Задачник / Глава 06 (112-155)

	6			5,36 10 3			1		[	8	62		12 6 2 14 6 4 2
							2860 2
		10			6 4 3 ] 13,29 10 3						рад.
			6
Пример						6.1.13. Построить					изогнутую ось для составной балки
(рис. 6.23,					а),	если E = 2 105		МПа, I				x	= 1290 cм4; вычислим жесткость

EI = 2 105 1290 10-8 = 2,58 МНм2.

а)

б)

в)

МA=21 кНм			RC=46 кН
		F1=5 кН
					F2=14 кН
	RA	7 кН
					q=20 кН/м

z

A

B

C D

l1=3 м

l2=2 м

a=1

y

RB=12

кН

RC=46 кН

F2=14 кН

q=20 кН/м

z

y

B

C D

RA 7 кН

F =5 кН

1

z

A

B

МA=21 кНм

RB=12 кН

y

24,34

12,62

14,49

y

3,61

Эп. 103 , м

21,19

Рис. 6.23

Решение. Разъединим составную балку в шарнире. Найдем опорные реакции (рис. 6.23, б). Рассмотрим балку АВ. Запишем уравнение прогибов:

z 0 0 z M 0 z2 Q0 z3 q0 z 4 .

2EI 6EI 24EI

142

Найдем	начальные		параметры:			при			z 0 0	0 ; 0 0 ;
M 0 M A 21 кНм;		Q0 RA 7 кН, q0				0 , тогда
z	21z 2	7z3			21 103 z 2				7 103 z3		.
					2 2,58 106				6 2,58 106
	2EI	6EI
		4,06z2 0,452z3 10 3 .

Определяем прогибы при z = 0, 1, 2, 3 м:

0 0 ;

1 ( 4,06 12 0,452 13 ) 10 3 3,61 10 3 м;

2 ( 4,06 22

0,452 23 ) 10 3

12,62 10 3 м;

3 ( 4,06 32

0,452 33 ) 10 3

24,34 10 3 м.

Рассмотрим балку BD. Запишем уравнение прогибов:

z 0

0 z

M z 2

Q z3

q z 4

z l

0

0

0

2EI

6EI

24EI

2

Qдоп z l2

3

qдоп z l2 4

.

6EI

24EI

Найдем

начальные

и

дополнительные параметры: при

z 0

24,34 10 3

м;

0; M 0; Q R 12кН;

0

0

0

0

B

3

q0 0; при z l2 Qдоп Rc

46 кН; qдоп

q 20 кН/м.

Перепишем уравнение прогибов с учетом известных параметров:

z 24,34 10 3 0 z			12z3					z l		46 z l2 3				20 z l2 4	.
			6EI
									2			6EI		24EI
	Используем условие с 0 при z = l2 , откуда найдем θ0 :
		0 24,34 10 3 θ	2	2 23					103		;	θ 9,07 10 3 рад.
	с
		0	2,58						106			0

Выражение z с учетом θ0 :

z 24,34 10 3 9,07 10 3 z EI1 [2z3 z l2

7,67 z l2 3 z l2 4 ].0,833

Находим прогибы при z = 0, 1, 2, 3 м:

0 B 24,34 10 3 м;

143

	υ	24,34 10 3 9,07 10 3 1	103 2 13		14, 49 10 3 м;
			2,58 10	6
	1

υ24,34 10 3 9,07 10 3 2 103 2 23 0;

2 2,58 106

	υ	24,34 10 3 9,07 10 3 3	103		[2 33
			2,58 10	6
	3

7,67 3 2 3 0,833 3 2 4 ] 21,15 10 3 м.

Изогнутая ось балки изображена на рисунке 6.23, в.

6.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Плоский изгиб стержней»

Задача 6.2.1. Построение эпюр внутренних усилий в балках.

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для схем балок 1–60, представленных на рисунках 6.24, 6.25.

Задача 6.2.2. Определение нагрузок, приложенных к балкам.

По заданным эпюрам изгибающих моментов М, представленным на рисунке 6.26 (схемы 1–30), построить эпюры поперечных сил Q и восстановить исходные нагрузки. На эпюрах М криволинейные участки очерчены по квадратной параболе, точкой отмечена ее вершина. Ординаты эпюры М указаны в килоньютоно-метрах (кНм). Эпюра моментов построена на растянутых волокнах.

Задача 6.2.3. Подбор сечения балок.

