Плоские фермы
.pdf
|
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм |
Сайт автора http://mechanika.org.ru |
|
||||||||||||
Далее загружают шпренгели в промежуточных узлах местной на- |
|||||||||||||||
грузкой и, считая, что они имеют жесткие опоры в узлах основ- |
|||||||||||||||
ной фермы, определяют усилия в элементах дополнительной фер- |
|||||||||||||||
мы (рисунок 1.26, â). Усилия в общих стержнях основной фермы |
|||||||||||||||
и шпренгелей определяют алгебраическим (с учетом знака) сум- |
|||||||||||||||
мированием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В шпренгельной ферме на 10–15% изменятся усилия в стерж- |
|||||||||||||||
нях третьей группы (принадлежащих одновременно основной |
|||||||||||||||
ферме и шпренгелю). Уменьшатся расчетные длины элементов |
|||||||||||||||
грузового пояса и раскосов, что особенно важно для повышения |
|||||||||||||||
устойчивости сжатых элементов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Порядок |
|
построения |
à) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
линий влияния аналогичен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
порядку |
вычисления уси- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ëèé |
îò |
неподвижной |
íà- |
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|||
грузки. Линии |
влияния в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
стержнях основной |
фермы |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
7 |
6 |
|
|||||
строятся как для фермы с |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
F |
|
F |
|
||||||||
простой |
решеткой; |
линии |
|
|
|
|
F |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
влияния |
|
â |
стержнях |
á) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
шпренгелей – как для вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
резанной двухопорной фер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мочки; |
линии |
влияния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
усилий |
стержней, |
общих |
|
|
0,5F |
|
|
|
0,5F |
|
|||||
äëÿ |
основной |
фермы |
è |
|
|
|
2F |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
шпренгеля, |
определяются |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
алгебраическим суммиро- â) |
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ванием |
ординат |
линий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
влияния, |
построенных |
â |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
3 |
7 |
6 |
||||
основной |
ферме |
áåç |
учета |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
шпренгеля и в вырезанном |
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
||||||
шпренгеле. |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.26 |
|
|
1.9 Кинематический метод построения линий влияния
Как и в любой стержневой системе, для вычисления усилий в стержнях фермы при подвижной и неподвижной нагрузках можно использовать кинематический метод. Он основан на принципе возможных перемещений и изложен, например, в [5].
Рассмотрим последовательность построения линий влияния продольных сил этим методом:
1) необходимо отбросить связь (разрезать стержень фермы), соответствующую рассматриваемому усилию, превратив ферму в механизм с одной степенью свободы;
31
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
2)полученному механизму следует сообщить единичное перемещение по направлению продольной силы в отброшенном стержне;
3)эпюра вертикальных перемещений узлов грузового пояса фермы с отброшенным стержнем по форме будет совпадать с линией влияния рассматриваемого усилия.
Перемещения узлов считаются малыми. В соответствии с этим можно пренебречь горизонтальными перемещениями и принять, что узлы смещаются только по вертикали – вверх или вниз.
Рассмотрим статически определимую балочную ферму с параллельными поясами (рисунок 1.27, à).
Разрежем в ферме один стержень, например, 3–4', получим механизм с одной степенью свободы (рисунок 1.27, á). В левой и правой частях фермы выделим неизменяемые части механизма – диски I è II. Стержни поясов 3–4 и 3'–4' образуют «ползун», допускающий сдвиг дисков I è II. Задаем перемещение δ = 1 в направлении продольной силы в отброшенном стержне (взаимное сближение узлов 3 и 4'). Диски поворачиваются относительно опор, оставаясь параллельными друг другу. Очертание грузового пояса по форме будет совпадать с линией влияния усилия в рас-
êîñå N3–4'.
Далее разрежем в заданной ферме стержень 3–4 верхнего пояса (рисунок 1.27, â) и зададим перемещение δ = 1 как взаимное сближение узлов 3 и 4. Диски I è II соединены в узле 4', относительно которого и происходит их взаимный поворот. Очертание линии влияния N3–4 совпадает с очертанием грузового пояса.
Аналогично построим линию влияния продольной силы в стержне нижнего пояса N5'–6'. В результате взаимного сближения узлов 5' è 6' диски I è II поворачиваются (рисунок 1.27, ã), узел 5 поднимается вверх, что соответствует линии влияния N5'–6'.
