Задачник / Глава 04 (81-99)

1520 113

1520 113

cos60o

0 816,5 351,7 1168 см4;

2

2

I

I x0 I y0

I x0 I y0

cos 2 I

sin 2

y

x0 y0

2

2

816,5 351,7 0

465 см4;

I

I x0 I y0

sin 2 I

cos 2

1520 113

sin 60o

609 см4.

xy

2

x0 y0

2

б) ∟140 140 12;

I

x0

957

см4;

I

y0

248 см4;

45o .

I

957 248

957 248

cos( 90o ) 0

x

2

2

602,5 0 0 602,5 см4;

I

y

602,5 0 0 602,5 см4;

I

957 248

sin( 90o )

354,5 см4.

xy

2

Заметим, что применительно к равнополочному уголку I x и I y под-

считаны из учебных соображений, так как эти значения моментов инерции имеются в сортаменте, а величины I xy в сортаменте нет и ее надо уметь

подсчитывать. Знак I xy зависит от знака угла поворота главных осей уголка: по часовой стрелке – минус, против часовой – плюс.

в)		I x0 3140 см4 (см. пример 4.1.5, а);
						20 123				18 103								0;
I y 0															1380	см4; I x0 y0
						12					12
I					3140 1380									3140 1380			cos( 60o ) 0
	x
						2					2
		2260 440									2700 см4;
I y			2260 440 0 1820 см4;
I							3140 1380						sin( 60o ) 0 762 см4.
	xy
						2

91

4.1.7

Общий случай определения моментов инерции

сечений относительно произвольных осей x и y

Пример 4.1.9. Определить момент инерции сечения относительно

осей x и y (рис. 4.20).

а)

y

yc

б)

y

15 см

y0

yc

20 см

y0

18

см

30

№ 20

х0

C

хc

30

хc

10 см

х0

12 см

12

см

0

x

x

Рис. 4.20

Решение. Задача решается путем последовательного перехода снача-

ла от осей

x0 , y0

к осям

xc , yc ,

а затем от осей xc , yc к заданным осям

x, y .

I x0

12 183

а) A 12 18 216 см2;

5832

см4;

12

I y0

18 123

0;

12

2592 см4;

I x0 y0

I xc 5832 2592 5832 2592 cos(60o ) 4212 810 5022 см4;

2

2

I

yс

4212 810 3402 см4;

I xc yc

5832 2592 sin( 60o ) 1403 см4;

2

I

x

I

xc

Aa2

5022 216 102

26622 см4;

I

y

I

yc

Ab2

3402 216 152

52002 см4;

Ixy

Ixc yc

Aab 14032 216 10 15 33803 см4.

б) I 20;

I x0

1840 см4; I y0

115 см4; A 26,8

см2;

I x0 y0 0.

I xc 1840 115 1840 115 cos( 60o ) 977,5 431,3 1409 см4;

2

2

92

I yс		977,5 431,3 546,2 см4;
I xc yc					1840 115		sin( 60o ) 747 см4;
				2
I	x	I	xc	Aa2		1409 26,8 122 5268 см4;
I	y	I	yc		Ab2	546 26,8 ( 20)2 11266 см4;
Ixy		Ixc yc Aab 747 26,8 12 ( 20) 7179 см4.

4.1.8Определение положения главных центральных осей

иглавных моментов инерции сечения

Пример 4.1.10. Найти главные центральные оси и главные моменты инерции сечения (рис. 4.21).

yГ	y		y0	16
	х	С
	y1					хГ
см						0	х0
			х1
20	01			y
		С			2
						z0
							yС
			0			х2	b2
				2
	5 см			h2			х

Рис. 4.21

Решение. 1. Находим центр тяжести фигуры. Расчеты сведены в таблице 4.2.

[16;

A 18,1

см2;

Т а б л и ц а 4.2

2

I x2

63,3 см4;

i

Ai ,

xci ,

yci ,

Aixci ,

Aiyci ,

I y 2

747 см4;

см2

см

см

см3

см3

1

100

2,5

10

250

1000

z0

1,80 см;

2

18,1

13

4,6

235,3

83,26

b

6,4 см;

A 118,1

S y 485,3

S x 1083,3

2

y

S

x

1083,3

9,17

см;

x

S y

485,3

4,11 см.

c

A

118,1

c

A

118,1

93

Проверка:

Sx0 Ai yci yc 100 10 9,17 18,1 4,6 9,17

i

0,283 см3;

Sy0 Ai xci xc 100 2,5 4,11 18,1 13 4,11

i

0,09 см3,

где Sx0 , S y 0 – близки к нулю, что говорит о правильности определения ко-

ординат центра тяжести площади.

Более подробные объяснения по определению положения центра тяжести сложных фигур приведены в примере 4.1.4.

2. Проводим через центр тяжести площади оси x0 , y0 , параллельные осям x1 , y1 и x2 , y2 . Находим моменты инерции площади фигуры относительно осей x0 , y0 (см. примеры 4.1.5 и 4.1.6). Расчеты сведены в таблицу 4.3.

