Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

	О	VO=63,21 кН		63,21		21,20
									0
0,54
	220 кН		6	-	156,79	-		52,60	-
0,54			5	63,21		21,20		0,104
		1,1А						+
					+
0,45			4					52,60
				203,21		50
									+	0,312
0,45	360 кН	1,5А	3		156,79			38,57
				-	75		-
0,20	300 кН		2			50
								35,76 0,098
0,20		А		203,21	75
			1					+	-
									0
		VB=96,79 кН			Эп. N (кН)	Эп. s (МПа)			Эп. w×103 (м)
		z
					Рисунок 3.26

Вычисляем ординаты эпюры перемещений границ грузовых:

wО = 0 ;

w6 = wО + Dl6 = 0 - 0,104 = -0,104 мм;

w5 = w6 + Dl5 = -0,104 + 0,258 = 0,154 мм; w4 = w5 + Dl4 = 0,154 + 0,158 = 0,312 мм; w3 = w4 + Dl3 = 0,312 - 0,205 = 0,107 мм; w2 = w3 + Dl2 = 0,107 - 0,205 = -0,098 мм;

w1 = w2 + Dl1 = -0,098 + 0,098 = 0 .

Таким образом, полное удлинение статически неопределимого ступенчатого стержня равно нулю, что свидетельствует о правильности выполненного расчета. По полученным значениям строим эпюру перемещений w (рис. 3.26).

Сравнивая эпюры, построенные для статически определимого (рис. 3.25) и статически неопределимого (рис. 3.26) стержней можно сделать следующие выводы:

1)Произошло перераспределение продольных усилий и нормальных напряжений по длине стержня. Участок 1, не работавший в статически определимом стержне, стал работать на растяжение в статически неопределимом стержне.

2)Напряжения в поперечных сечениях всех участков статически неопределимого стержня оказались меньше чем в статически определимом, следовательно его несущая способность выше.

3)Уменьшилась площадь поперечного сечения участков статически неопределимого стержня, следовательно, применение

81

Использование такой конструкции экономически более -вы годно с точки зрения расхода материала.

4)В соответствии с изменениями напряжений изменился характер распределения деформаций грузовых участков стержня и осевых перемещений его поперечных сечений.

		ПРИМЕР 3.3
		Исходные данные задачи.
		На рисунке 3.27 изображена статически неопределимая стержне-
вая	система, состоящая из				двух алюминиевых стержней и абсолютно
		a	a	a	жесткой балки, которая не деформируется
	С	В	a А		в результате внешних воздействий, требу-
					ется:
h		2		F	1) Определить	величину	продольных
					усилий от действия заданной внеш-
h					ней нагрузки F.
			1		2) По полученным значениям подобрать
					площади поперечных сечений стерж-
		Рисунок 3.27			ней из расчёта на прочность по пре-
					дельному состоянию.

3)Вычислить напряжения и удлинения стержней от действия внешней нагрузки.

4)Используя найденные площади поперечных сечений стержней, найти напряжения и удлинения стержней от заданного перепада температур Dt .

5)Найти напряжения и удлинения стержней, вызванных заданной неточностью изготовления одного из элементов стержневой системы d .

6)Определить величину продольных усилий, напряжений и перемещений возникающих в стержнях стержневой системы при

одновременном действии внешней силы, перепада температуры и неточности изготовления.

Для дальнейшего расчета принять: h = 4,0 м; а = 3,0 м; F = 200

кН;

А	А =1 2 ; материал стержней - медь; Е = 0,69 ×105	МПа; R = 55 МПа;
1	2
at	= 2,5 ×10-5 град-1; Dt = 80o ; d1 = 0,15cм.

Решение задачи.

Определяем продольные усилия, возникающих в элементах заданной системы от действия внешней силы F. Отрезаем жесткую балку от стержней, заменяя их действие неизвестными силами N1 (F ) и N2 (F )

82

Рисунок 3.28

(рис. 3.28). Помимо этих сил на систему действуют две опорные реакции, возникающие в шарнирно неподвижной опоре А. Таким образом число неизвестных усилий равно четырем.

a

a

a

Для плоской задачи можно составить толь-

ко три уравнения. Следовательно, рассмат-

С

В

А

риваемая задача является

однажды

стати-

a

F

N2(F)

N1(F)

чески неопределимой. Для

раскрытия

ста-

тической неопределимости системы -рас смотрим три стороны задачи: статическую, геометрическую и физическую.