Для балок (схемы 1–60), изображенных на рисунках 6.27–6.29: а) построить эпюры Q и М;

б) подобрать размеры поперечных сечений.

Материалы балок: прямоугольное и круглое сечение – дерево,10МПа, двутавр и швеллер – сталь, 160 МПа.

Задача 6.2.4. Определение несущей способности и проверка прочности балок.

Для заданных схемы балки (1–30, рис. 6.30), типа поперечного сечения (1–5, рис. 6.31) и строки (1–64) с исходными данными в таблице 6.3 построить эпюры Q и М, а также:

144

а) определить величину наибольшей допускаемой нагрузки [F] или [q], если [σ] = 160 МПа (для сечений 1, 2, рис. 6.31); [σр] = 40 МПа;

[σс] = 100 МПа (для сечений 3–5, рис. 6.31);

б) проверить прочность по III и IV теориям прочности (для сечений 1, 2), а для сечений 3–5 – по I и II теориям прочности;

в) построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте опасного сечения балки.

Строка	а,	b,	h,	Поперечное сечениена 6.31.рис
	м	см	см
1	0,8	12	24	1
2	0,9	12	30	2
3	1,0	16	24	3
4	1,2	18	30	4
5	1,8	20	36	5
6	1,4	24	40	1
7	0,7	10	24	2
8	0,6	10	20	3
9	1,0	20	40	4
10	1,2	15	45	5
11	0,9	14	28	1
12	0,8	17	30	2
13	1,1	19	35	3
14	0,9	18	25	4
15	0,7	10	28	5
16	1,0	8	20	1
17	0,6	10	15	2
18	0,8	13	39	3
19	0,7	12	20	4
20	1,0	12	30	5
21	0,9	15	30	1
22	0,9	14	35	2
23	0,6	14	22	3
24	0,7	13	26	4
25	0,8	15	25	5
26	1,5	16	30	1
27	1,4	18	35	2
28	1,0	18	28	3
29	1,8	18	40	4
30	2,0	20	43	5
31	1,0	13	22	1
32	1,5	20	35	2

Таблица 6.3. (к задаче 6.2.4)

Строка	а,	b,	h,	Поперечное сечениена 6.31.рис
	м	см	см
33	0,5	10	18	1
34	0,6	10	20	2
35	0,7	12	22	3
36	0,8	12	24	4
37	0,9	12	24	5
38	1,0	14	28	2
39	1,1	14	28	4
40	1,2	16	30	1
41	1,3	16	30	3
42	1,4	20	36	5
43	1,5	20	38	1
44	1,6	20	38	2
45	1,7	20	40	3
46	1,8	24	40	4
47	1,9	24	40	5
48	2,0	24	40	1
49	1,95	22	38	2
50	1,75	22	38	5
51	1,65	20	38	3
52	1,55	20	36	4
53	1,45	20	36	5
54	1,35	20	34	3
55	1,25	18	32	2
56	1,15	18	32	1
57	1,05	18	32	1
58	0,95	18	24	2
59	0,85	18	24	3
60	0,75	16	20	4
61	0,65	12	18	5
62	0,55	12	18	3
63	0,5	12	16	2
64	0,45	12	16	1

145

Задача 6.2.5. Перемещения в балках.

Для балок (схемы 1–60), изображенных на рисунках 6.32 и 6.33, пользуясь методом начальных параметров, получить уравнения изогнутой оси и

углов поворота и определить величину прогиба и угла поворота сечения С, угла поворота сечения D. При подсчетах принять EIx = 2 104 кНм2.

2 кН/м	8 кНм
			1
4 кН
3 м		1	м
4 кН/м		2	кНм
			2
2 м		2 м	5 кН
5 кНм	1 кН/м
			3
1 м	2 кН	3 м

2 кН/м
	7 кН		4
2 м	2 м
2 кН/м	6 кНм
	2 кН/м		5
2 м	2 м
2 кН/м		4 кНм
	5 кН		6
2 м	1 м
	1,5 кН/м
			7
1 кН
1 м	2 м
1,5 кН/м	6 кНм
			8
3 м	1 м		2 кН
1,5 кН/м
			9
3 кН	3 кН
2 м	2 м
2 кН/м	1 кН/м
			10
2 м	2 м		3 кН
146