																																									Т а б л и ц а			4.3
	Ai,	Координаты					Ix0 Ixi									ai2 Ai								I y 0 I yi								bi2 Ai								Ix0 y0 Ixiyi			Ai aibi
		в осях x0y0
i		ai			bi			Ixi				ai2 Ai						I xi		0					Iyi			bi2 Ai							I yi	0				I xiyi		aibi Ai	I xi	0 y 0
	см2	cм																											см4
1	100	0,83		–1,61			3333					68,9						3402						208,3				259,2						467,5						0		–133,6	–133,6
2	18,1	–4,57		8,89			63,3					378						441,2						747				1430,5						2177,5						0		–735,4	–735,4
A 118,1 см2							I x0				3843 см4													I y0 2645 см4														I x0 y0 869 см4
	3. Находим положение главных центральных осей и главные момен-
ты инерции:
				tg 2 0									2Ix0 y0														2 869								1, 45;
												Ix0			I y0
																									3843 2645
										2			0	55,4o ;												0	27,7o ;
						Iг			I	x0		I		y 0							I			x0		I		y 0	2		Ix20 y 0
												2														2
						3843 2645															3843 2645											2	869					2
								2																		2
																																	4
									3244 1056																	4300 см								;
																																	4
																										2188 см								;

94

I xг 4300 см4;		I yг 2188 см4.
Проверка:
I xг I yг I x0 I y0 ;
I xг I yг	4300 2188 6488 см4;
I x0 I y0	3843 2645 6488 см4;

6488=6488.

4. Построение эллипса инерции сечения и правила его использования. Определяем главные радиусы инерции ixг ; iyг :

yГ

i Г х

i	xг		Ixг
			A
i	yг		I yг
			A
х1
i
х
	1
			хГ
i Г
у
Рис. 4.22

118,14300 6,03 cм;

118,12188 4,31 cм.

Строим эллипс инерции (рис. 4.22). Пользуясь эллипсом инерции, можно найти радиус инерции относительно любой центральной оси, например x1. Для этого параллельно оси x1 проводится касательная к эллипсу инерции. Расстояние между касательной и осью x1 , измеренное в масштабе чертежа, дает величину радиуса инерции ix1 .

Тогда I x1 Aix21 .

4.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Геометрические характеристики плоских

фигур»

Задача 4.2.1. Главные центральные моменты инерции плоских фигур, имеющих оси симметрии.

а) Варианты 1–20 (рис. 4.23). Определить моменты инерции площади плоских фигур относительно главных центральных осей.

95

1	5 см		2		5 см
см		5 см 10 см	см			7,5 см	10 см
20			20
	10 см				10 см
5	20		6	2	8	2
20
80 см		20				1,5	20 см
		20				4
	80 см
					15 см
9			10		12 см
6
см			см			12см
12			20
6
	6	6

	3	5 см
		2,5
	см	5 см
	20
		10 см
	7	12 см

4

20 см
2	2
11	12 см
40 см
80 см
	70 см

4	2,5	2,5

2,5

5

5 см20

2,5 12 см

	8	6
		5	2,5
			5
	20 см
			5
		12 см	2,5
	12
		60
	120 см		60
		120 см

13		14		15			16	50 см
			60 см
25cм			20 30	16 см		10 20 см	20 см	15
	10		10		10				30
					16			25	25
17	8	18	12	19	6		20
								6	6
12 см				24 см		6

12

15 см

24 см	24 см

Рис. 4.23

96

б) Варианты 41–60 (рис. 4.24). Определить моменты инерции сечений,

составленных из прокатных профилей, относительно главных центральных

осей.

41

10 мм

42

180 мм

43

200 мм

10

44

Двутавр

Двутавр

№ 24

20 мм

мм

мм

Уголок

№ 20

Швеллер

240

200

№ 20

мм

50 50

5

10

124 мм

Уголок

20 мм

100 мм

100 мм

80 80 8

45

150 мм

46

160 мм

47

200 мм

48

Швеллер № 18

мм

16

Двутавр

20

Двутавр

75

40 мм

№ 22

Швеллер

№ 20

20 мм

№ 16

280 мм

75

75

16

200 мм

220 мм

280 мм

49

10 мм

50

51

52

10 мм

120 мм

Двутавр

Швеллер

№ 14

мм

Уголок

№ 14

10 мм

70 мм

Двутавр

70 мм

300

100 100 10

140 мм

№ 12

10

150 мм

Двутавр № 14

Швеллер № 14

10

10

300 мм

53

Швеллер № 22

54

Двутавр № 18

55

№ 24

56

Швеллер № 30

Швеллер № 24

Двутавр

№ 18

№ 27

10 мм

Швеллер № 20

150 мм

57

Швеллер № 27

58

Швеллер № 22

59

60

Уголок

135 мм

135 мм

110 мм

Уголок

70 мм

300 мм

250мм

160 160 16

160 160 14

Двутавр № 27

20 мм

Рис. 4.24

97

Задача 4.2.2. Моменты инерции плоских фигур относительно произвольно выбранных осей.

Варианты 21–40 (рис. 4.25). Определить моменты инерции плоских

фигур относительно заданных координатных осей x и y. (Точкой на схемах показан центр фигуры.)

Рис. 4.25

98

Задача 4.2.3. Общий случай определения главных центральных моментов инерции плоских фигур.

Варианты 1–86 (рис. 4.26). Сечение состоит из одного прокатного уголка и одной пластины, приваренной к нему. Точкой на схемах показан центр уголка. Номер уголка задается. Длину пластины принять равной одинарной или двойной величине стороны уголка в зависимости от схемы. Толщина пластины принимается равной толщине полки уголка.

4	5	10	11	18	19
						27	28
3	6	9	12	17		20
2	7	16	13			26	29
				24		21
1	8	15	14	23	22	25	30

32	33	40	41	48	49
31	34	39	42	47	50
38	35	46	43	54	51
37	36	45	44	53	52

56	57
55	58
62	59
61	60

64	65	72	73	80	81
63	66	71	74	79	82
70	67	78	75	86	83
		77	76	85	84
69	68

Рис. 4.26

Последовательность решения задачи

1.Вычертить в масштабе сечение. Показать размеры.

2.Определить положение центра площади.

3.Вычислить моменты инерции площади относительно центральных

осей xc и yc , параллельных сторонам пластины.

4. Определить положение главных центральных осей инерции xг , yг ,

вычислить главные моменты инерции, радиусы инерции и моменты сопротивления.

99