Тест 1 – 29

К точке, лежащей на внешней поверхности диска, приложены 4 силы. Если ось вращения проходит через центр О диска перпендикулярно плоскости рисунка, то плечо силы ₁ равно...

Варианты ответов:

1) b; 2) 0; 3) c; 4) a.

Решение.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Более наглядно это можно показать на примере силы ₃. Для силы ₃ линией действия будет прямая b, а перпендикуляр а, проведённый к ней от оси вращения, т.е. из точки О, будет являться плечом силы ₃.

Аналогично, линией действия силы ₁ будет прямая, являющаяся продолжением силы ₁ , которая на рисунке не показана, но она параллельна прямой а. Перпендикуляр b, опущенный из точки приложения силы на прямую a, параллельную линии действия силы, будет являться плечом силы ₁ .

Ответ: вариант 1.

Тест 1 – 30

Два тела массами m₁ и m₂ соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Если m₁ > m₂, а — сила натяжения нити, то уравнение второго закона Ньютона для тела массой m₁ в проекции на направление движения имеет вид...

Варианты ответов:

1) m₁a =T- m₁g; 2) m₁a = m₁g -T; 3) m₁a= m₁g +T.

Решение.

Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела на его ускорение равно результирующей силе, действующей на тело. На каждое тело действует две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила натяжения нити, направленная в противоположную сторону. Так как выполняется условие m₁ > m₂ , то груз m₁ , поскольку он тяжелее, движется вниз и его ускорение направлено вниз, сила тяжести направлена вниз и сила натяжения нити, направлена в противоположную сторону. Тогда уравнение второго закона Ньютона для груза массой m₁ в скалярной форме (т.е. с учетом знаков) будет иметь вид: m₁a = m₁g – T.

Ответ: вариант 2.

Тест – 1 – 31

Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке. Укажите график, правильно отражающий зависимость угловой скорости диска от времени.

Варианты ответов:

Решение.

Зависимость угловой скорости от времени даётся уравнением: ω = ω₀ +ε · t, где ω₀ – начальная угловая скорость, ε – угловое ускорение. На первом этапе ω₀ = 0, т.к. по условию задачи диск начинает вращаться. Угловое ускорение можно найти из основного закона динамики вращательного движения: ε = М / I , где М – момент силы, I – момент инерции. Так как момент силы М = const на промежутке времени 0 < t < t₁ и момент инерции диска (I = mR²/2) тоже постоянен, то ε₁ = const,. Тогда зависимость угловой скорости от времени будет иметь вид: ω = ε₁ · t. График этой функции представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для момента времени t = t₁ ω₁ = ε₁ · t₁ .

Для промежутка времени t₁< t < t₂ момент силы М = 0 и угловое ускорение ε₂ = 0 , следовательно, ω = ω₁= const. График зависимости угловой скорости от времени на этом промежутке времени будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс. Поэтому график, правильно отражающий зависимость угловой скорости диска от времени на всём временном интервале, представлен на рисунке 2.

Ответ: вариант 2.

.

Тест 1 – 32

Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L = a t ². Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело.

Варианты ответов:

Решение.

Согласно основному закону динамики вращательного движения, результирующий момент сил, действующих на тело, равен производной от момента импульса по времени: M = dL/dt. По условию задачи: L= at ², производная dL/dt =2 at, поэтому момент силы равен: M=2at. Следовательно, график зависимости момента сил от времени представляет собой прямую, проходящую через начало координат, что соответствует рисунку 3.

Ответ: вариант 3.

Тест 1 – 33

Космический корабль пролетает мимо Вас со скоростью 0,8 с (с-скорость света в вакууме). По Вашим измерениям его длина равна 90 м. В состоянии покоя его длина наиболее близка к …

Варианты ответов: 1) 55 м; 2) 90 м; 3) 150 м; 4) 110 м.

Решение

Если длина космического корабля, движущегося со скоростью v = 0.8 с, где с – скорость света в вакууме, равна L₀ , то с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на Земле, его длина будет равна L. Согласно выводу, сделанному из специальной теории относительности Эйнштейна,

L = L_{0 ·} , т.е. размеры тел сокращаются в направлении движения. Тогда длина космического корабля в состоянии покоя будет равна:

L₀ = L / .

Проведём вычисления: L₀ = 90 = 90/0.6 = 150 м.

Ответ: вариант 3.

Тест 1 – 34

Космический корабль с двумя космонавтами на борту летит со скоростью v=0,8 с (с- скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, параллельного направлению движения, в положение 2, перпендикулярное этому направлению. Тогда длина стержня с точки зрения другого космонавта …

Варианты ответов:

1. Изменится от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2;

2. Равна 1,0 м при любой его ориентации;

3. Изменится от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2;

4. Изменится от 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2.

Решение.

