Проверить согласованность теоретического и статистического распределений, используя критерий Пирсона.

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических и теоретических частот. Для его использования необходимо, чтобы в каждом интервале группировки было достаточное количество данных. В случае малочисленных эмпирических частот (n_iэмп< 5) следует объединить соседние интервалы, в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также складываются. При этом необходимо следить за правильностью расчета значений функции нормального распределения, теоретических частот и выполнением условия .

Объединим первый и второй интервалы, частота для объединенного интервала будет 6+14=20. Объединим восьмой и девятый интервалы, частота для объединенного последнего интервала 2+2=4. Общее количество интервалов группировки после объединения m=7. Дополним скорректированную таблицу столбцом «мера расхождения», выполнив расчеты по формуле Пирсона .

ai	bi	xi	ni	Ф(х)	ni теор	хи2 i
0,2	4,2	2,2	20	0,154072	15,40716	1,369112
4,2	6,2	5,2	12	0,322178	16,81063	1,376639
6,2	8,2	7,2	23	0,538197	21,60187	0,090491
8,2	10,2	9,2	19	0,743251	20,50542	0,110521
10,2	12,2	11,2	17	0,887035	14,3784	0,477994
12,2	14,2	13,2	5	0,961504	7,446962	0,804036
14,2	18,2	16,2	4	0,998033	3,652877	0,032986
суммы			100		100	4,26178

Фактически наблюдаемое значение статистики Пирсона составляет

=4,26.

Критическое значение статистики = 9,48 найдено для уровня значимости 5% и числа степеней свободы _k=m-3=4 с помощью функции ХИ2ОБР.

Сравним фактическое значение статистики с критической величиной и сделаем вывод в соответствии со схемой:

 теоретическое и статистическое распределения согласованы, на уровне значимости следует принять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х – стажа работ.

Задача 2. Статистический анализ связей

Исходными данными для моделирования являются социально-экономические показатели субъектов Сибирского федерального округа (Приложение 1). Требуется исследовать зависимость результирующего признака Y, соответствующего варианту задания, от факторных переменных Х₁, Х₂ и Х₃:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; проанализировать тесноту и направление связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции r(Y, X_i); выбрать наиболее информативный фактор.

2. Построить модель парной регрессии с наиболее информативным фактором; дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

3. Проверить значимость коэффициентов модели с помощью t–критерия Стьюдента (принять уровень значимости α=0,05).

4. Оценить качество модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации, коэффициента детерминации и F – критерия Фишера (принять уровень значимости α=0,05).

5. С доверительной вероятностью γ=80% осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y (прогнозные значения факторов приведены в Приложении 1). Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.

7

Y7

Потребление хлебных продуктов на душу населения (в год), кг

Сибирский федеральный округ	Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10
Республика Алтай	13836,9	15632,4	106,4	7179,0	1,7	0,7	16,4	38,4	183,2	143	275	87	37
Республика Бурятия	15715,5	19924,0	107,5	11340,0	1,2	2,1	23,2	14,9	191,7	117	262	65	30
Республика Тыва	10962,8	19163,1	107,3	4944,6	1,7	0,1	21,1	42,8	135,4	135	178	40	25
Республика Хакасия	14222,8	20689,5	107,6	9680,5	1,3	1,3	25,0	19,3	247,7	134	263	110	31
Алтайский край	12499,9	13822,6	104,8	9765,7	2,3	1,4	20,8	10,3	229,6	168	334	102	40
Забайкальский край	15968,8	21099,6	107,8	10572,7	1,8	0,4	23,3	22,0	218,2	116	246	88	33
Красноярский край	20145,5	25658,6	106,1	14105,7	1,8	3,8	29,7	13,3	262,1	117	242	118	27
Иркутская область	16017,2	22647,7	107,4	10580,2	1,3	1,9	22,5	19,0	224,3	113	198	82	34
Кемеровская область	16666,0	20478,8	106,5	11237,2	1,7	2,4	26,3	18,9	210,1	130	228	77	34
Новосибирская область	18244,1	20308,5	106,2	14898,1	2,1	2,4	21,7	5,1	260,2	125	289	127	35
Омская область	17247,9	19087,8	105,0	12663,1	1,7	2,3	25,1	15,8	223,5	138	343	132	47
Томская область	16516,0	24001,0	106,1	11199,4	1,5	3,3	24,5	16,0	231,3	120	263	95	34
Прогнозные значения	16500,0	21000,0	106,0

Решение:

Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; проанализировать тесноту и направление связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции r(Y, X_i); выбрать наиболее информативный фактор.

