Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

приложенный в положительном направлении, создает отрицательное приращение крутящего момента M z .

§6.6. ПРАВИЛА КОНТРОЛЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

На основании анализа ранее построенных эпюр внутренних силовых факторов (рис. 6.6), дифференциальных и интегральных уравнений равновесия бруса с прямолинейной осью можно записать следующие правила контроля эпюр ВСФ:

-в сечении, где к брусу приложена сосредоточенная осевая сила, на эпюре продольных сил Nz имеется скачок (разрыв), равный по величине приложенной силе;

-в сечении, где к брусу приложена сосредоточенная сила, действующая в вертикальной или горизонтальной плоскостях, на эпюре поперечных сил Qy или Qх соответственно имеется скачок (разрыв), равный по величине приложенной силе;

-в сечении, где к брусу приложена сосредоточенная сила, действующая в вертикальной или горизонтальной плоскостях, на эпюре изгибающих моментов Mx или Mу соответственно имеется излом, направленный в сторону действия силы;

-в сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий -мо мент, действующий в вертикальной или горизонтальной плоскостях, на эпюре изгибающих моментов Mx или Mу соответственно имеется скачок (разрыв), равный действующему моменту;

-в сечении, где к брусу приложен сосредоточенный изгибающий момент, действующий в вертикальной или горизонтальной плоскостях, на эпюре поперечных сил Qy или Qх соответствен-

но скачков или разрывов не наблюдается;

-на участках, где к брусу приложены равномерно распределен-

ные поперечные нагрузки, действующие в вертикальной(qу) или горизонтальной плоскостях (qх), эпюры поперечных сил Qy

или Qх соответственно изменяются по линейному закону. Ве-

личина приращения поперечной силы на указанном участке равна равнодействующей приложенной поперечной нагрузки qу или qх.

-на участках, где на брус действуют равномерно распределенные поперечные нагрузки, действующие в вертикальной или горизонтальной плоскостях, эпюры изгибающих моментов Mx

или Mу соответственно изменяются по квадратной параболе.

Выпуклость эпюры изгибающих моментов на указанном участ-

150

ке направлена в сторону действия равномерно распределенной нагрузки qу или qх;

-если в пределах рассматриваемого грузового участка эпюры поперечных сил Qy или Qх пересекают нулевую линию, то под нулевой точкой на эпюрах изгибающих моментовMx или Mу

соответственно имеется локальный экстремум;

-если в пределах некоторого грузового участка эпюраQy или Qх постоянна и отлична от нуля, то эпюра изгибающих моментов

Mx или Mу соответственно изменятся по линейному закону;

-если в пределах некоторого грузового участка эпюра поперечных сил Qy или Qх постоянна и равна нулю, то эпюра изгибающих моментов Mx или Mу соответственно является постоянной;

-на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные изгибающие моменты, действующие в вертикальной или горизонтальной плоскостях, эпюры изгибающих моментов Mx

или Mу соответственно изменяются по линейному закону. Ве-

личина приращения момента Mx или Mу на указанном участке равно равнодействующей приложенного распределенного момента тх или ту;

-на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные продольные нагрузки, эпюра продольных сил Nz изменяется по линейному закону. Величина приращения силы Nz на указанном участке равна равнодействующей приложенной распределенной продольной нагрузки qz;

-на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные скручивающие моменты mz, эпюра крутящих моментов Мz

изменяется по линейному закону. Величина приращения мо-

мента Мz на указанном участке равна равнодействующей приложенного распределенного момента тz.

§6.7. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ БЕЗ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ

Процесс построения эпюр в балках можно значительно -упро стить, если воспользоваться полученными правилами контроля эпюр ВСФ и интегральными уравнения равновесия бруса.

ПРИМЕР 6.2

Исходные данные задачи.

Для заданной двухопорной балки (рис. 6.13) построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x .

151

Решение задачи.

Как и ранее расчет начинаем с определения величины опорных реакций.

