Лабораторная работа 1_Олейник_УГАТУ

Лабораторная работа №1

Тема: Решение задач линейного программирования и анализ чувствительности с помощью MS Excel.

Цель: Изучить возможности надстройки Поиск решения пакета MS Excel для решения однокритериальных задач теории принятия решений.

Вариант 31

Задача 1

На швейной фабрике для изготовления четырёх видов изделий может быть использована ткань трёх артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в таблице. В ней так же указаны имеющиеся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной. Сколько ткани каждого из артикулов может сэкономить фабрика не теряя прибыли? Насколько минимально нужно поднять цену на четвертое изделие, чтобы это увеличило прибыль? Что произойдет с прибылью, если фабрике будет необходимо выпускать изделие 3 в количестве не меньше 5 штук?

Артикул ткани	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида					Общее количество ткани
	1	2	3	4
I II III	1 - 4	- 1 2	2 3 -	1 2 4	180 210 800
Цена одного изделия (руб.)	9	6	4	7

Задача 4

Компания "Bermuda Paint" специализируется на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Лак	Цена продажи	Издержки производства 1 галлона, ф. ст
	1 галлона, ф. ст.
Матовый	13,0	9,0
Полировочный	16,0	10,0

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин. трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака — 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-ч. в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется:

а) Определить ежедневный оптимальный план производства и соответствующую ему величину дохода.

б) Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определить промежуток изменений показателя единичного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

Ход работы

Задача 1

Обозначим через x₁, x₂, x₃ и x₄ переменные, которые определяют месячные объемы производства изделий. Единица каждого изделия приносит следующую прибыль: Изделие1 = 9; Изделие2 = 6; Изделие3 = 4; Изделие4 = 7. Тогда суммарная прибыль составит:

Z = 9*x₁ + 6*x₂ + 4*x₃ + 7*x₄ ;

Запишем ограничения. Первое ограничение – ограничение по количеству ткани каждого артикула, использующегося для производства изделий:

x₁ + 2*x₃ + x₄ ≤ 180 ;

x₂ + 3*x₃ + 2*x₄ ≤ 210 ;

4*x₁ + 2*x₂ + 4*x₄ ≤ 800 ;

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные x₁, x₂, x₃ и x₄ должны быть неотрицательными. Это ограничение называется условием неотрицательности переменных и записывается так: х₁  0, х₂  0 , х₃  0 и х₄  0.

Окончательно математическая модель нашей проблемы запишется следующим образом:

Z = 9*x₁ + 6*x₂ + 4*x₃ + 7*x₄→max, при ограничениях

х₁  0; х₂  0; х₃  0; х₄  0;

x₁ + 2*x₃ + x₄ ≤ 180 ;

x₂ + 3*x₃ + 2*x₄ ≤ 210 ;

4*x₁ + 2*x₂ + 4*x₄ ≤ 800 .

Введем исходные данные в таблицу Excel.

Рис. 1. Табличная модель для вычисления производственного плана

Воспользуемся средством “Поиск решения”, зададим параметры и ограничения, соответствующие нашей задаче.

Рис. 2. Задание параметров для поиска решения

Выполним поиск решения, и сохраним отчеты по результатам, устойчивости и пределам.

Рис. 3. Успешное завершение решения задачи оптимизации

Были получены следующие результаты.

Рис. 4. Решение линейной модели для швейной фабрики

Рис. 5. Отчет по результатам

Рис. 6. Отчет по устойчивости

Рис. 7. Отчет по пределам

По приведенным результатам видно, что для получения максимальной стоимости изготовленной продукции необходимо производить 95 изделий 1 вида и 210 изделий 2 вида, изделия 3 и 4 видов, для получения максимальной стоимости, производить не следует.

Не теряя прибыли, фабрика может сэкономить 85 м ткани артикула 1.

Чтобы увеличить прибыль изменяя цену на 4 изделие, нужно минимально поднять ее на 6 руб, прибыль соответственно вырастет с 2115 руб до 2200 руб.

Если фабрике будет необходимо выпускать изделие 3 в количестве не меньше 5 штук, то получим следующие результаты:

Рис. 8. Решение линейной модели для швейной фабрики с новым производственным ограничением

Можно заметить что количество получаемой продукции имеет не целочисленный вид, чтобы исправить это введем следующие ограничения:

Рис. 9. Задание параметров для поиска решения с новыми ограничениями

В результате получим решение:

Рис. 10. Решение линейной модели для швейной фабрики с новым производственным ограничением

Как видно из таблицы, в связи с введением ограничения производства 3 изделия, план производства стал наиболее оптимальным: максимальная прибыль достигла значения 2176 рублей, при более полном использовании материалов; при этом количество полученных изделий составляет 102 ед 1 вида, 59 ед 2 вида, 5 ед 3 вида и 68 ед 4 вида.

Задача 4

Обозначим через x₁ и x₂ переменные, которые определяют объем производства в день для достижения максимальной прибыли. Единица каждого изделия приносит следующую прибыль: Матовый = 13; Полировочный = 16; При издержках составляющих: Матовый = 9; Полировочный = 10; Следовательно прибыль без учета издержек составит: Матовый = 4; Полировочный = 6. Тогда суммарная прибыль составит:

Z = 4*x₁ + 6*x₂;

Запишем ограничения. Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин. трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака — 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-ч. в день:

0,1*x₁+0,2* x₂≤400;

Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно:

0,05*x₁+0,02*x₂≤100;

Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день:

x₁+x₂≤3000;

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней):

5*x₁5000;

5*x₂2500;

Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов:

x₁+x₂2000;

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные x₁ и x₂ должны быть неотрицательными. Это ограничение называется условием неотрицательности переменных и записывается так: х₁  0 и х₂  0.

Окончательно математическая модель нашей проблемы запишется следующим образом:

Z = 4*x₁ + 6*x₂→max, при ограничениях

х₁  0; х₂  0;

0,1*x₁+0,2* x₂≤400;

0,05*x₁+0,02*x₂≤100;

x₁+x₂≤3000;

5*x₁5000;

5*x₂2500;

x₁+x₂2000;

Введем исходные данные в таблицу Excel.

Рис. 11. Табличная модель для вычисления производственного плана

Воспользуемся средством “Поиск решения”, зададим параметры и ограничения, соответствующие нашей задаче.

Рис.12. Задание параметров для поиска решения

Выполним поиск решения, и сохраним отчеты по результатам, устойчивости и пределам.

Рис. 13. Успешное завершение решения задачи оптимизации

Были получены следующие результаты.

Рис. 14. Решение линейной модели для компании "Bermuda Paint"

Рис. 15. Отчет по результатам

Рис. 16. Отчет по устойчивости

Рис. 17. Отчет по пределам

По приведенным результатам видно, что для получения оптимального ежедневного плана, необходимо изготавливать в день 1500 галлонов матового и 1250 галлонов полировочного лаков, при этом максимальная прибыль составит 13500 ф.ст.

Промежуток изменений показателя единичного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним следующий: [11,6 ф.ст.;18 ф.ст.].