Согласно выводу теории относительности Эйнштейна, размеры тел сокращаются в направлении движения. Но так как космонавты не движутся относительно друг друга, а находятся в одной кабине, то длина стержня будет равна L₀ = 1м при любой его ориентации.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 35

Пи-ноль-мезон, двигающийся со скоростью 0,8 ∙с (с-скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона γ₁ и γ₂. В собственной системе отсчета мезона фотон γ₁ был испущен вперед, а фотон γ₂ - назад относительно направления полета мезона. Скорость фотона γ₁ в лабораторной системе отсчета равна …

Варианты ответов: 1) 0,8∙ с; 2) 1,67∙ с; 3) 1,8∙ с; 4) 1∙ с.

Решение

Согласно второму постулату теории относительности Эйнштейна, скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от скорости движения источников и приёмников света. Поэтому, если в собственной системе отсчёта, движущейся со скоростью v = 0.8·с, был испущен фотон в направлении движения системы, то его скорость в этой системе отсчёта равна u^'_х = с. Скорость фотона в лабораторной системе отсчёта также равна u_х = с. Это можно показать с помощью релятивистского закона сложения скоростей:

u_х = (u^'_х + v)/(1 + v·u^'_х /с²).

Подставим в эту формулу численные значения:

u_х = (с + 0.8 с)/(1 + 0.8с·с/с²) = с.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 – 36

Пи-ноль-мезон, двигавшийся со скоростью 0,8 с (с-скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона γ₁ и γ_2. В собственной системе отсчета мезона фотон γ₁ был испущен вперед, а фотон γ₂ - назад относительно направления полета мезона. Скорость фотона γ₁ в лабораторной системе отсчета равна …

Варианты ответов: 1) - 0,2∙ с; 2) +0,8 с; 3) - 1,0 ∙с; 4) + 1,0 ∙ с.

Решение

Если в собственной системе отсчёта, движущейся со скоростью v = 0.8·с, был испущен фотон в направлении, противоположном направлению движения системы, то его скорость в этой системе отсчёта равна u^'_х = - с. Скорость фотона в лабораторной системе отсчёта также равна u_х = - с. Это можно доказать с помощью релятивистского закона сложения скоростей:

u_х = (u^'_х + v)/(1 + v·u^'_х /с²).

Подставим в эту формулу численные значения:

u_х = (- с + 0.8 с)/(1 - 0.8с·с /с²)= - 0.2 с/0.2 = - с.

Ответ: вариант3.

Тест 1 – 37

Твердое тело из состояния покоя начинает вращаться вокруг оси Z с угловым ускорением, проекция которого изменяется во времени, как показано на графике.

Угловая скорость вращения тела достигнет максимальной величины в момент времени, равный …

Варианты ответов:

1) 2 с; 2) 10 с;

3) 5 с; 4) 3 с.

Решение.

По определению, угловое ускорение равно производной от угловой скорости по времени: ε = . Отсюда: dω =ε·dt. Тогда интеграл равен ω = . Графически интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции ε_z (t), двумя ординатами t=t₁ и t=t₂ и осью абсцисс t. Площадь фигуры можно рассчитать как число клеток, ограниченное графиком функции, умноженное на цену деления одной клеточки. В нашем случае цена деления равна 1 рад/с. Причём, площадь фигуры выше оси абсцисс t нужно брать со знаком «+», а ниже – со знаком « - ». Таким образом, в момент времени t = 2 с площадь фигуры равна двум клеточкам. Следовательно, угловая скорость в этот момент будет равна ω (2) = 2 рад/с.. В момент времени t = 3 с угловая скорость достигнет величины ω (3)=2+1=3 рад/с.

В момент времени t = 5 с угловая скорость может быть найдена как разность двух площадей: ω(5)=3-4= -1рад/с.

В момент времени t = 10 с угловая скорость равна:

ω(10)= - 1-10= - 11 рад/с.

Таким образом, угловая скорость достигнет максимальной по модулю величины в момент времени t =10 с.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 38

Шарик, прикрепленный к пружине и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания. На графике представлена зависимость проекции силы упругости пружины F_x на положительное направление оси х от координаты шарика.

Работа силы упругости при смещении шарика из положения 0 в положение В составляет …

Варианты ответов:

1) - 4·10 ^{– 2} Дж; 2) 4·10 ^{– 2} Дж;

3) 8·10 ^{– 2} Дж; 4) 0 Дж

Решение.

Работа силы при смещении тела из положения x₁ в положение x₂ равна интегралу: А = dx . Графически интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции F_x (x), двумя ординатами x=x₁ и x=x₂ и осью абсцисс x. Площадь фигуры можно рассчитать как число клеток, ограниченное графиком функции, умноженное на цену деления одной клеточки. Причём, площадь фигуры выше оси абсцисс x нужно брать со знаком «+», а ниже – со знаком « - ».

В нашем случае сила упругости по закону Гука равна: F_x = - kx, k – коэффициент упругости, x₁ = 0, x₂ = 40 мм, цена деления одной клеточки равна 10 Н٠мм = 10 ^{– 2}Дж. Таким образом, работа силы упругости при смещении шарика из положения 0 в положение В равна: А= - 4٠10 ^{– 2} Дж.

Ответ: вариант 1.

41