Сопротивление материалов / Grebenyuk - Soprotivleniye materialov. Osnovi teorii i primery resheniya zadach 2006

4. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Общие положения

Сопротивление стержня называется сложным, если оно может быть представлено как сумма нескольких простых видов деформации (растяжения, сжатия, прямого изгиба, сдвига, кручения).

Строго говоря, в силу конструктивных особенностей, а также наличия несовершенств изготовления и монтажа сопротивление стержней в реальных конструкциях всегда является сложным, при котором присутствуют все виды простых деформаций. Однако в ряде случаев, пренебрегая влиянием некоторых видов деформации, мы можем упростить истинную картину сопротивления стержня без существенного ущерба надежности сооружения. Такими упрощенными формами сопротивления являются, собственно, сами простые виды деформации стержня, а также их неполные комбинации.

Другим важным моментом, который необходимо здесь отметить, является характер сочетания простых видов деформации при сложном сопротивлении стержня. В той постановке, которая принята в рассматриваемых случаях сложного сопротивления стержня, в силу малости деформаций считается применимым принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Это позволяет пренебречь взаимным влиянием различных видов деформации стержня и определять его напряженнодеформированное состояние (НДС) как линейную сумму НДС, связанных отдельно с каждым из составляющих видов деформации.

4.2. Косой изгиб

Косым изгибом называется сопротивление прямого стержня действию поперечных нагрузок, проходящих через центры изгиба сечений, но не располагающихся только в одной главной плоскости инерции стержня. сечения понимается точ-

61

ка, обладающая следующим свойством: поперечная нагрузка, проходящая через центр изгиба, не вызывает закручивания стержня. В том случае, когда сечение имеет ось симметрии, центр изгиба лежит на этой оси. При наличии двух и более осей симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. В дальнейшем будем полагать, что сечение либо имеет две оси симметрии, либо разница в положениях центра изгиба и центра тяжести сечения несущественна и ею можно пренебречь (что справедливо для так называемых «массивных» (не тонкостенных) стержней). Таким образом, в принятой далее постановке считается, что поперечные нагрузки проходят через центры тяжести сечений, но не располагаются только в одной главной центральной плоскости инерции. Если все силы располагаются в одной центральной (но не главной) плоскости инерции сечения, косой изгиб называется плоским (рис.4.1.а), в противном случае

– пространственным (рис.4.1.б).

Раскладывая нагрузки по главным направлениям и используя принцип суперпозиции, представим НДС при косом изгибе как сумму НДС при двух прямых изгибах.

Рис. 4.1

Тогда нормальные напряжения в точках поперечного сечения (рис.4.2) определятся соотношением:

σ(y,z) =	M	z	y	+	My	z	,	(4.1)
	Iz				Iy

где Mz = M cosα; My = M sin α ;

M – общий изгибающий момент в сечении,

62

α - угол наклона плоскости общей изгибающей пары к плоскости YOX.

y, z – координаты точки, где определяется напряжение.

Формула (4.1) может быть записана в виде:
σ(y,z) = M(			y cosα	+	z sin α	)	(4.2)
			Iz		Iy

Из условия σ(yn ,zn ) = 0 , где уn и zn – координаты точек, лежа-

щих на нейтральной оси, из (4.2) получим линейное уравнение нейтральной оси:

		yn cosα				+	zn sin α			= 0	(4.3)
				Iz			Iy
	Отсюда:				Iz sin α
	y		n	= −				z	n		(4.3`)
					Iy cos α

Так как уn=0, zn=0 удовлетворяют (4.3’), нейтральная ось – прямая, проходящая через центр тяжести сечения. Угол наклона ϕнейтральной оси к оси z (рис 4.2) находится из соотношения:

	tgϕ= −	Iz	tgα	(4.4)
		Iy

Проверка прочности при косом изгибе проводится, как правило, по нормальным напряжениям. Для выявления наибольших растягивающих и сжимающих нормальных напряжений

63

необходимо выбрать опасное (или подозрительно на опасное) сечение. Если модули изгибающих моментов |My|, |Mz| достигают наибольших значений в одном сечении, то это сечение и есть

опасное: МY max =M, Мz max =Mzоп. К подозрительным на опас-

ные относятся сечения , где один из моментов – |My| либо |Mz| достигают наибольшего значения или близки к максимальным, а другой может быть и меньше.

