Плоские фермы
.pdfЛеоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
N3-4 = F 1 + F 1 + F 2 = 4F = 4 450 = 1800 êÍ ;
N3-5 = −F 1,155 − F 1,155 − F 1,155 = 3,465F = = 3,465 450 =1559 кН.
Полученные усилия совпадают с вычисленными ранее при расчете фермы способом вырезания узлов на неподвижную нагрузку.
2.4 Расчет шпренгельных ферм
ПРИМЕР 6. Для шпpенгельной феpмы (pиcунок 2.12, à), требуется:
1 Равномерно распределенную нагрузку от собственного веса q = 40 кH/м заменить нагрузкой, приложенной в узлах фермы. Панель шпренгеля принять d = 5 ì.
2Определить ycилия в cтеpжнях 2–5, 3–3´, 3–4´, 3´–4´ шпpенгельной феpмы.
3Построить линию влияния ycилия в элементе 3–3´ шпpенгельной феpмы.
4При помощи линии влияния определить ycилие в cтеpжне
3–3´ и cpавнить c pезyльтатом, полyченным в п. 2.
Расчет на неподвижную нагрузку. Равномеpно pаcпpеделеннyю нагpyзкy от cобcтвенного веcа феpмы пpиведем к yзловой (pиcунок 2.12, б). Тогда во вcех пpомежyточных yзлах заданной феpмы бyдет пеpедаватьcя yзловая нагpyзка
F = q d = 40·5 = 200 кН, а на опоpные yзлы – нагрузка
qd2 = 402 5 = 100 êÍ .
Оcновная феpма (без шпpенгелей) и yзловая нагpyзка, пpиложенная к ней, показаны на pиcунке 2.13.
Из ycловия cимметpии опоpные pеакции
V |
= V = 8F |
= 8 200 = 800 êÍ. |
|
A |
B |
2 |
2 |
|
|
Так как высота равна длине панели основной фермы, то угол между раскосами и поясами составляет 45º. Для удобства дальнейших расчетов вычислим значения тригонометрических функций
sin(α)= sin(45°) = 0,707 , cos(α)= cos(45°) = 0,707 .
51
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм |
Сайт автора http://mechanika.org.ru |
||||||||||||||
à) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
1' |
|
|
|
3' |
|
|
5' |
|
|
|
|
7' |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2' |
3 |
|
|
4' |
|
4 |
6' |
|
6 |
|
|
8' d |
|
á) |
|
|
|
|
|
|
l=8d |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
I |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d |
|
1' |
|
|
|
3' |
|
|
5' |
|
|
|
|
7' |
|
2 |
0,5F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
2' |
3 |
|
|
4' |
|
4 |
6' |
|
6 |
|
|
8' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
VA |
F |
|
F I |
|
F |
F |
F |
|
F |
|
F |
d |
VB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
l=8d |
|
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
àÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿì |
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная прямая |
âàÿ ïð |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ëå |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3' |
|
|
|
y |
|
N3ø-3' |
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ã) |
3 |
|
|
4' |
4 |
ä) |
|
|
|
|
N3ø-4' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
P=1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
å) |
ø |
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5P |
II |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
àÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
àÿ ïð |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åâ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная прямая |
Ë |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ) |
ω1 |
ω2 |
|
11,43
Ðècóíîê 2.12
52
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
Уcилия в cтеpжнях феpмы опpеделяем пpи помощи способа cечений.
1 |
2 |
I |
|
5 |
7 |
8 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2d
F
A
VA |
|
|
|
|
|
F |
3 |
|
4 |
|
6 |
B |
I |
|
|
|||
2F |
2F |
2F |
2d |
VB |
|
|
|
l=8d |
|
||
|
|
|
|
|
Рисунок 2.13
Для опpеделения ycилия в cтеpжне 2−5 заданной феpмы, который является элементом пеpвой группы, т. е принадлежит только
основной ферме, пpоведем cечение I−I. Cоcтавим ypавнение pавновеcия левой отcеченной чаcти феpмы относительно узла 3 (рисунок 2.14)
∑Ìk3 = 0, − VA 2d + F 2d − N2−5 2d = 0 ,
k
N2−5 = F − VA =
= 200 − 800 = −600 êÍ.
