Сопротивление материалов / Bulanov - Soprotivleniye materialov 2004

Pдоп = Pдопр = 28,8 кН.

8 Построим эпюру напряжений, действующих в сечении при P = Pдоп , (рис. 6.3).

σ1 = −972,2 28,8 10−3 = −28,0 МПа; σ2 = 694,4 28,8 10−3 = 20,0 МПа.

	1	y	НУЛЕ
	z		12 см
		6 см	2
28		20
		Эпюраσ, МПа

Рис. 6.3 Эпюра напряжений, действующих в сечении стержня ЗАДАЧА 7

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Задание. На рисунке 7.1 изображена в аксонометрии ось ломаного стержня круглого поперечного

1

αl

C

2

αl

C

l

l

ql

l

B

q

l

ql

q

B

A l

A

l

3 αl

C ql

4

C

5

αl

C

l

αl

l

l

A

B

B

A

q

B q

A

q

l

l

αl

l

ql

l

ql

6

αl

C

7

αl

C

8

αl

C

l

l

B

q

l B

l ql

B

A

l

q

q

l

A

A

αl

αl

ql

αl

ql

9

C

0

αl

C

l

αl

l B

q

A

q

B

l

l

l

ql

ql

A

сечения, расположенная в горизонтальной плоскости, с прямыми углами в точках А и В. На стержень действу-

ет вертикальная нагрузка. Требуется: 1) построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов; 2) установить опасное сечение и найти для него расчетный момент по III теории прочности. Данные взять из табл. 7.1.

Таблица 7.1

№ стро-	№ схемы	α	№ стро-	№ схемы	α
ки			ки
1	1	1,1	6	6	0,6
2	2	1,2	7	7	0,7
3	3	1,3	8	8	0,8
4	4	1,4	9	9	0,9
5	5	1,5	0	0	1,0
	е	д		е	д

Пример. На рисунке 7.2 изображена в аксонометрии ось ломаного стержня.

На стержень действует вертикальная нагрузка. Требуется: 1) построить эпюры изгибающих и крутящих моментов; 2) установить опасное сечение и найти для него расчетный момент по III теории прочности.

			1,3l
			C
			x4	y
l				z
			x		y	z
				q
		B
				x3	D	x
x2		y	l
	x	z			y	z
A				E		x
		1,3l	x1	ql

Решение 1 В первую очередь необходимо для каждого из стержней назначить оси координат. Обычно ось х

направляют вдоль оси каждого участка.

2 Эпюры моментов и поперечных сил для каждого стержня строятся, как для плоского бруса:

•участок ЕА: 0 ≤ x1 ≤1,3l :

M

z

= qlx ;

x

= 0; M

E

= 0; x =1,3l;

M

A

=1,3ql2

;

1

1

1

•

участок АВ:

0 ≤ x2

≤ l :

M z = qlx2 ;

x2 = 0; M A = 0;

x2 = l;

M B = ql2 ;

•

участок DB:

0 ≤ x3

≤ l :

M

z

= −

qx32

; x = 0; M

D

= 0; x = l;

M

B

= −

ql2

;

2

3

3

2

•участок ВС: 0 ≤ x4 ≤1,3l :

M z = ql(l + x4 )− qlx4 ; x4 = 0; M B = ql2 ; x4 =1,3l; MC = ql2 .

По этим данным построим эпюру Мz (рис. 7.3)

0,5ql2 ql2

ql2

Эпюра Мz

1,3ql2

Рис. 7.3 Эпюра Мz

3Эпюра Му на всех участках Му = 0, так как все силы параллельны оси у.

4Построим эпюру Мх (рис. 7.4):

•участок ЕА:

	0,8ql			M EA = 0 ;
			•	участок АВ:
1,3ql				M AB =1,3ql 2 ;
			•	участок DB:
				M DB = 0 ;
	Эпюра Мx		•	участок ВС:
				M BC =1,3ql 2 − 0,5ql 2 = 0,8ql 2 .
Рис. 7.4 Эпюра Mx			5 Определим опасное сечение по расчетному моменту
				M p = M z2 + M y2 + M x2

1

2

3

6

4

5

Рис. 7.5

Определение значений расчетных моментов выполняем в табличной форме:

Таблица 7.2

Сечение	1	2	3	4	5	6
Мх	0,8	0,8	1,3	1,3	0	0
Мz	1	1	1	0	1,3	0,5
Мр	1,2	1,2	1,6	1,3	1,3	0,5
	7	7	4

Опасное сечение – "3" (рис. 7.5)

M p =1,64ql2 .