Разрежем стойку 2–2' и зададим перемещение δ = 1 как взаимное сближение узлов 2 и 2' (рисунок 1.27, ä). Для полученного механизма с одной степенью свободы стержни 1–2 и 2–3 повора- чиваются, узел 2 опускается вниз. Очертание верхнего (грузового) пояса по форме совпадает с линией влияния продольной силы
в стойке N2–2'.
Заметим, что вычисление ординат линий влияния, построенных кинематическим методом, достаточно трудоемко. Особенно сложно найти ординаты для ферм с непараллельными поясами, со сложной решеткой. Поэтому чаще всего кинематический метод применяют для проверки линий влияния, построенных статиче- ским методом.
32
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм |
Сайт автора http://mechanika.org.ru |
||||||
à) |
1 |
2 |
3 |
P=1 |
5 |
6 |
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1' |
|
|
|
|
|
7' |
|
|
2' |
3' |
4' |
5' |
6' |
|
á) |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
4' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3' |
|
|
|
|
Ë.â.N3-4' |
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
Ë.â.N3-4 |
|
|
3' |
4' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ã) |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5' |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
6' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ë.â.N5'-6' |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
2' |
|
|
|
|
|
Ë.â.N2-2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.27 |
|
|
|
33
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
2.1 Расчет ферм способом вырезания узлов
ПРИМЕР 1. Äëÿ фермы на схеме (рисунок 2.1) требуется вычислить усилия во всех стержнях фермы способом вырезания узлов и построить эпюру продольных сил, приняв F1 = 300 êÍ, F2 = 200 êÍ.
Пронумеруем узлы фермы в порядке их вырезания таким образом, чтобы в вырезанном узле было не более двух неизвестных усилий.
Определим реакции опор. Для этого составим уравнения равновесия моментов относительно точек 0 и 7, предварительно направив ре-
акции вверх:
∑Mk0 = 0 , −F1d − F1 2d − F2 3d + V7 4d = 0 ,
k
V7 = |
|
1 |
(3F1 + 3F2 )= |
1 |
|
(3 300 + 3 |
200) = |
|
1 |
1500 = 375 кН ; |
||||||||||
4 |
4 |
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∑Mk7 = 0 , |
|
−V0 4d + F1 3d + F1 2d + F2d = 0 , |
||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V0 |
= |
|
1 |
(5F1 + F2 )= |
|
1 |
(5 |
300 + 200) = |
1 |
|
1700 = 425 кН . |
|||||||||
4 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
2 |
4 |
F2 |
|
|
6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
0 |
|
|
7 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
5 |
V0 |
d |
F1 |
V7 |
l=4d
Рисунок 2.1
Реакции опор положительны, значит, их направление совпадает с выбранным ранее. Выполним проверку:
∑Yk = V0 − F1 − F1 − F2 + V7 = 425 − 300 − 300 − 200 + 375 = 0 .
k
34
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
Уравнение равновесия выполняется, следовательно, реакции опор вы- числены верно.
Для удобства вычисления определим угол α:
tg(α)= dd = 1 ,
отсюда α = 45°.
Вычислим значения тригонометрических функций |
|
sin(α)= sin(45°) = 0,707 , |
cos(α)= cos(45°) = 0,707 . |
Вырежем узел 0. Внутренние усилия направим от узла (рисунок 2.2, à). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:
∑Yk = 0 , |
|
N0−2 sin(α)+ V0 = 0 , |
||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 |
425 |
|
||
N0−3 |
= − |
|
= − |
|
= −601 кН; |
|
sin(α) |
0,707 |
|||||
∑Xk = 0 , |
N0−1 + N0−2 cos(α)= 0 , |
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
N0−1 = −N0−2 cos(α)= −(− 601 0,707)= 425 кН. |
||||||
Продольная сила |
N0−2 < 0 , следовательно, стержень 0–2 сжат. |
Усилие N0−1 > 0 – стержень растянут.
Вырежем узел 1 (рисунок 2.2, á). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:
∑Yk = 0 , N1−2 = 0 ;
k
∑Xk = 0 , N1−3 − N1−0 = 0 , N1−3 = N1−0 = 425 кН . k
Стержень 1–3 растянут. Усилие в стойке 1–2 нулевое, значит, стержень не нагружен.
