Задачник / Глава 08 (209-222)

Глава 8 Стержни с плоской криволинейной осью

8.1 Теоретическая и методическая информация.

Примеры

8.1.1 Эпюры внутренних усилий, определение напряжений, подбор сечений в стержнях с плоской криволинейной осью

На практике часто встречаются такие элементы транспортных средств, сооружений, машин, которые представляют собой стержни с криволинейной осью. Это разного рода проушины, крюки, арки, станины и т. д. Начальное искривление оси стержня вносит существенное перераспределение напряжений в процессе нагружения по сравнению с линейным законом изменения напряжения в прямом брусе.

	При плоской деформации рассматри-
	ваемого типа стержней в сечениях возни-		M > 0
	кают три внутренних усилия N, M, Q. По-
	ложительное направление внутренних уси-
	лий в стержне с криволинейной осью пока-		N > 0
	зано на рисунке 8.1. Это правило согласу-
	ется с тем, которое принималось	для	Q > 0
	стержней с прямолинейной осью (стержень
	с радиусом кривизны R = ).
			Рис. 8.1
	Пример 8.1.1. Дано: F = 80 кН;	R = 1 м (рис. 8.2, а).
	Построить эпюры N, M, Q.
	Решение.

1.Определение опорных реакций.

M A 0; VB 2R FR 0; VB F2 40 кН;

M B 0; VA 2R FR 0; VA F2 40 кН;

X 0; H A 0 .

209

а)	F
VA	R
1	2
А
HA

в)

28,28
-
40	Эп. N, кН

	б)
		+
RВ	11,72	40	11,72
B
	Эп. М, кНм
		40
	г)	-
28,28		+
			28,28
	28,28
-
40	Эп. Q, кН

Рис. 8.2

Проверка: Y 0 ; VA F VB 40 80 40 0.

2. Определение внутренних усилий и построение эпюр. Стержень имеет два участка.

При определении внутренних усилий используем полярные координаты: радиус стержня R и центральный угол, определяющий положение сечения φ (рис. 8.2, а). При определении продольной силы все действующие на отсеченную часть силы проектируются на касательную к оси в сечении φ, а при определении поперечной силы – на нормаль к оси в сечении φ. Момент берется относительно точки оси в сечении φ.

I участок: 0 1 2 .

Рассмотрев равновесие левой отсеченной части стержня, получим:

M 1 VA R 1 cos 1 H A Rsin 1; Q 1 VAsin 1 H Acos 1 ;

N 1 VAcos 1 H Asin 1 .

Как следует из полученных выражений, эпюры M, Q, N имеют криволинейное очертание. Определение численных значений ординат в трех сечениях первого участка сведено в таблице 8.1. Ординаты откладываются перпендикулярно к оси стержня.

210

Т а б л и ц а 8 . 1

	Участок	φ, рад			М, кНм	Q, кНм	N, кНм
	I			0	0	0	–40
				4	11,72	28,28	–28,28
				2	40	40	0
	II			0	0	0	–40
				4	11,72	–28,28	–28,28
				2	40	–40	0
II участок: 0			2	.
				2

Рассмотрим равновесие правой отсеченной части:

M 2 VB R 1 cos 2 ;

Q 2 VBsin 2 ;

N 2 VB cos 2 .

Расчеты представлены в таблице 8.1. Эпюры M, Q, N приведены на рисунке 8.2, б, в, г.

Пример 8.1.2. Для криволинейного бруса, показанного на рисунке 8.3, а,

	R0 = 1 м, F = 20 кН, m = 10 кНм, [σ] = 10 МПа.
	Требуется: 1) построить эпюры	внутренних усилий			M, Q, N;
	2) определить размеры кругового поперечного сечения.
	Решение.
	1. Определим реакции из уравнений статики:
	M D 0; FR0 m VB 2R0	0; VB	FR0 m		5 кН;
			2R0

M B 0 ; VD 2R0 FR0 m 0; VD 21R0 FR0 m 15кН;

Z 0 ; HD F 20 кН.

Проверка: Y 0; VD VB F 0; 15 5 20 0 .

По уравнениям N строим эпюру продольной силы (рис. 8.3, г):

для участка СВ 0 1 2 ; N 1 VBcos 1 Fsin 1 ; для участка АС 0 2 2 ; N 2 VDcos 2 HDsin 2 .

211

								D
	а)	1				б)		K
										y0
		F	N	M			х
										н.о.
		C					Т			y
							y
		1	Q			0		Т		K
		R					h
						R		y T	r
HD		0	1
	D	2			В
		z			m	F
	VD				VB	в)		35
		2R0						+
						15				15
	y
							М (кНм)
								5		10
						д)		5
		20
	г)	+				25
								-15
							+			-	20,6
		N (кН)						Q (кН)
	-	36,87о		14о	-		36,87о			14о
	15				5	20					20

Рис. 8.3

По уравнениям Qφ строим эпюру перерезывающей силы (рис. 8.3, д): для участка СВ 0 1 2 ; Q 1 Fcos 1 VBsin 1 ;

для участка DС 0 2 2 ; Q 2 VDsin 2 HDcos 2 .

