Лекции по Матанализу ч1

Предположим, что кривая y f x имеет наклонную асимптоту y kx b .
15
12.	5
10
7.	5
	5
2.	5
	1	2	3	4

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ox обозначим . Перпендикуляр MQ к оси Ox пересекает асимптоту в точке N .

Тогда MQ y – ордината точки кривой, NQ y - ордината точки N на асимптоте.

По условию: lim

MP

0 ,

NMP = ,

NM

MP

.

x

cos

Угол - постоянный и не равный 900, тогда

lim MP lim NM cos lim NM 0
x	x	x

NM MQ QN y y f (x) (kx b)

Тогда lim[ f (x) (kx b)] 0 .

x

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

В полученном выражении выносим за скобки х:

	f (x)		k	b		0
lim x
x		x		x

f (x)		k	b		0 , т.к.		b	0;	lim k k .
Т.к. х , то lim						b = const, то lim
x	x		x			x x			x

Тогда lim	f (x)	k 0 0 ,	следовательно,
	x
x
			k lim	f (x)	.
			x	x
Т.к. lim f (x) (kx b) 0			, то lim f (x) kx lim b 0			, следовательно,
x			x		x
			b lim f (x) kx
			x

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

41

Пример. Найти асимптоты и построить график функции y

x2 2x 1

.

x

1)

Вертикальные

асимптоты:

x 0

x 0

Следовательно,

x 0 -

y ,

y .

вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

x2 2x 1

2 1

k lim

x2

lim

1

x2

1

x

x

x

2

2x 1

2

2x 1 x

2

2x 1

1

b lim( f (x) x) lim

x

lim

x

lim

lim

2

x

x

x

x

2

x

x

x

x

x

x

Таким образом, прямая y x 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

6

4

2

- 3

- 2

- 1

1

2

3

- 2

Пример. Найти асимптоты и построить график функции y

9x

9 x2 .

Прямые x 3 и x 3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты: k lim

9

0

9

x2

x

9

b lim

9x

lim

x

0

9 x 2

9

x

x

1

x 2

y 0 – горизонтальная асимптота.

6

4

2

- 7. 5

- 5

- 2. 5

2. 5

5

7. 5

- 2

- 4

- 6

Пример. Найти асимптоты и построить график функции y

x2 2x 3

.

x

2

Прямая

x 2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

2

3

k lim

x 2 2x 3

lim

x2

2x 3

lim

1 x x2

1.

x(x 2)

x2

2x

2

x

x

x

1 x

42

b lim	x2	2x 3			lim	x 2	2x 3 x2 2x		lim	4x 3	lim	4 3
			x									x 4
x		x 2			x		x 2		x	x 2	x	2
												1 x
Итого, прямая y x 4 является наклонной асимптотой.
							20
							15
							10
							5
		- 10				- 5			5	10
							- 5
							- 10
							- 15
							- 20
		Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение. Функция f x называется непрерывной на интервале (отрезке), если

она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке a, b выполняется условие M f x M .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0,
ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок		a, b на бесконечное
количество отрезков, которые “стягиваются” к точке	x0 , то	образуется некоторая
окрестность точки x0 .
Свойство 2: (Первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке a, b ,
принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения x1 и x2 , что f x1 m,	f x2 M , причем
M f x M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например f x sin x ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f x - непрерывная на отрезке a, b и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков,

то существует такая точка внутри этого отрезка, где f x 0 .

Т.е. если sign f a sign f b , то x0 : f x0 0 .

Свойство 4: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезкеa, b , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Определение. Функция y f x называется кусочно-непрерывной на промежуткеa, b , если она определена в каждой точке a, b , непрерывна во всех внутренних точках этого промежутка, кроме быть может конечного числа точек, в которых она может иметь

разрыв 1ого рода. Например: y x x .

43

Определение. Функция		f x называется равномерно непрерывной на отрезке a, b ,
если для любого 0 существует 0 такое, что для любых точек					x1, x2 a, b таких, что
x2 x1 верно неравенство		f x2 f x1
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого
существует свое , не зависящее от x , а при “обычной” непрерывности зависит от и x .
Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик).
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Пример. y sin 1
	x
		1
		0. 5
- 3	- 2	- 1	1	2	3
		- 0. 5
		- 1
Функция	y sin 1 непрерывна на интервале 0, a , но не является на нем равномерно
	x
непрерывной, т.к. существует такое число 0			такое, что существуют значения x1 и x2
такие, что f x2 f x1 , - любое число при условии, что x1				и x2	близки к нулю.

Сложная функция

Определение. Если функция

y f x

отображает множество

X в Y , а функция

z g y отображает

множество

Y в

Z , тогда функция

z g f x называется

суперпозицией функций

f и

g или сложной функцией аргумента

x

множества X , Y и

Z – подмножества

R .