При косом изгибе, как и при прямом, нейтральная ось делит сечение на две зоны – зону растяжения и зону сжатия. Для прямоугольного сечения эти зоны показаны на рис. 4.3. На этом рисунке p-p –след плоскости действия общей изгибающей пары М.

Для выявления экстремальных растягивающих и сжимающих напряжений необходимо провести касательные к сечению в зонах растяжения и сжатия, параллельные нейтральной оси (рис. 4.3). Наиболее удаленные от нейтральной оси точки касания D1 и D2 – опасные в зонах растяжения и сжатия. Если расчетные сопротивления материала стержня при растяжении Rt и сжатии Rc равны между собой, т. е. Rt = Rc = R (пластичные материалы),

то в опасном сечении выявляется σ max и условие прочности имеет вид:

	σ		max = max(σD1,| σD2 |) ≤ R .	(4.5)

Для сечений, имеющих явные опасные точки по углам, когда |y|оп=|y|max, |z|оп=|z|max (прямоугольное сечение, двутавровое сечение и т.п.) условие прочности (4.5) можно представить в виде:

σ

=

MZ

+

| M

|

≤ R.

(4.6)

оп

Y оп

или:

max

WZ

WY

σ

=

1

M

+

M

W

≤ R

(4.6`)

z

max

W

z

оп

y

оп

W

z

y

Если Rt ≠Rc , (хрупкие материалы), то составляются два условия:

σmaxраст = σD1 ≤ Rt ; | σсж |max=| σD2 | ≤ Rc	(4.7)
64

Рис. 4.3.

В выражениях (4.5), (4.7), σD1 , σD2 - нормальные напряже-

ния в опасных точках D1 и D2. Для их определения необходимо

найти координаты точек y(D1), z(D1), y(D2), z(D2), и далее воспользоваться формулой (4.1).

Тогда условия прочности будут иметь вид:

65

оп

σmaxpаст =

MопZ

yD1

+

M y

zD1

≤ Rt ;

Iz

Iy

(4.8)

оп

σсж

=

MопZ

yD2

+

M y

zD2

≤ Rc .

max

Iz

Iy

Перемещения сечений при косом изгибе определяются как геометрическая сумма перемещений, соответствующих составляющим прямым изгиба. Например общий прогиб (рис 4.4) равен:

f = v2 + w2

(4.9)

Аналогично общий угол поворота:

θ = θY2 +θ2Z .	(4.10)
Условия жесткости записываются в виде:
fmax ≤[f ]; θmax ≤[θ]	(4.11)

Полученные соотношения (4.1) – (4.11) позволяют решать 2 разновидности задач расчета: поверочную; проектную (назначение размеров сечений или допускаемых величин нагрузок). При этом для однозначного решения проектных задач подбора сечений зачастую необходимо предварительно задаваться соотношением размеров сечения (например, величиной b/h для прямоугольного сечения (рис. 4.3)), либо отношением моментов инерции IY/IZ или моментов сопротивления WY/WZ, характерным для сечения проката. В качестве дополнительного условия при подборе сечения может выступать также требование минимума расхода материала.

Примеры расчетов на прочность при косом изгибе.

ПРИМЕР 4.1 Требуется

Подобрать размер поперечного сечения балки, изображенной на рис.4.5а. Принять - R =14МПа .

66

h=2b

Рис. 4.5

РЕШЕНИЕ 1.Строим эпюры изгибающих моментов.

При этом удобнее эпюры М построить в каждой плоскости отдельно (МZ и Мy ) и общую эпюру изобразить в аксонометрии на одном рис. 4.5 б.

Из этой эпюры видно, что опасное сечение будет в защемлении, на левом конце балки. Получаем:

MZ оп = 20кН м, MY оп =15кН м.

