту степень ,на кот оно находится в данный момент,а также дистанцию отделяющую его от критической точки А.При построении модели Золотаса использовались рассуждения схожие с утверждением Ферхюльста-Перла .Логическая кривая хорошо используется при исследовании соц.эк.процессов