Используем Excel (Данные / Анализ данных / КОРРЕЛЯЦИЯ):

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

Проанализируем коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и каждым из факторов X_j:

_{r (Y,X1)=-0,58<0,} следовательно, между переменными Y и Х₁ наблюдается обратная корреляционная зависимость: потребление хлебных продуктов на душу населения (в год), ниже для среднедушевых денежных доходов (в месяц).

_{r (Y,X2)=-0,85<0,} значит, между переменными Y и Х₂ наблюдается обратная корреляционная зависимость: потребление хлебных продуктов на душу населения (в год), ниже чем среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников организаций.

_{r (Y,X3)=-0,61<0}, значит, между переменными Y и Х₃ наблюдается обратная корреляционная зависимость: потребление хлебных продуктов на душу населения (в год), ниже чем индекс потребительских цен (декабрь к декабрю предыдущего года).

Для проверки значимости найденных коэффициентов корреляции используем критерий Стьюдента.

Для каждого коэффициента корреляции вычислим t-статистику по формуле и занесем результаты расчетов в дополнительный столбец корреляционной таблицы:

По таблице критических точек распределения Стъюдента при уровне значимости и числе степеней свободы _{k=n-2=12-2=10,} определим критическое значение _tкр.=2,22 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Сопоставим фактические значения t с критическим t_kp, и сделаем выводы в соответствии со схемой:

_{t (r(Y,X1))=0,16<tкр.=2,22 ,} следовательно, коэффициент не является значимым.

_{t (r(Y,X2))=0,25<tкр.=2,22}, следовательно, коэффициент не является значимым.

_{t (r(Y,X3))=0,37<tкр.=2,22}, следовательно, коэффициент не является значимым.

Построить модель парной регрессии с наиболее информативным фактором; дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для построения парной линейной модели используем программу РЕГРЕССИЯ (Данные / Анализ данных). В качестве «входного интервала Х» покажем значения фактора Х₁.

Результаты вычислений представлены в таблицах:

Коэффициенты модели содержатся в третьей таблице итогов РЕГРЕССИИ (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель парной регрессии построена, ее уравнение имеет вид

_{YT=186, 93*X1}

Проверить значимость коэффициентов модели с помощью t–критерия Стьюдента (принять уровень значимости α=0,05).

Значимость коэффициентов модели проверим с помощью t – критерия Стьюдента.

t – статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в столбце «t–статистика» третьей таблицы итогов РЕГРЕССИИ:

• для свободного коэффициента _a=186,93 определена статистика _t(a)=7,3.

• для коэффициента регрессии _b=0 определена статистика _t(b)=-2,2.

Критическое значение _tкр=2,22 найдено для уровня значимости =5% и числа степеней свободы ₁₀ (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Схема проверки:

t (a)=7,3>t_кр.  свободный коэффициент а является значимым.

t(b)=2,29>t_кр.  коэффициент регрессии b является значимым.

Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости =5%. Рассматривая столбец «Р-значение», отметим, что свободный коэффициент а можно считать значимым на уровне _2,32Е-05; коэффициент регрессии b – на уровне _0,04.

Оценить качество модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации, коэффициента детерминации и F – критерия Фишера (принять уровень значимости α=0,05).

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели , содержащиеся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица «Вывод остатка»). Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS.

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение E_отн=7,57 (функция СРЗНАЧ).

Оценим точность построенной модели в соответствии со схемой:

E_отн=7,57 – модель имеет удовлетворительную точность.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Регрессионная статистика») и составляет _R2=0,34. Таким образом, вариация (изменение) потребления хлебных продуктов Y на 34% объясняется по уравнению модели вариацией среднедушевых доходов.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет F = 5,25.

Критическое значение F_кр= 4,96 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k₁=1, k₂=12 (функция FРАСПОБР).

Схема проверки:

Сравнение показывает: F = 5,25 > F_кр = 4,96; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y (потребление хлебных продуктов) достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х₁ (среднедушевые доходы в месяц).

С доверительной вероятностью γ=80% осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y (прогнозные значения факторов приведены в Приложении 1). Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х₁ составляет 16500,0. Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя Y:

_{YT=186.93*16500=3084840}

Таким образом, если среднедушевые доходы составят 16500, то потребление хлебных продуктов будет около 308 кг.

Зададим доверительную вероятность и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака

.

Предварительно подготовим:

• стандартную ошибку модели S_E=13,2 (таблица «Регрессионная статистика» итогов РЕГРЕССИИ);

по столбцу исходных данных Х₁ найдем среднее значение равное 15670 (функция СРЗНАЧ) и определим ∑(x_i-x)²= 68727399,34 (функция КВАДРОТКЛ);

• (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).