В этом случае (поперечное сечение в виде прямоугольника), условие прочности запишем в виде (4.6)`:

σmax =

1

MZ

оп +

MY

оп

WZ

≤ R.

WZ

WY

Отсюда находим при

σ

max

= R :

MZ

оп +

MY

оп

WZ

Wтр =

WY

.

(4.13)

Z

R

h

b

Для прямоугольного сечения имеем -

y

=

;

z

=

;

max

2

max

2

67

W =

I

Z

=

bh3

=

Z

y

12 h 2

max

hb3

W =

I

Y

=

=

Y

z

12 b 2

max

Тогда отношение

W

=

bh2

6

=

h

Z

W

6

hb2

b

Y

bh62 ; hb62 ;

Определим,

Wтр используя формулу (4.13) при

h

= 2 :

Z

b

Wтр = (20 +15 2)

= 3,57 10−3 м3 = 3570см3.

Z

14 103

Здесь Wтр – требуемое значение осевого момента сопротив-

ления.

Z

Wтр = W , найдем размер сечения b .

Из условия:

z

z

3570см3 =

b h2

=

b (2b)2

.

6

6

Отсюда b =17,5 см;

h = 2b = 35 см.

Проверим прочность подобранного сечения.

W

=

b h2

=

17,5 352

= 3573см3 ;

Z

6

6

W

=

h b2

=

35 17,5

=1786,5см3 ;

Y

6

6

σmax =

1

MZ

оп +

MY

оп

WZ

=

Wz

WY

=

1

20 +15

3573

=14 103 кПа = R

−6

м

3

1786,5

3573 10

Условие прочности выполняется.

ПРИМЕР 4.2.

Требуется:

68

Подобрать номер двутавра для балки, изображенной на рис.27а, при R = 200 МПа, α = 20o .

Рис.4.6

РЕШЕНИЕ 1. Строим эпюру М и определяем изгибающий момент в

опасном сечении. Из эпюры М (рис.4.6, в) видно, что опасное сечение находится по середине балки и M max =8,75кН м .

2. Запишем условие прочности при косом изгибе при наличии двух осей симметрии поперечного сечения по формуле

(4.6):

σmax = MZ оп + MY оп ≤ R.

WZ WY

Но, MZ оп = M max cosα; MY оп = M max sin α.

После подстановки этих выражений в условие прочности и выноса за скобки выражения M max Wz , получим условие проч-

ности в следующем виде:

σmax =		M		max	cosα +sin α	WZ	≤ R.
		Wz				WY

Отсюда получаем при σ max = R :

69

Wтр =			M		max	cosα +sin α	WZ	.
z			R
							WY

Таким образом, для определения требуемого момента сопротивления при косом изгибе, нужно знать отношение осевых моментов сопротивления сечения Wz Wy .

Согласно таблице сортаментов для прокатных двутавров, эта величина находится в пределах от 6 до 15.

Подберем двутавр при WZ WY = 6.
Предварительно найдем cos200 = 0,94 ;				sin 200 = 0,342.
Wтр =	8,75		(0,94 + 0,342 6)=130,9см3
	200 103
z
По сортаменту (ГОСТ 8239–89) находим ближайший дву-
тавр – №18, который имеет W =143 см3.
			z
Подберем двутавр при WZ WY =15.
Wтр =	8,75		(0,94 + 0,342 15)= 265,6см3.
	200 103
Z				W = 289 см3.
По сортаменту находим двутавр №24,
				z
Таким образом, необходимый нам двутавр находится среди
следующих номеров: 18, 20, 22, 24.
Проверим прочность двутавра №20:
Для этого двутавра из сортамента находим:
W =184см3 ;		W = 23,1см3.
z			y
Тогда	Wz Wy	=184 23,1 = 7,97.

Определим максимальное напряжение:

σmax = 8,756 3 (0,94 +0,342 7,97)=174,32 103 кПа < R. 184 10− м

Имеет место недонапряжение, определим его в процентах:

Δσ% =		σ		max −R	100% =	174,32 −200	= −12,84%.
				R		200

Проверим прочность меньшего двутавра 18: Для этого двутавра из сортамента находим:

70