а) Статическая сторона задачи.

Так как нас интересуют усилия в стержнях N1 (F ) и N2 (F ), то из трех возможных уравнений равновесия статики воспользуемся только одним, а именно. Выбор этого уравнения объясняется тем, что в него не будут входить опорные реакции шарнирно неподвижной опоры. В результате получаем:

åтА = 0 ; N2 (F )× 2a + N1 (F )× a × cosa - F × a = 0 .

б) Геометрическая сторона задачи.

Под действием внешней силы жест-

С1

кая балка повернется вокруг неподвиж-

ной

точки А (рис.

3.29). При этом стер-

Dl2(F)

В2

В1

жень

1 удлинится на величинуВВ2 =

a

= Dl1 (F ) , а стержень 2 удлинится на вели-

С

А

В

чину СС1 = Dl2 (F ) . Как следует из рисун-

Dl1(F)

a

F

ка треугольники АВВ1 и АСС1 подобны,

N2(F)

N1(F)

следовательно

= AB .

Рисунок 3.29

BB1

CC1

AC

Из прямоугольного треугольника ВВ1В2 получаем

ВВ1 =

Dl1 (F )

.

cosa

Тогда

	Dl1 (F )	=	a	или Dl1 (F )=	1	Dl2	(F )cosa .
	cosa ×Dl2 (F )		2a		2

Полученное уравнение представляет собой условие совместности деформаций заданной системы.

Далее вычисляем

tga =	a	=	3	= 0,375 ; a = 20,56o ; sin a = 0,3511; cosa = 0,9363 .
	2h
		8

Длины стержней

83

l =	a	=	3,0	= 8,54 м;	l		= h = 4,0 м.
						2
1	sin a		0,3511

в) Физическая сторона задачи.

Удлинения стержней 1 и 2 вызваны продольными усилиями N1 (F ) и N2 (F ), действующими в этих элементах. На основании закона Гука получаем:

Dl (F ) =

N1 (F )l1

=

3N1 (F )

,

1

EA1

EA1 sina

Dl2 (F )=

N2 (F )l2

=

2N2 (F )h

.

EA2

EA1

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности

деформаций, получаем

3N1 (F )

=

1 2N

2 (F ) ×h

cosa ,

EA1 sina

2

EA1

N1 (F ) = 0,438N2 (F ) .

Используя это соотношение, из уравнения статики имеем:

N2 (F )× 2 ×3,0 + 0,438N2 (F )×3,0 × 0,9363 - 200 ×3,0 = 0 ;

N2 (F )= 6007,23 =82,98 кН.

N1 (F )= 0,438 ×82,98 = 36,35 кН.

Определяем нормальные напряжения в стержнях:

s1

(F )=

N1 (F )

=

36,35

;

A1

A1

s2

(F )=

N2 (F )

=

82,98

=

165,97

.

A1 2

A2

A1

Из условий прочности для второго стержня, определяем требуемую площадь поперечного сечения:

smax = s 2 = 165,97 £ R = 55 МПа,

A1

отсюда

A1 = 165,97 ×103 = 3,02 ×10-3 м2 = 30,2 см2. 55 ×106

84

Рисунок 3.30

Находим численные значения напряжений и удлинений в стержнях системы от действия внешней нагрузи:

s

(F )=

N1 (F )

=

36,35 ×103

= 12,04 МПа;

1

A

3,02 ×10-3

1

s

(F )=

N2 (F )

=

165,97 ×103

= 54,96 МПа;

2

A

3,02 ×10-3

2

Dl

(F )= s

(F )l1

=12,04 ×106

×

8,54

= 1,490 ×10-3 м =1,490 мм;

0,69 ×1011

1

1

E

Dl

(F )= s

(F )l2

= 54,96 ×106 ×

4,0

= 3,190 ×10-3 м = 3,190 мм.