Задача 8

РАСЧЕТ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

Задание. Для криволинейного стержня (рис. 8.1) построить эпюры M, Q, N и найти нормальные напряжения в опасном сечении. Данные взять из табл. 8.1. Формы поперечных сечений изображены на рис. 8.2.

Таблица 8.1

	№	Схема по	α, град	P, КН	r		d	Сечение
								по рис.
	строки	рис. 8.1				см
								8.2
	1	1	30	1,1	16		4,1	1
	2	2	45	1,2	17		4,2	2
	3	1	60	1,3	18		4,3	3
	4	2	30	1,4	19		4,4	4
	5	1	45	1,5	20		4,5	1
	6	2	60	1,6	16		4,6	2
	7	1	30	1,7	17		4,7	3
	8	2	45	1,8	18		4,8	4
	9	1	60	1,9	19		4,9	1
	0	2	30	2,0	20		5,0	2
		а	б	в	г		д	е

		r	1 2		r
		P α	P α
	1,5d			d	d
1		2	3		4
d		d	d		d/2 d/2

Пример. Для криволинейного стержня (рис. 8.3) построить эпюры M, Q, N и найти нормальные напряжения в опасном сечении. P = 12 кН, r = 16 см, α = 45°, d = 6 см.

			x		B
		y
PГ			A			r = 16 см	C
P			α = 45°
			PВ

Рис. 8.3 Схема загружения кривого бруса

1 Определим вертикальную и горизонтальную составляющие силы Р:

PB = cosαP = 0,707 1,2 = 0,849 кН; PГ = sin αP = 0,707 1,2 = 0,849 кН.

2 Запишем выражение для внутренних силовых факторов в произвольном сечении:

Q = PГ cosϕ − PB sin ϕ; N = PГ sin ϕ + PB cosϕ;

M = PГ sin ϕr − PB r (1 − cosϕ); Q = 0,849cosϕ− 0,849sin ϕ;

N = 0,849sin ϕ+ 0,849cosϕ;

M = 0,136sin ϕ − 0,136(1 − cosϕ).

По полученным формулам с шагом угла δφ = 30° производим вычисления в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Внутрен-
ний си-	φ = 0	φ =	φ =	φ =	ϕ	φ =	φ =
ловой		30	60	90	=120	150	180
фактор
Q, кН	0,849	0,311	–	–	–1,16	–1,16	–
			0,311	0,849			0,849
N, кН	0,849	1,16	1,16	0,849	0,31	–0,31	–
							0,849
M, кН м	0	0,049	0,049	0	–	–	–
		7	7		0,086	0,186	0,272

По этим данным строятся эпюры Q, N и М (рис. 8.4).

3 Определим напряжение в опасном сечении (рис. 8.5)

M = −272 Н м; N = –849 H.

Нормальные напряжения определяются по формуле

σ = N ± M r − r0 .

A Ac r

Радиус кривизны нейтрального слоя для сечения в форме трапеции (при N = 0)

(b

+ b

)h2

.

r0 =

1

2

2 (r b

− r b ) ln( r н

r

)

−(b

−b )h

н

2

в

1

2

1

в

Центр тяжести трапеции находится на расстоянии от основания:

а =

2b1 +b2

h

=

2 3 + 6 6

= 2,6667 см ;

3

3 + 6

3

b +b

2

1

r0 =

(3 + 6)62

=15,8221 см.

2 (19,333 * 6 −13,333 * 3)ln(19,333

)

− (6

−3)6

13,333

Площадь сечения

А = (b1 +b2 )h / 2 = (6 +3)6 / 2 = 27 см2 .

Значения напряжений в характерных точках:

σА

= −

879

+

27200

19,3333 −15,8221

= 996 Н/см2

= 9,96 МПа ;

27

27 0,1779

19,3333

σВ = −

879

+

27200

13,3333 −15,8221

= −1090 Н/см2

= −10,9 МПа .

