Задачник / Глава 03 (45-80)

Глава 3 Напряженно-деформированное состояние в точке тела

3.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

3.1.1 Основные понятия

Если внутри загруженного тела вблизи некоторой точки вырезать бесконечно малых размеров параллелепипед (рис. 3.1, а), то на его гранях можно показать 9 компонент напряжения (рис. 3.1, б). Совокупность этих 9 компонент полностью характеризует напряженное состояние в данной

точке тела и образует тензор T , который записывается в виде матрицы:

вый инвариант напряженного состояния). Тензор напряжения является функцией координат точки и ориентации граней параллелепипеда в пространстве.

1

Рис. 3.1

45

Зная компоненты напряжений на трех взаимно ортогональных площадках в некоторой точке тела, можно найти нормальную и касательную составляющие вектора полного напряжения на любой другой площадке,

проведенной через данную точку тела ( ν , ν ) (рис. 3.1, в).

Известно, что в любой точке тела всегда существуют по крайней мере три такие взаимно ортогональные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряжения достигают экстремума. Эти площадки и напряжения называют главными (рис. 3.1, г). Главные напряжения обозначают индексами 1, 2, 3, которые ставят в соответствии с

неравенством 1 2 3 .

При трех не равных нулю главных напряжениях напряженное состояние называется объемным (или трехосным), при двух – плоским (или двуосным), при одном – линейным (или одноосным) (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Площадки, равнонаклоненные к главным, и напряжения, действую-

щие на них, называются октаэдрическими: окт , окт (рис. 3.3). Под элементарным октаэдром здесь понимается правильный восьмигранник, по-

строенный на главных осях 1, 2, 3, т. е. на осях, параллельных главным напряжениям 1, 2 , 3 ; lокт , mокт , nокт – направляющие косинусы вектора

окт , lокт mокт nокт 1 3 . Наибольшие касательные напряжения

действуют по площадкам, наклоненным под углом 45 к каждой паре главных площадок, и равны полуразности соответствующих главных напряже-

ний. Их обозначают 12 , 23 , 31 (рис. 3.4).

Рис. 3.3

46

Рис. 3.6

pν ν2 ν2 .

Угол положителен, если нормаль «поворачивается» от +z к +y. б) Плоское напряженное состояние.

47

Напряжения на площадках, перпендикулярных к нулевой главной площадке и наклоненных по отношению к заданным на угол α (рис. 3.7, а), определяются зависимостями:

Главные напряжения и ориентация главных площадок

Главные площадки характеризуются тем, что на них нормальные напряжения достигают экстремума, а касательные напряжения обращаются в ноль (рис. 3.7, б).

Из условия 0 определяется tg2 гл и гл .

Из выражений для и 1 при гл получаем формулы для

главных напряжений. Если из них исключить тригонометрические функции, то в результате получим зависимости:

48

формации.

Обобщенный закон Гука, записанный в произвольных осях:

Относительное изменение объема в точке тела:

49

Здесь К – модуль объемной упругости; 0 – среднее гидростатическое напряжение.

Удельная потенциальная энергия:

Деление полной удельной потенциальной энергии на две составляющие связано с тем, что выявлена зависимость прочности материала только от той доли напряженного состояния, которая вызывает изменение формы тела (или его элемента), т. е. от удельной потенциальной энергии изменения формы.

Оценка прочности материала по четырем классическим гипотезам прочности и пластичности

В любой самой загруженной точке тела (элемента конструкции) должно соблюдаться равенство, соответствующее одной из гипотез прочности или пластичности.

I. Гипотеза наибольшего нормального напряжения:

pI 1 , или pI 3 .

II. Гипотеза наибольшего относительного удлинения:

pII 1 ( 2 3 ) .

III. Теория наибольшего касательного напряжения:

pIII 1 3 .

IV. Энергетическая теория:

pIV 12 22 32 1 2 2 3 3 1 . I, II – для хрупких материалов, III, IV – для пластичных.

50

Следует заметить, что хрупкие материалы имеют прочность при сжатии больше, чем при растяжении. Поэтому допускаемые напряжения

при сжатии с и при растяжении р различны: с > р . Это надо учитывать при применении теорий прочности I и II.

3.1.2 Плоское напряженное состояние

Пример 3.1.1. На рисунке 3.8 показаны компоненты напряжения, действующие по граням плосконапряженного элемента. Учитывая направление заданных напряжений, согласно принятому правилу, им следует

xy 10МПа

yx

σ y 30МПа

Рис. 3.8

Определить величины и ориентацию главных напряжений; величину экстремальных касательных напряжений и положение площадок, на которых они действуют.

Решение. Определяем ориентацию главных напряжений (положение главных площадок):

51

Площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения, наклонены к главным на угол 45 (рис. 3.9, б).

При плоском напряженном состоянии нормальные напряжения на площадках с экстремальными касательными напряжениями ( max , min ) равны среднему значению ненулевых главных напряжений:

Пример 3.1.2. На рисунке 3.10, а показаны величины и направления напряжений, действующих на гранях плосконапряженного элемента. Согласно принятым правилам, заданным на рисунке напряжениям в зависи-

мости от их направления надо присвоить следующие знаки: x 40 МПа;

y 10 МПа; xy 20 МПа; 30o .

Требуется определить нормальные и касательные напряжения на гранях элемента, повернутого на заданный угол α в плоскости ненулевых главных напряжений.

Проверка: ν ν1 10, 2 19,8 x y 40 10 30 МПа.

53

На рисунке 3.10, б представлены найденные напряжения на соответствующих площадках.

Рис. 3.10

Пример 3.1.3. Дано: материал – сталь; 1 60 МПа; 2 20 МПа;3 0; 60о (знак минус, так как нормаль ν повернута по отношению к 1 против часовой стрелки); Е = 2 105 МПа; 0,3.