0,69 ×1011

2

2

E

Далее определяет усилия, напряжения и удлинения в стержнях заданной системы от действия температуры. От перепада температур в стержнях системы возникают дополнительные усилияN1 (t ) и N2 (t ).

Если стержни не соединены в единую системы, то они получат следующие температурные удлинения

Dl1t = at l1Dt = 2,5 ×10-5 ×8,54 ×80 =17,089 ×10-3 м; Dl2t = at l2 Dt = 2,5 ×10-5 × 4,0 ×80 = 8,0 ×10-3 м.

Откладываем в некотором масштабе полученные значения удли-

нений Dl1t

и

Dl2t . Предположим, что абсолютно жесткая балка повер-

нулась на некоторый угол (на рис. 3.30 показана пунктиром). Из рисун-

ка 11 следует, что для того, чтобы при-

С1

соединить

конец

деформированного

Dl2(t)

Dl1(t)

стержня 1 к точке В1, его нужно дополни-

Dl1t

В1

тельно сжать на величину Dl1 (t ). Для то-

a

Dl2t

В2

го, чтобы

конец

деформированного

стержня 2 присоединить к точкеС1 его

С

В

А

следует дополнительно растянуть на ве-

a

N2(t)

личину Dl2 (t ).

В соответствии с этим на

N1(t)

расчетной схеме показываем направления усилий, возникающих в стержнях от температурных воздействий.

Для определения температурных усилий N1 (t ) и N2 (t ) рассмотрим равновесие абсолютно жесткой балки. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим три стороны задачи.

а) Статическая сторона задачи.

åmA = 0 ;	N2 (t )× 2a - N1 (t )× cosa × a = 0 .
	85

N2 (t )= N1 (t )× cosa 2 = N1 (t )×0,93632 = 0,468 × N1 (t).

б) Геометрическая сторона задачи.

Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 (рис. 3.30) следует, что

BB1 = AB .

CC1 AC

СС1	= Dl	(t) + Dl		; ВВ1 =	BB2			=		Dl1t - Dl1 (t )	.
	2		2t		cosa					cosa
			Dl1t - Dl1 (t)				a
						=			;
			cosa(Dl2t + Dl2 (t ))				2a
	2(Dl1t - Dl1 (t ))= cosa(Dl2t						+ Dl2 (t )).

Полученное выражение является уравнением совместности деформа-

ций стержневой системы.

в) Физическая сторона задачи.

Удлинения стержней 1 и 2,

вызванные усилиями N1 (t ) и N2 (t ),

определяем на основании закона Гука.

Dl (t )=

N1 (t )l1

;

Dl

2

(t )=

N2 (t )l2

.

1

EA1

EA2

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности

деформаций, имеем:

æ

ö

æ

N2 (t )l2

ö

2ça l Dt

-

N1 (t )l1

÷ =

ça l

Dt +

÷cosa ;

ç

t 1

EA

÷

ç

t 2

EA

÷

è

1

ø

è

2

ø

æ

-

N

(t )×8,54

ö

2ç2,5 ×10

5 ×8,54

×80 -

1

÷ =

0,69 ×1011 ×3,02 ×

10-3

è

ø

æ

-5

N2 (t )× 4,0

ö

= ç2,5 ×10

× 4,0 ×80 +

÷

× 0,9363 ;

0,69

×

è

1011 × 0,5 ×3,02 ×10-3 ø

8,1897 ×10-8 N1 (t )+ 3,839 ×10-8 N2 (t )= 2666,96 ×10-5 .

Используя соотношения, полученные из статического уравнения равновесия, окончательно получаем

8,190 ×10-8 N1 (t )+ 3,839 ×10-8 × 0,468 × N1 (t )= 2666,96 ×10-5 ; 9,986 ×10-8 N1 (t )= 2666,96 ×10-5 ;

86

N	(t )=	2666,96 ×10-5	= 267,089 ×103 Н = 267,089 кН.
1	9,986 ×10-8

N2 (t)= 0,468 × 267,089 =124,983 кН.