Эпюру изгибающего момента Мφ для этих же участков строим по уравнениям (рис. 8.3, в):

для участка СВ M 1 FR0sin 1 VB R0 1 cos 1 m ; для участка DС M 2 VD R0 1 cos 2 HD R0 sin 2 .

Проверку на экстремальность значений Nφ, Qφ, Mφ в пределах каждого участка проводим, как обычно, приравнивая к нулю производную от каждой функции:

	dN	0 ;	dQ	0 ;	dM	0	;
	d		d		d

212

dN 1

V sin * Fcos *

0;

tg * F V

,

d 1

B

1

1

1

B

экстремума нет ( * <0);

1

dN 2

V sin * H

cos * 0; tg *

HD

,

D

d 2

D

2

2

2

VD

экстремума нет;

dQ 1

Fsin *

V cos * 0;

tg *

VB

0, 25 ,

d 1

1

B

1

1

F

экстремум при *

arctg0,25 14,036 ;

1

dQ 2

V cos *

H

sin *

0;

tg

*

VD

0,75,

D

d 2

D

2

2

2

HD

экстремум при *

arctg0,75 36,87 ;

2

dM 1

FR cos * V R sin *

0;

tg *

F

,

d 1

0

1

B

0

1

1

VB

экстремума нет ( * <0);

1

dM 2

V R sin * H

R cos * 0;

tg

*

HD

d 2

D 0

2

D

0

2

2

VD

экстремума нет ( * <0).

2

Заметим, что в кривом брусе

dQ

N ;

dM

Q

. Там, где N

dz

dz

проходит через ноль, Q

достигает экстремума,

а где Q проходит через

ноль, там M экстремально.

Представим результаты вычисления Nφ ,Qφ ,Mφ

в табличной форме

(табл. 8.2).

Т а б л и ц а 8.2

Участок

φо

Nφ, кН

Qφ, кН

Mφ, кН

СВ

0

–5

–20

10

14,04

0

–20,6

15

90

20

–5

35

АС

0

–15

20

0

36,87

0

25

15

90

20

15

35

213

Как видно из эпюр, опасное сечение отчетливо выражено и проходит слева от точки С, где N = 20 кН, Q = 15 кН, M = 35 кНм.

2. Напряжения в любой точке по высоте поперечного сечения бруса с криволинейной осью вычисляют по формуле:

NA MS y ,

где S A y0 ; .

y и ρ – расстояния до исследуемой точки сечения от нейтральной оси и от центра кривизны оси бруса;

S – статический момент площади сечения относительно нейтральной линии сечения, параллельной оси x;

y0 – расстояние между центральной и нейтральной осями;

А– площадь поперечного сечения.

Встержне с криволинейной осью, в отличие от стержня с прямолинейной осью, нейтральная ось при деформации чистого изгиба не совпада-

ет с центральной и смещается к центру кривизны на величину у0 .

Как следует из формулы, нормальные напряжения от изгибающего момента распределяются по высоте сечения по гиперболическому закону, достигая наибольшей по модулю величины в точках на внутреннем контуре бруса.

Опасной точкой сечения является точка Т (рис. 8.3, б). Из условия прочности материала именно в этой точке определим диаметр поперечного сечения:

N

M

yT

N

M

y0

D / 2

.

S

A

D2

T

A

R D / 2

T

y0

0

4

Неизвестными здесь являются D и y0 – расстояние от нейтральной оси до центра тяжести сечения (см. рис. 8.3, б). Можно выразить y0 через D, имея точную формулу (см. учебник Н.М.Беляева [1])

y0 R0

D2

,

R2 D2 4

8 R

0

0

и составить уравнение относительно D. Однако быстрее к цели приводит

подбор по приближенной

формуле.

Упрощение

сводится к замене

S

A

y0

на приближенное выражение

S I x R0

и замене действитель-

ного y (отсчитываемого от нейтральной линии) на yx , отсчитываемое от оси x, проходящей через центр тяжести сечения. Кроме того, при первона-

214

чальном подборе не учитываем продольную силу N. При этих условиях в

данном примере I W D

2

;

y D

2

;

R D

2

. Приближенная

x

x

T

T

0

формула для T принимает вид:

M

yТ

MR0

D / 2

MR0

D / 2

M

R0

.

Т

Т

S

I x

(R0

D

)

Wx

D

(R0

D

)

Wx

(R0

D

)

2

2

2

2

Таким образом, получим приближенное условие прочности:

M

R

;

Wx

D3

0

Wx

R0

D 2

32

Уравнение относительно D:

R

D3

D4

MR0

0

0

64

32

или

35 982D3 491D4 0 .

Из этого уравнения Dmin = 0,351 м. По приближенной формуле

.