Пример. z sin

1 ,

z ex2 sin x

x

Пример. (Гиперболические функции)

x= shx

ex e x

, chx

ex

e x

sh x

ch x

Функции

, thx

, cthx

2

2

ch x

sh x

называются гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом соответственно. Относительно гиперболических функций справедливы формулы:

44

x f 1 y

ch x y chx chy shx shy

sh x y shx chy chx shy

ch2 x sh2 x 1

ch2x ch2 x sh2 x

sh2x 2shx chx

Теорема.

Если функция

y f x

непрерывна в точке

x0 ,

а

функция

z g y

непрерывна в точке

y0 f x0 ,

тогда суперпозиция функций

f

и

g ,

т.е.

функция

z g f x F x , является непрерывной в точке x0 .

Доказательство. Так как функция

y f x непрерывна в точке

x0 , то для любой

последовательности xn

сходящейся к x0 имеем yn f xn f x0 при

xn x0 (по Гейне).

В силу того,

что функция

g y

непрерывна в

точке

y0

f x0 также

имеем:

zn g yn g y0 g f x0 при любой последовательности

yn сходящейся к y0 .

Наконец, выберем произвольно последовательность

xn

сходящуюся к

x0 . Тогда

последовательность

yn

f xn

будет

сходится к

y0 f x0

,

а

последовательность

zn g yn g f xn будет сходится к g y0 g f x0 .

Или

xn x0

zn

g f xn

g y0 g f x0 ,

что

означает

xn x0 F xn g f xn g f x0 F x0 .

Последнее означает, что функция

z F x непрерывна в точке

x0

(по Гейне).

Обратная функция

Определение. Пусть

дана

функция

y f x

с областью

определения

X

и

областью значений Y . Тогда функция

y f x задает отображение

f

множества

X

на

множество

Y . Предположим теперь, что каждому элементу

y Y

можно поставить в

соответствие

элемент

x X

такой,

что

y f x .

Последнее

отображение

X Y

называется

обратным

к

f

и обозначается

f 1 . Отображение

f 1 :

X Y

задает на

множестве

Y

функцию

x f 1 y , которая называется обратной к функции

y f x .

Теорема.

Если

функция

y f x ,

x X

монотонна

на

промежутке

X

с

множеством

значений

Y ,

то

существует

обратная

функция

x f 1 y ,

y Y

с

множеством значений

X , причем

f 1 y

монотонна на Y .

График обратной функции.

Переход от функции

y f x ,

x X

к обратной функции

x f 1 y ,

y Y

сводится к перемене ролей

множеств

X

и

Y . Поэтому графики функций

y

f x

и

представляют собой одно и то же множество точек координатной плоскости xOy . Обычно для обратной функции аргумент обозначают через x , а функцию через y , т.е.

вместо	x f 1 y пишут	y f 1 x . Таким образом, график функции	f 1 x получается
из графика функции f x		зеркальным преобразованием плоскости	xOy относительно
прямой	y x .

45

Пример: Обратной функцией для

y 2x будет функция

y

x

. Здесь переменные

2

x и

y уже поменялись ролями.

Замечание. Существуют функции, которые являются обратными сами себе:

y x ,

y

1

, y a x ,

a .

x

a,b и

Если y f x непрерывна,

Теорема.

строго

монотонна

на отрезке

f a , f b ,

причем множество

, является областью изменения

f x ,

то на

промежутке ,

определена обратная

функция x f 1 y ,

которая также

является

непрерывной и монотонной.

Замечание. Доказательство этой теоремы можно найти в соответствующих пособиях

по математическому анализу.

Важная роль этой теоремы достаточно очевидна, когда приходится доказывать

непрерывность обратных функций.

Обратные тригонометрические функции

На участках

монотонности функции

y sin x ,

y cos x ,

y tgx

и

y ctgx

допускают обратные, которые обозначаются соответственно:

y arcsin x ,		x 1,1 , y		,			;
					2
		2
y arccos x ,		x 1,1 , y 0, ;
y arctg x ,						,
	x , , y							;
					2		2
y arcctg x ,		x , , y	0, .

Приведем графики указанных обратных тригонометрических функций.

46

Замечание. Для обратных тригонометрических функций имеют место равенства:

1.

sin arcsin x x ,

x 1,1 .

2.

cos arccos x x , x 1,1 .

x 1,1 .

x 1,1 .

3.

sin arccos x 1 x2 ,

4.

cos arcsin x

1 x2 ,

5.

arcsin x arccos x ,

x 1,1 .

6.

tg arctg x x ,

x .

2

7.

ctg arcctg x x ,

x .

8.

tg arcctg x

1

, x ,

x 0 .

x

9.

ctg arctg x

1

,

x ,

x 0 .

10. arctg x arcctg x ,

x .

x

2

47