Вырежем узел 2 (рисунок 2.2, â). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:
∑Yk = 0 , − N2−0 sin(α)− N2−1 − N2−3 sin(α)− F1 = 0 ,
k
N2−3 = − N2−0 sin(α)(α−)N2−1 − F1 =
sin
= − (− 601 0,707)− 0 − 300 = 177 кН; 0,707
35
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
∑Xk = 0 , N2−4 + N2−3 cos(α)− N2−0 cos(α)= 0 ,
k
N2−4 = −N2−3 cos(α)+ N2−0 cos(α)=
= −177 0,707 −601 0,707= 425 кН.
Усилия в стержнях 2–3 и 2–4 положительны, следовательно, стержни растянуты.
a) |
y |
|
á) |
y |
N1-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
NA-2 |
|
|
|
|
A |
x |
N1-A |
|
N1-3 |
|
NA-1 |
|
|
x |
|
|
VA |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
ã) |
y |
|
|
|
|
|
||
â) |
F1 2 |
N2-4 |
N3-2 |
|
N3-4 |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
N2-A |
|
N2-3 |
N3-1 |
|
N3-5 |
|
|
|
3 |
x |
|
|
N2-1 |
|
|
||
|
|
|
F1 |
||
|
|
|
|
||
ä) |
y |
|
å) |
y |
|
|
|
|
|||
N4-2 |
N4-6 |
|
|
|
|
4 |
N5-4 |
|
N5-6 |
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
N5-3 |
|
|
|
N5-B |
||
|
N4-3 |
N4-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç) |
5 |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
æ) |
|
|
|
NB-6 |
|
|
|
||
F1 6 |
|
|
|
|
|||||
N6-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
NB-5 |
|
|
|
B |
|
N6-B |
|
|
|
|
|
x |
N6-5 |
VB |
Рисунок 2.2
36
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
Вырежем узел 3 (рисунок 2.2, ã). Составим уравнения равновесия проекций сил:
∑Yk = 0 , N3−4 + N3−2 sin(α)− F1 = 0 ,
k
N3−4 = F1 − N3−2 sin(α)= 300 −177 0,707 = 175 кН ;
∑Xk = 0 , N3−5 + N3−1 − N3−2 cos(α)= 0 , k
N3−5 = N3−1 + N3−2 cos(α)= 425 +177 0,707 = 550 кН.
Усилия в стержнях 3–4 и 3–5 положительны, следовательно, стержни испытывают растяжение.
Вырежем узел 4 (рисунок 2.2, ä). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:
∑Yk = 0 , |
− N4−3 − N4−5 sin(α)= 0 , |
||||
k |
|
|
|
|
|
|
N4−3 |
175 |
= −247 кН; |
||
N4−5 = − |
|
= − |
|
||
sin(α) |
0,707 |
||||
∑Xk = 0 , |
N4−6 − N4−2 + N4−5 cos(α)= 0 , |
||||
k |
|
|
|
|
N4−6 = N4−2 − N4−5 cos(α)= −550 − (− 247 0,707)= −375 кН .
Продольные силы отрицательны, следовательно, стержни 4–5 и 4–6 сжаты.
Вырежем узел 5 (рисунок 2.2, å). Составим уравнения равновесия проекций сил на вертикальную и горизонтальную оси:
∑Yk = 0 , N5−6 + N5−4 sin(α)= 0 ,
k
N5−6 = −N5−4 sin(α)= −(− 274 0,707)= 175 кН ;
∑Xk = 0 , N5−7 − N5−3 − N5−4 cos(α)= 0 , k
N5−7 = N5−3 + N5−4 cos(α)= 550 − 247 0,707 = 375 кН .
Стержни растянуты, т. к. усилия положительны.