27 0,1779

27

13,3333

По полученным значениям строим эпюру σ (рис. 8.5).

0,311	0,849
	1,16
0,311	1,16
0,849	0,849
	Эпюра Q (кН)
1,16	0,849
	0,311
1,16
	0,311
0,849	0,849
	Эпюра N (кН)

0,086

0,0497

0,186

0,0497

0,272

Эпюра M (кН м)

Рис. 8.4 Эпюры Q, N и M

b1 = 3 cм

9,96

с

Ц.Т.

rн

Нейтральная линия

10,9

b2

= 6 cм

rв

Эпюра σ (МПа)

Ось кривизны

РИС. 8.5 ЭПЮРА НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В

Контрольная работа 4

ЗАДАЧА 10

РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Задание. Стальной стержень (рис. 9.1) сжимается силой Р. Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения (рис. 9.2) при расчетном сопротивлении на простое сжатие R = 210 МПа; 2) найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости. Данные взять из табл. 9.

Таблица 9

№ стро-	Схема закрепле-	Сечение	Р, кН	l, м
	ния стержня по	стержня
ки	рис. 9.1	по рис. 9.2
1	1	1	100	2,1
2	2	2	200	2,2
3	3	3	300	2,3
4	4	1	400	2,4
5	5	2	500	2,5
6	1	3	600	2,6	Продолжение табл. 9
№ стро-	Схема закрепле-	Сечение	Р, кН	l, м
	ния стержня по	стержня
ки	рис. 9.1	по рис. 9.2
7	2	1	700	2,7
8	3	2	800	2,8
9	4	3	900	2,9
0	5	1	50	3,0
	е	а	в	г

P		P
1	l	2	l

	P	P	P
3		4	l
	l		5
		l	l

РИС. 9.1

	a	a	2a
1	2
			3	Пример. Стальной стержень (рис. 9.3)
	6a	6a	4a
	a	a	2a сжимается силой Р = 400 кН. Найти размеры
a 4a a	2a 4a 2a		a 4a a	поперечного сечения при расчетном сопро-
				тивлении на простое сжатие R = 200 МПа;
	РИС. 9.2
				значение критической силы и коэффициент
				запаса устойчивости l = 2 м,
	y		P
z	2a

a

Рис

1

Определяем площадь поперечного сечения:

A = a 2a = 2a2 ;

a =

A

= 0,707

A.

2

2

Определяем минимальный момент инерции

I y

= Imin

=

2a(a)3

= 0,167a4 .

3

Минимальный радиус инерции

12

imin =

Imin

=

0,167a4

= 0,289a .

4

Гибкость стержня

A

2a2

µl

1 2

6,921

λ =

=

=

5

Первое приближение φ1н = 0,5:

imin

0,289a

a

A =

P

=

400 103

= 4 10

−3

м

2

;

ϕR

0,5 200 106

a = 0,707 A = 0,707

0,004 = 0,045 м;

λ = 6,921a = 06,,045921 =155.

Из таблицы коэффициента продольного изгиба выбираем два ближайших значения φ и с помощью линейной интерполяции находим φ1к:

λ =150,

ϕ = 0,328;

λ =160,

ϕ = 0,290;

ϕ

= 0,290 + (160 −155) 0,328 − 0,29 = 0,309;

1к

10

σ

I

=

P

=

400

10−3

=100 МПа;

дейст

A

4 10−3

[σуст ]I

= Rсж ϕ1к

= 20 0,309 = 61,8 МПа;

σдействI

−[σуст ]I

100 − 61,8

∆ =

100 % =

100 % = 62 %.

[σуст ]I

61,8

Перегрузка составляет 62 % > 5 %, следовательно переходим к следующему приближению.