åmА = 0; M 2 + F1 × 4 - M1 - F2 ×7 - RВ × 6 = 0;

RВ = 20 -10 +10 × 4 - 20 × 7 = -15 кН; 6

åmВ = 0; q × 4 × 6 + M1 - RА ×6 - M 2 + F1 × 2 + F2 ×1 = 0;

RА = 10 - 20 + 8 × 4 ×6 +10 × 2 + 20 ×1 = 37 кН. 6

Проверка:

å y = 0; F1 + q × 4 - RA - RB - F2 = 0;

10 + 8× 4 - 37 +15 - 20 = 57 - 57 = 0,

следовательно, опорные реакции заданной балки определены верно.

При построении эпюр ВСФ будем перемещать сечение слева на право в соответствии с выбранной системой координат. В этом случае

направление скачков на эпюре поперечных силQ соответствует

y

направлению действия сосредоточенных сил. Направление приращения эпюры Qy от действия равномерно распределенной нагрузки совпадает с направлением их действия. Знак приращения эпюры изгибающих моментов Mx соответствует знакам площади эпюры Qy .

Начинаем построение с эпюры поперечных сил Qy. В крайней левой точке балки отсутствует сосредоточенная сила, следовательно, скачок на эпюреQy равен нулю. В пределах первого грузового участка действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностьюqу=8

кН/м. Приращение	эпюры Qy	равно	ее	равнодействующей
R = 8 × 2 =16кН и направлено вниз. Следовательно, ордината эпюры на
правой границе грузового участка равна Qy = –16 кН.				грузовыми участками
На границе	между первым	и вторым

действует сосредоточенная сила RА = 37 кН. На эпюре Qy имеется скачок вверх на величину этой силы и ордината эпюрына левой границе второго грузового участка равна Qy =21 кН. В пределах второго грузового участка также действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью qу=8 кН/м. Приращение эпюры Qy равно ее равнодействующей R = 8 × 2 =16кН и направлено вниз. Следовательно, ордината эпюры на правой границе грузового участка равна Qy =21–16=5 кН.

На границе второго и третьего грузового участка нет сосредоточенной силы, следовательно, скачка на эпюре Qy не будет. В пределах

152

третьего участка равномерно распределенная нагрузка отсутствует, по-
этому приращение эпюры равно нулю и Qy						= 5 кН = const.
M1=10кНм	q=8 кН/м		M2=20кНм		F1=10 кН
							z
1	А	2	3			4 В	5
RA=37 кН		2 м	2 м		RB=-15кН		F2=20 кН
2 м						2 м	1 м
y	21
			DQy=q×2=16
			DQy= 0		5
DQy=RA=37			5				0
0
			DQy=F1=10	5			5
		DQy=q×2=16				DQy=0	DQy=F2=20
	16			DQy=RB=15
							DQy= 0 20
	21
		+	5		5		0 Эп. Qy
0
							(кН)
	-					5
							-
		16
	26
						20	20
DМх=-16×2/2=-16			DМх=(21+5)×2/2=26
10
DМх=М1=10							0
0			0
	DМх=М2=20						DМх=-20×1=-20
			20			20
	DМх=5×2=10						DМх=-5×2=-10
	26				30
10							0
0			0
							Эп. Мх
							(кНм)
			20				20
		Рисунок 6.13				30

На границе третьего и четвертого грузового участка действует сосредоточенная сила F1 =10 кН, направленная сверху вниз, следовательно, на эпюре Qy скачок направлен вниз. Ордината эпюры на левой границе четвертого грузового участка равнаQy =5-10=-5 кН. В пределах

153

четвертого грузового участка равномерно распределенная нагрузка отсутствует, поэтому приращение эпюры равно нулю Qиy = -5 кН =

const.