Ócèëèå â pàcêîcå 3−3´, элементе тpетьей группы, опpеделяем как cyммy двyх ycилий, одно из котоpых действует в стержне
оcновной феpмы, а дpyгое −в стержне дополнительной (в шпренгеле):
N3−3′ = N3о−5 + N3ш−3′ .
y
1
2d
F
A |
VA |
2 |
I N2-5 5 |
|
|
|
N3-5 |
3 |
I |
x |
2F |
N3-4 |
|
|
|
|
2d |
|
2d |
Рисунок 2.14
Усилие N3о−5 определим, спроецировав все силы на ось y:
∑Yk = 0 ,
k
N3о−5 sin(α)− F − 2F + VA = 0 ;
N3о−5 = 3F −(αV)A = 3 200 −800 = −283 кН. sin 0,707
53
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
Определим усилие N3ш−3′ . Выделим шпренгель 3–3´–4, проведем
сечение II–II (рисунок 2.15, à) и рассмотрим равновесие левой части (рисунок 2.15, á):
∑Yk = 0 , |
N3ш−3′ sin(α)+ 0,5F = 0 ; |
|||
k |
|
|
|
|
N3ш−3′ = − |
0,5F |
= − |
0,5 200 |
= −141 кН . |
|
|
|||
sin(α) |
0,707 |
Ócèëèå â pàcêîcå 3−3´
N3−3′ = N3о−5 + N3ш−3′ = −283 − 141 = −424 кН .
Усилие в стержне 3–4´ определим как сумму усилий в стержне 3–4 основной фермы и усилия в стержне 3–4´ дополнительной
|
|
|
|
|
N3−4′ = N3о−4 + N3ш−4′ . |
|
|
|
|||
à) |
3' |
|
|
á) |
y |
ø |
|
â) |
|
y |
|
|
|
|
N4ø'-3' |
|
|||||||
|
|
II |
N3-3' |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
3 |
N3ø-4' |
|
N4ø'-3 |
|
N4ø'-4 |
|
|
4' |
|
|
|
|
x |
|
|
4' |
|
|
|
III |
III |
|
|
|
II |
|
|
III |
III |
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F |
|
|
|
0,5F |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.15
Для нахождения усилия в стержне 3–4 за моментную точку принимаем узел 5 (см. рисунок 2.14).
∑Mk5 = 0 , N3−4 2d + F 4d + 2F 2d − VA 4d = 0 ,
k
N3−4 = 2VA − 4F = 2 800 − 4 200 = 800 кН.
Усилие N3ш−4′ найдем из уравнения проекций сил на горизонтальную ось (см. рисунок 2.15, á).
∑Xk = 0 , N3ш−3′ cos(α)+ N3ш−4′ = 0 ;
k
N3ш−4′ = −N3ш−3′ cos(α)= −(−141) 0,707 = 100 кН .
Тогда
N3−4′ = N3о−4 + N3ш−4′ = 800 + 100 = 900 кН.
54
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
Стержень 3´–4´ принадлежит только шпренгелю. Для определения усилия в нем вырежем узел 4´ (рисунок 2.15, â) и составим сумму проекций на вертикальную ось:
∑Yk = 0 , N3ш′−4′ − F = 0 ; |
N3ш′−4′ = F = 200 кН . |
k |
|
Расчет на подвижную нагрузку. Груз P = 1 движется по нижнему поясу. Построим линии влияния в стержне 3–3´. Стержень относится как к основной ферме, так и к шпренгелю, поэтому линию влияния получим сложением линий влияния, построенных для
стержня 3–5 основной фермы и стержня 3–3´ шпренгеля.
Для построения линии влияния усилия в стержне 3–5 сделаем се- чение I–I и последовательно рассмотрим равновесие левой и правой частей. Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось и получим уравнение левой и правой прямых. Результаты вычисления приведены в таблице 2.4. Далее спроецируем узлы 3 и 4 на линии влияния и полученные точки соединим передаточной прямой (рисунок 2.12, â). Получим линию влияния усилия N3о−5 .
Таблица 2.4
Ãðóç Ð = 1 левее сечения I–I |
Ãðóç Ð = 1 правее сечения I–I |
||||||||||||
|
|
I |
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
N5-2 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
N2-5 |
||||
5 |
7 |
8 |
|
|
1 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N5-3 |
|
|
|
|
N3-5 |
|
|
B |
A |
|
|
N4-3 |
4 |
6 |
3 |
I |
N3-4 |
|
|
VB |
VA |
|
|
|
I |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∑Yправ = 0; |
|
|
∑Yлев = 0; |
|
||||||
|
–N5–3 sin(α) + VB = 0; |
N3–5 sin(α) + VA = 0; |
||||||||||
|
|
V |
|
V |
|
N3-5 = − |
|
VA |
= |
|||
|
= |
= |
= 1,414VB |
|
sin(α) |
|||||||
N5−3 |
B |
|
B |
|
|
|
|
|
||||
sin(α) |
0,707 |
|
VA |
|
|
|||||||
|
|
|
|
= − |
|
= −1,414V |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(уравнение левой прямой) |
0,707 |
|
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(уравнение правой прямой) |
Для построения линии влияния усилия N3ш−5 вырежем шпренгель, предварительно загрузив узел 4´ силой P = 1. Проведем сечение II –II
55
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
(рисунок 2.12, ã) и рассмотрим равновесие узла 3 (рисунок 2.12, ä) дополнительной фермы
∑Y = 0; N3ø−3′ sin(α)+ P2 = 0 ;
N3ø−3′ = − |
P |
|
= − |
1 |
= 0,707 . |
|
2sin(α) |
2 0,707 |
|||||
|
|
|
При расположении нагрузки в узлах 3 и 4´ усилие в стержне 3–3´ равно нулю. Линия влияния продольной силы в элементе 3–3´ шпренгеля показана на рисунке 2.12, å.