Так как продольные усилия получились со знаком«плюс», то их направления, показанные на рисунке 3.30, соответствуют действительно-

сти, т.е. N1 (t )= -267,089 кН - сжимающее,									а N2 (t )= 124,983 кН - рас-
тягивающее усилие.
Далее вычисляем напряжения в стержнях1 и 2 от действия тем-
пературы:
s	(t )=		N1 (t )		=		- 267,089 ×103				= -88,440 МПа;
1				A				3,02 ×10-3
		1
s		(t )=		N2 (t )		=		124,983 ×103			= 82,770 МПа.
								0,5 ×3,02 ×10-3
	2			A
		2

Находим результирующие удлинения стержней, возникающие от заданного перепада температуры:

Dl*		(t )= Dl		- Dl (t)=
1			1t	1
= 2,5 ×10-5 ×8,54 ×80 -			267,089 ×103 ×8,54			= 6,134 ×10-3 м;
		0,69 ×1011 ×3,02 ×10-3
Dl2* (t )= Dl2t + Dl2 (t )=
= 2,5 ×10-5 × 4,0 ×80 +		124,983×103 × 4,0				=12,798 ×10-3 м.
0,69 ×1011 × 0,5 ×3,02 ×10-3
Проверим, выполняется ли ранее полученное уравнение совмест-
ности деформаций:
2 × Dl* (t)= cosa × Dl* (t );
		1		2

2 ×6,134 = 0,9363 ×12,798 ;

12,268 »11,982 .

Погрешность вычислений: d = 12,268 -11,982 ×100% = 2,38% < 5% . 12,268

Определим усилия, напряжения и удлинения элементов заданной системы, вызванных неточностью изготовления стержня 1. Так как этот стержень изготовлен длиннее чем это необходимо по чертежу, то при сборке системы абсолютно жесткая балкаАС займет новое положение

87

С1

Dl2(δ) Dl1(δ)

δ1 В1

В2		a
С	В	А
N2(δ)	a	N1(δ)

Рисунок 3.31

АС1 (рис. 3.31). При этом в стержне 1 возникнет сжимающее усилие N1 (d ), а в стержне 2 – растягивающее усилие N2 (d ). Для раскрытия статической неопределимости системы снова рассматриваем три стороны задачи.

а) Статическая сторона задачи.

åmA = 0 ;

N2 (d )× 2a - N1 (d )× cosa × a = 0 .

N2 (d )= N1 (d )×cosa 2 = N1 (d )× 0,93632 = 0,468 × N1 (d ).

б) Геометрическая сторона задачи.

Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует

BB1 = AB .

CC1 AC

BB1 = BB2 = d1 - Dl1 (d ) CC1 = Dl2 (d ), cosa cosa

тогда

d1 - Dl1 (d ) = a ;

Dl2 (d )cosa 2a

2(d1 - Dl1 (d ))= Dl2 (d )cosa .

Это уравнение совместности деформаций элементов системы. в) Физическая сторона задачи.

Укорочение стержня 1 и удлинение стержня2, вызванные усилиями N1 (d ) и N2 (d ), действующими в этих стержнях, на основании

закона Гука равны:

N1 (d )l1

N2 (d )l2

Dl (d )=

;

Dl

(d )=

.

1

EA1

2

EA2

Подставляя эти выражения в уравнение совместности деформа-

ций, имеем:

2

æ

-

N1 (d )l1

ö

=

N2 (d )l2

cosa .

çd1

÷

EA1

è

ø

EA2

æ

-

N

1

(d )×8,54

ö

N

2

(d )× 4,0

2ç

0,15

×10

2 -

÷

=

× 0,9363.

0,69 ×1011 ×3,02 ×10-3

0,69 ×1011 × 0,5 ×3,02 ×10-3

è

ø

88

Используя соотношение, полученное из статической стороны за-

дачи, получаем:

æ

-

N

1

(d )×8,54

ö

0,468 × N

(d )× 4,0

2ç

0,15

×10

2 -

÷

=

1

× 0,9363;

×1011 ×3,02 ×10-3

0,69 ×1011 × 0,5 ×3,02 ×10-3

è

0,69

ø

		0,30 ×10-2 = 9,879 ×10-8 N1 (d );
N	(d )=		0,30 ×10-2		= 30,37 ×106	Н = 30,37 кН;
		9,879 ×10-
1				8

N2 (d )= 0,468 ×30,037 = 14,21 кН.