Вырежем узел 6 (рисунок 2.2, æ). В этом узле только одно неизвестное усилие N6−7 . Для его определения составим уравнение равновесия проекций сил на вертикальную ось:
∑Yk = 0 , − N6−5 − N6−7 sin(α)− F2 = 0 ,
k
37
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм |
Сайт автора http://mechanika.org.ru |
||||||||
N6−7 |
= |
− N6−5 − F2 |
= |
−175 − 200 |
= −530 |
кН. |
|||
|
sin(α) |
|
|
0,707 |
|||||
Уравнение проекций на горизонтальную ось используем в качест- |
|||||||||
ве проверки: |
|
|
|
− N6−4 + N6−7 cos(α)= 0 , |
|
||||
∑Xk |
= 0 , |
|
|||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N6−4 |
|
− 375 |
|
|
||
|
N6−7 = cos(α) = |
0,707 = −530 кН . |
|
||||||
Стержень 6–7 |
ñæàò, ò. ê. N6−7 |
< 0 . |
|
|
|||||
Вырежем узел 7 (рисунок 2.2, ç). Усилия в стержнях, примы- |
|||||||||
кающих к этому узлу, известны, поэтому условия равновесия исполь- |
|||||||||
зуем в качестве проверки правильности проведенных вычислений: |
|||||||||
∑Yk = N7−6 sin(α)+ V7 |
= − 530 0,707 + 375 = 0 ; |
||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Xk = − N7−5 − N7−6 cos(α)= − 375 − (− 530 0,707)= 0 . |
|||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия равновесия соблюдаются, следовательно, усилия в стерж- |
|||||||||
нях найдены верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По полученным данным строим эпюру продольных сил в стерж- |
|||||||||
нях фермы (рисунок 2.3). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
550 |
|
|
|
375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
601 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
530 |
|
|
|
|
175 |
|
175 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
177 |
|
|
|
274 |
|
|
425 |
|
|
425 |
|
|
550 |
|
375 |
|
|
|
|
|
Рисунок 2.3 |
|
|
ПРИМЕР 2. Для консольной фермы, показанной на схеме (рисунок 2.4), требуется вычислить усилия во всех стержнях способом вырезания узлов и построить эпюру продольных сил, приняв F= 450 êÍ.
Вычислим значения синуса и косинуса заданного угла:
38
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм |
Сайт автора http://mechanika.org.ru |
|||
sin(α)= sin(60°) = |
3 = 0,866 , |
cos(α)= cos(60°) = 0,5 , |
||
|
2 |
|
|
|
tg(α) = tg(60°) = 3 = 1,732 , |
ctg(α) = ctg(60°) = |
3 = 0,577 . |
||
|
|
|
|
3 |
Из условий равновесия всей фермы определим реакции связи HA, HB,B VB.B
∑MkA = 0 , Fd + Fd + F 2d + F 3d − HBd tg(α)= 0 ,
k
HB = 9F ctg(α)= 9 450 |
3 |
= 2339 кН; |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
∑MkB = 0 , |
|
|
Fd + Fd + F 2d + F 3d − HAd tg(α)= 0 , |
||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
HA = 9F ctg(α)= 9 450 |
3 |
= 2339 кН ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
∑Yk = 0 , |
VB − F − F − F − F − F = 0 , |
||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VB = 5F = 5 450 = 2250 кН. |
|||||
HA |
|
|
A |
F |
F |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
3 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
HB |
B |
|
|
1 |
|
5 |
I |
2 |
|
|
F |
|||
VB |
d |
F |
F |
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
l=3d |
|
|
|
Рисунок 2.4 |
|
|
Вырежем узел 1 (рисунок 2.5, à). Спроецируем силы, действующие в узле, на оси координат
∑Yk = 0 , N1−3 sin(α)− F = 0 ,
k
39
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм |
Сайт автора http://mechanika.org.ru |
|||||||||
|
|
|
|
|
F |
|
450 |
= 520 кН ; |
|
|
|
|
N1−3 = sin(α) |
= |
0,866 |
|
|||||
|
∑Xk |
= 0 , |
− N1−2 − N1−3 cos(α)= 0 , |
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1−2 = −N1−3 cos(α)= −520 0,5 = −260 кН . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
à) |
N1-3 |
y |
|
|
á) |
|
|
N2-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N1-2 |
|
|
|
|
|
|
N2-5 |
|
|
N2-1 |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
F |
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
ã) |
|
y |
|
|
|
N3-4 |
|
3 |
F |
|
x |
N4-A |
4 |
F |
N4-3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
N3-5 |
|
|
|
|
N3-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N3-2 |
y |
|
|
N4-5 |
|
||
|
|
|
ä) |
N5-A |
N5-4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
N5-3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N5-B |
|
|
|
N5-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
F |
|
x |
|
|
å) |
|
y |
|
|
|
æ) |
|
|
||
|
|
|
NB-A |
|
|
|
y |
A |
NA-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
HA |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
HB |
|
B |
|
NB-5 |
|
|
|
|
NA-5 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
NA-B |
|
||
|
|
|
VB |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рисунок 2.5 |
|
|
40