6 Второе приближение φ2н = (0,5 + 0,309)/2 = 0,405:

A =	400 103			= 4,94 10−3	м2 ;
	0,405 200		106
a = 0,707		A =	0,707 4,94 10−3		= 0,050 м;
λ =	6,921	=138,4.
	0,05

Из таблицы берем два ближайших значения φ и с помощью линейной интерполяции находим φ2к:

λ =130,

ϕ = 0,425;

λ =140,

ϕ = 0,376;

ϕ2к

= 0,376 + (140 −138,4)

0,425 − 0,376

= 0,384;

10

II

P

400

10−3

= 80,1 МПа;

σдейст =

=

10−3

A

4,94

[σуст ]II = Rсж ϕ2к

= 200 0,384 = 76,8 МПа;

σдействII

−[σуст ]II

80,1 − 76,8

∆ =

100 % =

100 % = 4,3%.

[σуст ]II

76,8

Недогрузка составляет 4,3 % < 5 %, что допустимо.

8 Определим критическую силу. Так как λ = 138,4 > λ = 100, расчет ведем по формуле Эйлера:

	P	=	π2 EImin	=	3,142 2 108 104 10−8	= 604 кН;
			(µl)2		(1 2)2
	кр

Imin = 0,167a4 = 0,167 54 =104 см4 .

9 Определим коэффициент запаса

kуст = PPкр = 604400 =1,51.

Задача 10

РАСЧЕТ БАЛКИ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ

Задание. На двутавровую балку, свободно лежащую на двух жестких опорах (рис. 10.1), с высоты h падает груз Q. Требуется: 1) найти наибольшее нормальное напряжение в балке; 2) решить аналогичную задачу при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой (т.е. осадка от груза 1 кН) равна α; 3) сравнить полученные результаты. Данные взять из табл. 10.

Таблица 10

№ стро-	№ схе-	№ дву-	l, м	Q, Н	h, см	α, м/кН
ки	мы	тавра
1	1	20	2,1	1100	11	21 10-3
2	2	20а	2,2	1200	12	22 10-3
3	3	24	2,3	300	3	23 10-3
4	4	24а	2,4	400	4	24 10-3
5	1	27	2,5	500	5	25 10-3
6	2	27а	2,6	600	6	26 10-3
7	3	30	2,7	700	7	27 10-3
8	4	30а	2,8	800	8	28 10-3

		9	1	33	2,9	900	9	29 10-3
		0	2	36	3,0	1000	10	30 10-3
			е	д	в	а	г	б

h	Q		1	2	h	Q
0,25l		0,75l			0,5l	0,5l
		h	Q 3	4		h	Q
	0,75l		0,25l		l	l/ 3
				РИС. 10.1

Методические указания

При наличии в условии задачи упомянутой в пункте два пружины ∆ст = ∆б +β∆пр , где ∆б – прогиб балки, лежащей на жестких опорах, в точке приложения силы Q (при статическом действии этой силы); ∆пр – осадка пружины от реакции, возникающей от силы Q; β – коэффициент, устанавливающий зависимость между осадкой пружины и перемещением точки приложения силы Q, вызванным поворотом всей балки вокруг центра шарнира левой опоры как жесткого целого (коэффициент β находят из подобия треугольников).

Пример. На двутавровую балку (№ 24, Wx = 289 см3, Ix = 3460 см4) l = 4 м, свободно лежащую на двух жестких опорах (рис. 10.2), с высоты h = 11 см падает груз Q = 600 Н. Найти наибольшее нормальное напряжение в балке; решить аналогичную задачу при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой равна α = 25 10−3 .

h=11 см	Q=600 Н

	0,75l		0,25l
	1		1	3
	A 4	C		4
			B
	0,75l		0,25l

РИС. 10.2

1 Определим прогиб при статическом приложении силы Q. Предварительно покажем единичное состояние и определим прогиб в т.

С – δС:

			0,75l							3		l	3			l
δC		=		6EI		0		+ 2										+0 +0			+
										16			16
	0,25l					3	l	3		l +0 +0										0,01172l3
+	6EI				2													+0	=			EI		;
						16		16
∆Q =				0,01172 43 600														= 6,50 10				−5	м = 0,0065 см.
			2			11		3460				10			−8
					10

							Эпюра		2	Определим динамический коэффици-
								M	ент	kд =1+ 1+ 2h =1+	1+ 2 11 =59,2.
	3		l							∆cn	0,0065
	16								3	Определим статическое напряжение