	На границе четвертого и пятого грузового участка приложена со-
средоточенная		сила RB = -15 кН, действующая						сверху	вниз.	Следова-
тельно, на эпюре Qy скачок направлен вниз. Ордината эпюры на левой
границе пятого грузового участка равна Qy =-5-15=-20 кН. В пределах
этого участка равномерно распределенная нагрузка отсутствует, поэто-
му приращение эпюры равно нулю иQy = -20кН = const. В крайней
правой точке рассматриваемой балки приложена сосредоточенная сила
F2 = 20 кН, действующая снизу вверх. На эпюре Qy имеется скачок от
Qy =-20 кН до нуля. Таким образом, при построении эпюры Qy мы вы-
шли из нуля и в ноль пришли, следовательно, эпюра поперечных сил
построена верно.
ней	Выполняем построение эпюры изгибающих моментов Мх. В край-										момент
	левой	точке		балки	действует			сосредоточенный
М1 = 10 кНм, растягивающий верхние волокна. Следовательно, на эпю-
ре имеется скачок от нуля до ординаты М х = -10 кНм. Указанный ска-
чок должен быть отложен вверх. В пределах первого участка прираще-
ние эпюры Мх		равно площади эпюры Qy:				SQy	= -16 × 2 / 2 = -16 кНм. Ор-
дината эпюры изгибающих моментов на правой границе первого грузо-
вого участка равна М х = -10 -16 = -26 кНм. Эта ордината должна быть
отложена вверх. Эпюра моментов будет изменяться по квадратной па-
раболе, выпуклость которой направлена вниз – в сторону действия рас-
пределенной нагрузки. В пределах данного участка эпюра Qy не пересе-
кает нулевую линию, следовательно, эпюра М х экстремума не имеет.
	На границе первого и второго грузового участка отсутствует со-
средоточенный момент, следовательно, скачка на эпюре Мх нет. В пре-
делах второго грузового участка приращение эпюры Мх									равно площади
эпюры Qy: SQy		= (21 + 5)× 2 / 2 = 26кНм. Ордината эпюры на правой гра-
нице второго грузового участка равна М х						= -26 + 26 = 0 . Эпюра момен-
тов будет изменяться по квадратной параболе, выпуклость которой на-
правлена вниз – в сторону действия распределенной нагрузки. В преде-
лах второго грузового участка эпюра Qy не пересекает нулевую линию,
следовательно, квадратная парабола экстремума не имеет.
	На границе второго и третьего грузового участка действует - со
средоточенный момент М 2 = 20 кНм,					растягивающий нижние волокна.
Следовательно, на			эпюре	имеется		скачок		от	нуля	до ординаты
М х	= 20 кНм.	Этот	скачок	должен	быть		отложен		вниз. В	пределах
				154

третьего участка	приращение эпюрыМх	равно площади эпюрыQy:
SQy = 5 × 2 =10 кНм.	Ордината эпюры М х	на правой границе участка

равна М х = 20 +10 = 30 кНм.

На границе третьего и четвертого грузового участка нет сосредоточенных моментов, следовательно, скачок на эпюре Мх отсутствует. В пределах четвертого грузового участка приращение эпюрыМх равно площади эпюры Qy: SQy = -5 × 2 = -10 кНм. Ордината эпюры моментов

на правой границе четвертого участка равна М х = 30 -10 = 20 кНм.

На границе четвертого и пятого грузового участка нет сосредоточенных моментов, следовательно, скачок на эпюре Мх отсутствует. В пределах пятого грузового участка приращение эпюрыМх равно площади эпюры Qy: SQy = -20 ×1 = -20 кНм. Ордината эпюры изгибающих

моментов на правой границе этого участка равнаМ х = 20 - 20 = 0 , что соответствует загружению балки. Как видно из рисунка6.13 в правой крайней точке балки изгибающий момент отсутствует.

§6.8 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЗАГРУЖЕНИЯ БАЛОК ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ

Винженерной практике достаточно часто встречаются симметричные балки, загруженные симметричной внешней нагрузкой. Эпюры внутренних силовых факторов в таких балках имеют некоторые характерные особенности. Рассмотрим этот случай загружения балки внешней нагрузкой на следующих примерах.

ПРИМЕР 6.3

Исходные данные задачи.

Для заданной симметричной двухопорной балки(рис. 6.14), загруженной симметричной внешней нагрузкой, построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x .

Решение задачи.

Определяем величину опорных реакций заданной балки.