2 кН/м	3 кНм		8 кН		6 кНм
	1,5 кН/м	11				4 кН/м		21
2 м	2 м		3 м			3 м
	2 кН/м		2 кН/м			4 кНм
3 кНм
1,5 кН		12				3 кН		22
1 м	1 м		2 м			2 м
	4 кН		4 кН			4 кН
2 кН/м	6 кН	13	4 кН/м					23
1,5 м	1,5 м	2 кНм	3 м			3 м
2 кНм	2,5 кН/м		4 кНм			2 кН
		14						24
	8 кН					2 кН
2 м	2 м		2 м			2 м
1 кН/м	2 кНм		6 кНм			4 кН/м
			6 кНм
	4 кН	15						25
2 м	2 м		3 м			3 м
	0,5кН/м	2,5 кНм	2 кН/м			4 кНм	4 кНм
1 кН/м		16						26
2 м	1 м		1 м			2 м
4 кНм	4 кН		5 кНм			2 кН/м
2 кН/м		17				3 кН		27
2 м	2 м		2,5 м			2,5 м
3 кН/м	6 кНм	5 кН	10 кНм			5 кН/м
		18						28
3 м	3 м		1 м			4 м
4 кН/м	3 кНм		8 кНм	4 кН/м
		19						29
2 кН	2 кН					8 кН
2 м	2 м		3 м			1 м
2 кН/м	8 кНм	8 кНм	10 кНм			5 кН/м
		20						30
2 м	2 м	6 кН		15 кН
			1 м			4 м

Рис. 6.24

3 кН/м		3 кН/м
	3 кН/м	31
2 м	2 м	2 м
2 кН/м 6 кН
		32
	6 кН
1,5 м	1 м	1,5 м
2 кН/м		15 кНм
		33
10 кН
1 м	2 м10 кН 1 м
1 кН/м	3 кНм	3 кНм

34

3 м

2 м

1 м

2 кН/м			4 кН
			35
4 кН
2 м	1 м	1 м
12 кНм 8 кН		2 кН/м
			36
4 м	4 м	2 м
10 кНм	4 кН/м
			37
2,5 м	2,5 м 2 м		1 кН
2,5 кН/м		8 кНм
			38
	5 кН		2 кН
2 м	2 м	м
4 кНм	1 кН/м		1,5 кН
			39
4 кН
6 м	2 м	2 м
5 кНм	2 кН/м	5 кНм
			40

2 м

4 м

2 м

3 кН	1,5 кН/м			2 кН/м
		41			51
		2 м 3 кН		3 кН
2 м	6 м			2 м 4 м	3 м
2 кНм		0,5 кН/м	6 кНм	2,5 кН/м
		42			52
				9 кН
2 м	8 м	2 м		2 м 3 м	3 м

1	кН/м	5 кНм	5 кН/м	10	кНм
		43			53
1 м	4 м	1 м	1 м 2,5 м		2,5 м
1 кН/м	2 кН/м	1 кН/м	2 кН/м 9 кНм	2	кН/м
		44			54
2 м	8 м	2 м	2 м 3 м		м

2кН	0,8	кН/м		2кН
				45
1 м	4	м	1 м	5 кНм
1кН	0,5 кН/м
				46
3 м	8	м	3 м

1,2 кН/м		3 кНм
		55
2 м	3 м	3

2 кН/м

		56
	4 кН
1 м	1 м	2 м

5 кНм	2,5 кН/м	5 кНм 47
2 м	8 м	2 м 2кН

	4 кН/м		4 кН/м
				48
2кН	2 м	4 м	2 м	2кН
	15кН	10 кНм	2 кН/м
				49
	2 м	4 м	м

	2 кН/м
		50
	6кН	2 кНм
1 м	3 м	1 м

4 кН/м		6 кН
		57
2 м	2 м	1 м
8 кНм		6 кН/м
		58

1	2 м	2 м
7 кНм	2 кН/м

59

		4 кН
2 м	2 м	4	м
		4 кН/м

60

2кН		2кН
1 м	1 м	1 м

Рис. 6.25

147

2 м		4 м	2 м
2,25	2,25
		2	1
			1,5
	2
1,5
	6	6
			2
	4		4
			20
			3
20	30
40
	16	16
			4
	2 м	16
24			24
			5
30	2 м	24	30
			6
	2 м	26
			7
8			8
40		32	40
			8
	2 м
	10	10
			9
	2 м	12
18			18
			10
	2 м	20
148

3 м

6 м

4 м

27 24

		11	21
	3 м	24
		2 м	16
18		2 м
		12	22
21	3 м		20
36		28
			28
		36
		13	23
	3 м	2 м
24
15	12	18	18