Суммарная линия влияния N3–3´ в шпренгельной ферме
л. в. N3−3′ = л. в. N3о−5 + л. в. N3ш−3′ .
На линии влияния усилия в стержне 3–5 основной фермы откладываем под узлом 4´ с учетом знака ординату 0,707. Получаем точку с ординатой 0,884 и, соединив ее с вершинами ординат 0,353 (под узлом 3) и 0,707 (под узлом 4), получим результирующую линию влияния в стержне 3–3´ (рисунок 2.12, æ).
Определение усилий. С помощью линии влияния вычислим усилие в стержне 3–3´ при действии на ферму равномерно распределен-
ной нагрузки |
q = 40 кH/м (см. рисунок 2.12, à). |
|||||||
|
|
x |
|
5-x |
|
Точку пересечения линии влияния |
||
|
|
|
|
|
|
|
с нулем определим из пропорции (ри- |
|
|
|
|
|
|
|
|
сунок 2.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,353 = |
0,884 ; 0,353(5 − x)= 0,884x ; |
|
|
|
|
5 |
|
|
x |
5 − x |
Рисунок 2.16 |
|
|
|
x = 1,43 ì. |
||||
Площадь линии влияния |
|
|||||||
ω = |
0,353 (10 + 1,43) |
|
= 2,02 ì, ω |
= 0,884 (30 − 1,43) = 12,61ì, |
||||
|
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = ω1 − ω2 = 2,02 − 12,61 = −10,59 ì.
Знак минус перед ω2 означает, что эта часть линии влияния лежит ниже оси.
Тогда
N3−3′ = qω = 40 (− 10,59)= −424 кН .
Сравнение значений усилия N3–3´, полученного двумя способами, показывает, что расчеты выполнены верно.
56
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Бурчаков, Ю. И. Строительная механика: учеб. пособие для студентов вузов / Ю. И. Бурчаков, В. Е. Гнедин, В. М. Денисов. – М.: Высш. школа, 1983. – 255 с.
2 Даpков, А. В. Строительная механика. Статика сооружений / А. В. Даpков, В. И. Кузнецов. – 5-е изд., перераб. – М.: Государственное транспортное железнодорожное издательство, 1956.
– 492 ñ.
3Даpков, А. В. Строительная механика: учеб. для строит. спец. вузов / А. В. Даpков, Н. Н. Шапошников. – 8-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 607 с.
4Довнар, Е. П. Строительная механика: учебник для вузов по спец. «Строительство» / Е. П. Довнар, Л. И. Коршун. – Мн.: Выш. шк., 1986. – 310 с.
5Иванов, В. А. Расчет статически определимых балок / В. А. Иванов, А. В. Яровая. – Гомель: УО «БелГУТ», 2002. – 58 с.
6Рабинович, И. М. Основы строительной механики стержневых систем: учеб. для инж.-строит. вузов / И. М. Рабинович.– 2-е изд., перераб. – М.: Госстройиздат, 1956. – 454 с.
7Саргсян, А. Е. Строительная механика. Основы теории с примерами расчета: учебник / А. Е. Саргсян [и др.]; под ред. А. Е. Саргсяна. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. школа, 2000. – 416 с.
8 Смирнов, В. А. Строительная механика: учеб. для вузов / В. А. Смирнов [и др.]; под ред. В. А. Смирнова. – М.: Стройиздат, 1984. –208 с.
9Смиpнов, А. Ф. Строительная механика. Стержневые системы: учеб. для вузов / А. Ф. Смиpнов. – М.: Стройиздат, 1981. – 512 с.
10Старовойтов, Э. И. Сопротивление материалов: учеб. для студентов технических вузов / Э. И. Старовойтов. – Гомель: УО «БелГУТ», 2004. – 376 с.
57