åmА = 0; - M + М - F × 2 + F ×8 + RВ × 6 - q × 4 × 6 = 0;

RВ = 8 × 4 × 6 +10 -10 +10 × 2 -10 ×8 = 22 кН; 6

åmВ = 0; - M + М - F × 2 + F ×8 + RА ×6 - q × 4 ×6 = 0;

RА = 8 × 4 × 6 +10 -10 +10 × 2 -10 ×8 = 22 кН. 6

155

Проверка:

å y = 0;

- F + q × 4 - RA - RB - F + q × 4 = 0;

-10 + 8× 4 - 22 - 22 -10 + 8× 4 = 64 - 64 = 0.

Ось симметрии

Строим

эпюры

M=10кНм

внутренних

силовых

M=10кНм

в

q=8 кН/м

q=8 кН/м

z

факторов

заданной

балке,

используя

лю-

1

А

2

3

4

В 5

бой из способов их по-

F=10 кН

RA=22 кН

RB=22 кН

F=10 кН

строения,

рассмотрен-

2 м

2 м

2 м

2 м

2 м

y

16

ных ранее.

10

ния

После

построе-

6

1,25м

эпюр

внутренних

+

+

силовых факторов в за-

0

Эп. Qy

данной

балке

можно

0

0

-

(кН)

сделать

следующие

6

-

1,25м

выводы. Для балки, за-

10

груженной

симметрич-

16

ной нагрузкой опорные

реакции равны полови-

0 Эп. Мх

не

равнодействующей

0

(кНм)

6,25 4

6,25

внешних сил и направ-

лены

в

противополож-

20

20

ную сторону. При этом

30

30

эпюра

поперечных сил

Рисунок 6.14

Qy

всегда будет косо-

симметричной, а эпюра

изгибающих моментов Мх – симметричной. Эпюры внутренних усилий

в заданной балке показаны на рисунке 6.14.

ПРИМЕР 6.4

Исходные данные задачи.

Для заданной симметричной двухопорной балки(рис. 6.15), загруженной кососимметричной внешней нагрузкой, построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x .

Решение задачи.

Определяем величину опорных реакций заданной балки.

åmА = 0; - M + F ×8 - M + F × 2 + RВ × 6 + q × 2 ×5 - q × 22 / 2 = 0;

RВ = 8 ×22 / 2 - 8 ×2 ×5 +10 +10 -10 ×2 -10 ×8 = -24 кН; 6

156

åmВ = 0; M - F ×8 + M - F × 2 + RА × 6 - q × 2 ×5 + q × 22 / 2 = 0;

RА =

8 × 2 ×5 - 8 × 22 / 2 -10 -10 +10 × 2 +10 ×8

= 24 кН.

6

Проверка:

å y = 0; F + q × 2 - RA - RB - F - q × 2 = 0;

10 + 8× 2 - 24 + 24 -10 - 8× 2 = 50 - 50 = 0,

Далее

строим

M=10кНм

Ось симметрии

эпюры

внутренних

M=10кНм

усилий

в

заданной

F=10 кН

q=8 кН/м

4

5

z

балке,

используя

лю-

1 А

2

3

В

q=8 кН/м

бой

из

способов, рас-

RA=24 кН

F=10 кН

RB=-24 кН

смотренных ранее.

2 м

2 м

2 м

2 м

2 м

После

построе-

y

14

14

ния

эпюр

внутренних

0

+

0

+

0

усилий можно сделать

Эп. Qy

следующие

выводы.

-

10

2

2

10

-

(кН)

Для

балки, на

кото-

10

10

рую

действует

косо-

1,75м

1,75м

20

симметричная

нагруз-

10

ка,

опорные

реакции

2

2,25

0

Эп. Мх

равны по

абсолютной

величине,

но

проти-

0

2,25

2

(кНм)

воположны по

знаку.

20

Эпюра

поперечных

сил

Qy

всегда

будет

Рисунок 6.15

симметричной, а эпю-

моментов Мх

ра

изгибающих

является

кососимметричной.

Эпюры

внутренних усилий в заданной балке показаны на рисунке 6.15.

В некоторых случаях на строительные конструкции действуют

распределенные нагрузки, изменяющиеся по линейному закону. Рас-

смотрим пример построения эпюр при загружении балок такимина

грузками.

ПРИМЕР 6.5

Исходные данные задачи.