Находим нормальные напряжения в стержнях от действия продольных сил, вызванных неточностью изготовления первого стержня:

s

(d )=

N1 (d )

= -

30,37 ×106

= -10,07 МПа;

1

А

3,02 ×10-3

1

s

(d )=

N2 (d )

=

14,21×106

= 9,41МПа.

0,5 ×3,02 ×10-3

2

А

2

Вычисляем удлинения стержней 1 и 2:

Dl* (d )= d

- Dl

(d )= 0,15 ×10-2

-

30,37 ×103 ×8,54

= 0,25 ×10-3

м;

1

1

1

0,69 ×1011 ×3,02 ×10-3

Dl* (d )= Dl

(d )=

14,21×103 × 4,0

×0,9363 = 0,52 ×10-3

м.

×1011 × 0,5 ×3,02 ×10-3

1

2

0,69

Проверим, выполняется ли уравнение совместности деформаций: 2 × Dl1* (d )= cosa × Dl2* (d );

2 × 0,25 = 0,9363 × 0,52 ;

0,50 » 0,487 .

Погрешность вычислений: d = 0,50 - 0,487 ×100% = 2,62% < 5% . 0,50

Для определения усилий, напряжений и перемещений стержней от совместного действия внешних сил, перепада температур и неточности изготовления одного из элементов системы воспользуемся принципом независимости действия сил.

Усилия в стержнях равны:

N1 = N1 (F )+ N1 (t )+ N1 (d )= 36,35 - 270,089 - 30,37 = -264,109 кН; N2 = N2 (F )+ N2 (t )+ N2 (d )= 82,98 +124,983 +14,21 = 222,173 кН;

89

Проверка:

åтА = 0 ; N2 × 2a + N1 × a × cosa - F × a = 0 ;

222,173 × 2 × 3 - 264,109 × 3 × 0,9363 - 200 × 3 = 0 ;

1333,038 -1341,856 = 8,818 кНм.

Погрешность вычислений: d = 1341,856 -1333,038 ×100% = 0,66% < 5% . 1341,856

Напряжения в стержнях равны:

s1 = s1 (F )+ s1 (t )+ s1 (d )= 12,04 - 88,44 -10,07 = -86,14 МПа;

s2 = s 2 (F )+ s 2 (t )+ s 2 (d )= 54,96 + 82,77 +14,21 =151,94 МПа.

Перемещения в стержнях равны:

Dl1 = Dl1 (F )+ Dl1* (t )+ Dl1* (d )= (1,490 + 6,134 + 0,25)×10-3 = 7,874 ×10-3 м;

Dl2 = Dl2 (F )+ Dl2* (t )+ Dl2* (d )= (3,190 +12,798 + 0,52)×10-3 = 16,508 ×10-3 м.

Выполняем геометрическую проверку. Вычисленные перемещения Dl1 и Dl2 должны удовлетворять условию совместности деформаций системы, т.е. должно соблюдаться равенство

2 × Dl1 = Dl2 × cosa ;

2 × 7,874 ×10-3 = 16,508 ×10-3 ×0,9363 ;

15,748 ×10-3 »15,456 ×10-3 .

Погрешность расчета 15,748 -15,456 ×100% = 1,85% < 5% . 15,748

ПРИМЕР 3.4

Исходные данные задачи.

Для заданной статически неопределимой стержневой системы, изображенной на рисунке 3.32, требуется:

1)Определить площади поперечных сечений заданных стержней из расчёта на прочность при совместном воздействии на стержневую систему заданной нагрузки, изменения температуры и заданной неточности изготовления стержней.

2)Определить продольные силы и нормальные напряжения в сечениях стержней при многофакторном воздействии.

Для дальнейшего расчета принять:

90