,

						y			I	x		D4 4				7,66	10 3 м.
							0					64 D2 R
									АR
										0			0
	Проверим прочность в точке Т с учетом силы N:
									35						0,351/ 2 7,66			10	3
			T						2							1
					0,351					7,66 10 3							0,351/ 2
							4
				20				9,612 103					0,204 103				9,816 103 кН/м2 =
		0,3512				/ 4
													МПа .
										9,816

Недонапряжение составляет меньше 5%, что допустимо. Принимаем D = 350 мм. Сравним вычисление y0 по приближенной формуле и по точной формуле.

По точной формуле получим значение

y0	R0				D2					7,74 мм.
			8 R		R2	D2	4
		0			0

Расхождение с приближенным значением y0 =7,66 мм равно 1,03%. Радиус нейтрального слоя по точной формуле

r R0 y0 0,9922 м,

215

по приближенной r 0,99234 м. Различие 0,014%.

Пример 8.1.3. Два бруса с криволинейной осью и одинаковой площадью поперечного сечения (рис. 8.4) А = 4 см2 и одинаковым радиусом кривизны R0 = 6 см испытывают воздействие наибольшего изгибающего момента М = 8,5 кНсм.

Требуется построить эпюры напряжения .

а)	Эп. , МПа

		b1=1 см			26,6	31,88
		B
					-
см			y0=0,222см
	х	0
=4
		Н
h
1
					+
		Т y	42,5	31,88
		см			см
		5,778=			R
					6=
					0
		1
		r

б)				Эп. , МПа
			=0,0556см
		b2=2 см		57,61	63,75
		B		-
см			0
	х		y
=2
		Н
2				+
h
		Т	72,15	63,75
		y

r =5,9444 см 2

Рис. 8.4

Решение. Для определения напряжений в любой точке n сечения воспользуемся формулой

			M		yn	.
	n
			S		n

Здесь множитель M/S = const, а множитель yn n для каждой точки разный. Отсчет yn ведется от нейтральной линии сечения до точки сечения n, отсчет n – от центра кривизны оси кривого бруса до той же точки

сечения n .

Наибольшие напряжения, как известно, возникают в точках сечения В и Т (см. рис. 8.4). Для прямоугольного сечения

y			h	y ;	y	h	y ;
	B
		2		0	T	2	0

216

		R	h	;	R		h	;	S Ay .
	B
		0	2		T	0	2		0

Воспользуемся приближенной формулой определения y0 :

y0

I x

.

АR0

Для прямоугольного сечения

y

bh3

h2

.

0

12bhR0

12R0

Рассмотрим стержень с поперечным сечением, изображенным на рисунке 8.4, а:

							R0 h 6 4 1,5;
			42					4
	y0					0,222	см ; yВ		0,222		2,222	см;
			12		6			2

					y				4		0, 222 1,778			см;
					T		2
				B 6 2 8 см; T 6 2 4 см;
					S 4 0,222 0,888 см3;
					M					8,5			9,57 кН/см2;
					S		0,888
	В	9,57 2,222 2,66 кН/см2												26,6 МПа;
							8
				9,57		1,778						4,25 кН/см2		42,5 МПа.
			T
							4
Напряжение в точке нейтрального слоя н														0 .

При известных трех значениях напряжений ( В , T , н 0 ) мож-

но провести гиперболу, как показано на рисунке 8.4, а.

Для стержня с поперечным сечением, изображенным на рисунке 8.4, б:

			R0		h 6			2 3;
y			22			1		0,0556 см ;
0	12 6				18
			2
yВ				0,0556 1,0556					см;
			2

217

			y			2		0,0556 0,9444 см;
			T		2
	B 6 1 7 см; T 6 1 5 см;
			S 4 0,0556 0,222 см3;
				M				8,5			38,2 кН/см2;
				S			0,222
		38,2 10							( 1,0556)				57,61 МПа;
	В
							7
			38,2 10							0,9444		72,15 МПа;
		T
							5

Эпюра σ показана на рисунке 8.4, б.

Для сравнения вычислим напряжения в крайних волокнах без учета кривизны бруса (примеры а и б):

а)

M

M 6

8,5 6

10 31,88 МПа;

max

W

b h2

1 42

min

x

1 1

б)

M

M 6

8,5 6

10 63,75 МПа.

max

W

b h2

22

min

x

2 2

Сравнивая результаты, можно сделать выводы:

	1) увеличение напряжений из-за кривизны зависит от			R0 / h :	при
R0	/ h 1,5	(случай а) 33,3%, при	R0 / h 3	(случай	б)
13,2%;
	2) с увеличением отношения высоты сечения к ширине h / b				при
А const ,		R0 const напряжения убывают.
	8.2	Задачи для расчетно-графических работ

по теме «Расчет стержней с плоской криволинейной осью»

Задача 8.2.1. Построение эпюр внутренних усилий и напряжений в брусе с круговым очертанием оси.

Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 8.3 и на рисунках 8.5, 8.6 (R0 – радиус линии, проходящей через центр тяжести сечений).

218