Для заданной двухопорной балки(рис. 6.16), загруженной внешней распределенной нагрузкой, изменяющейся по линейному закону, построить эпюры поперечных сил Qy и моментов M x .

157

Решение задачи.

Находим величину опорных реакций балки, для чего составляем следующие уравнения статики:

åmA = 0 ;

у

М=20кНм

6

6

q=8 кН/м

RB

× 6 + M + F × 2 - q ×

×

= 0 ;

2

3

z

А

2

1

В

F=10 кН

8 ×3× 2 -10 × 2 - 20

1 м

1

1 м

1 м

RB

=

= 1,33 кН;

1 м

1 м

RВ=1,33

RА=12,67

2 м

4 м

6

12,67

åmВ = 0 ;

9,33

6

2 × 6

= 0 ;

RА

×6 - M + F × 4 - q ×

×

5,33

4,67

2

3

+

1,33

-

Эп. Qy

RА

=

8×3×4 -10 ×4 + 20

=12,67 кН.

0,67

0

0

0,67

(кН)

6

1,33

0

Эп. Мх

Далее выполняем

про-

(кНм)

верку найденных значений.

11,11

å у = 0;

8,89

11,15

21,26

20,0

6

18,0

RA + RB + F - q

= 0 ;

20,89

21,11

2

Рисунок 6.16

6

12,67 +1,33 +10 - 8

= 0 .

2

Начало системы координат zOy по-

у

мещаем в

крайней правой

точке балки

q(z)

М=20 кНм

(рис. 6.16). Запишем закон изменения ин-

z

Qy

В

тенсивности распределенной

нагрузки

в

Mx

RB=1,33кН

выбранной системе координат:

z1

Рисунок 6.17

q(z )= q

z

кН/м.

6

Рассмотрим первый грузовой участок балки(рис. 6.16). Границы изменения координаты 0 £ z1 £ 4 м. Запишем выражения для внутренних силовых факторов для первого грузового участка:

å у = 0; RB + Qy	- q		z					z							z 2
			1			×		1		= 0 ;			Qy	= q	1	- RB ;
		6				2								12
åma = 0 ; M x - M - RB × z1	z						z				z								z 3
	+ q	1		×			1		×		1	= 0	; M x = M + RB				× z1	- q	1	.
		6				2					3
																		36

158

Как следует из полученных выражений, эпюра поперечных сил Qy на данном участке изменяется по квадратной параболе, эпюра изгибающих моментов M x – по кубической параболе. Вычисляем величину внутренних силовых факторов при следующих значениях z1 :

z1 = 0 ;			Qy = -1,33кН; M x				= 20,0 кНм;
z1 =1м;			Qy = -0,67 кН;			M x	= 21,11 кНм;
z1 = 2 м;			Qy	=1,33кН;		M x	= 20,89 кНм;
z1 = 3 м;			Qy	= 4,67 кН;		M x	=18,0 кНм;
z1 = 4 м;			Qy	= 9,33кН;		M x	= 11,11 кНм.
Определяем значение координаты z1 , при которой поперечная си-
ла Qy равна нулю:
	z 2				1,33 ×12
8	1	-1,33 = 0 ; z =						= 1,414 м.
12				1		8

Находим значения внутренних силовых факторов при z1 =1,414 м:

Qy = 0 ; M x = 21,257 кНм.

у

	q(z)	М=20 кНм
	z	F=10 кН	В
	Mx Qy		RB=1,33 кН
		4 м
		z2

Рисунок 6.18

По	полученным		значениям
строим	эпюры внутренних		силовых
факторов на первом участке.
Рассмотрим		второй	грузовой
участок	заданной	балки(рис. 6.18).
Границы	изменения		координаты
4 £ z2 £ 6 м. Используя			уравнения

равновесия статики, запишем выражения для внутренних силовых факторов для второго грузового участка:

å у = 0; RB

+ Qy - q

z2

×

z2

+ F = 0 ; Qy

= q

z22

- RB - F ;

6

2

12

åma = 0 ; M x - M - RB × z2

+ q

z2

×

z2

×

z2

- F(z2 -1)= 0 ;

2

3

6

z23

M x = M + RB × z2

+ F (z2 -1)- q

.

36

159