	14			24
		2 м
10
18,7	3,92 м
	20		20	20
24	2,33 м
	15			25
		2 м	18

27	27,19
	2,25 м
		16	26
	15,19	2 м	20
18 22
	4,5 м	20	20
		17	27

		20	2 м	20
	36			40
			18			28
		2 м
			2 м
	45	40		12
			19			29
	40		24
	14			40	30
10
						20
					20
						30
			20
			2 м	1 м	1 м
			20

Рис.6.26

20 кНм
5 кН	10 кН	1
1,5 м	1,5 м
20 кН/м		2
	20 кН	20 кН
1 м	1 м
16 кН/м		3
	8 кНм
1 м	1 м
20 кН/м		4
	10 кН/м

	2 м						2 м
	2 кН										5
					6 кНм
	2 м						2 м

10 кНм	20 кН/м	6
	60 кН
1 м	1,5 м
4 кН	10 кН/м	7

	12 кН
1 м	2 м

	5 кН/м	8
5 кН/м
1 м	1 м
10 кН/м		9

3 м	1	м
5 кН/м	10	кНм
		10
3 м	1	м

h	b	в	11
			22
b	h h

b в 11

h h 22

b в 44

h h 55

b в 11 h h 22

b в 11 h h 22

b в 44 h h 55

b в 42 h h 53

b в 44 h h 55

b в 22 h h 33

b в 22 h h 33

Рис. 6.27

20 кНм	40 кН
		10 кН/м	11
	2 м	2 м	d
		1 кН/м	12
		3 кН
	2 м	2 м
4 кНм 4 кНм 10 кН/м			13

1 м	1 м
	16 кН/м

		14
	48 кН
1,5 м	1,5 м
20 кНм		15
	30 кН
1 м	1 м
15 кНм	15 кН/м
		16

1 м

1 м

2 кН/м				4 кН/м 17

1 м	1 м
20 кН/м		18
	20 кН
2 м	2 м
4 кНм	3 кН/м	19

				5 кН
	1 м			3 м

10 кН/м		20
	12 кНм
4 м	2 м

149

	2 кН/м		21
1 м	5 м	1 м
		30 кН	22
30 кН

1 м	5 м	1 м
10 кНм		10 кНм

23

2 м

6 м

2

25 кН

25 кН

24

	50 кН
1 м	1 м	1 м

100 кН/м 25

40 кН
2 м	2 м

30 кН/м	26

30 кН
2 м	2 м
80 кНм	30 кН/м

				27
1 м		2 м
45	кНм	30 кН
				28
1,5 м		1,5	м
20	кНм	30 кН 40 кНм
				29
2	м	2 м

	90 кНм	30 кН
		30
	3 м	2 м

Рис. 6.28

150

120 кНм 40		кН/м		31
2 м		2 м
30 кН		30	кН	32
	30 кН
1,5 м 1,5 м	1,5 м	1,5 м
120 кНм	60	кНм
				33

1,5

1,5 м

1,5 м

30 кН/м		20 кН/м
	20 кН/м	34
1 м	1,5 м	1 м

20 кН/м

35

	90 кН
2 м	1 м

		10 кН/м	40 кНм
			36
		20 кН
	1 м	3 м
	100 кН		100 кНм
			37
	1 м	1 м	1 м
	20 кН/м		40 кН
			38

	4 м	1 м
50 кН	70 кНм

39

1	4 м
45 кНм	30 кН

40

4,2 м

1,4 м

30 кН		60 кН
			41
1 м	4 м	1 м
40 кНм		20 кН/м	42
4 м		1 м
40 кН/м		40 кНм
			43
4 м
30 кН/м		90 кН
			44
1 м	4 м	1 м
15 кНм	12 кН/м
			45
2 м	6 м	2 м
	100 кН	150 кНм
			46
	100 кН
1,5 м	1,5 м	1,5
10 кН/м		10 кН/м	47
	30 кН/м

1 м

1 м

1 м

40 кН	40 кН	48
40 кН
1,5 м 1,5 м	1,5 м

25 кН/м

49

	20 кН
1,2 м	1,2 м
10 кН/м	20 кНм

50

30 кН	2 м	2 м

30 кН 30 кН 30 кН

51

1 м

1 м

1 м

30 кН 34 кНм

52

	30 кН
1,8 м	1,8 м	1,8 м

20 кН/м

53

1,5	3 м	1,5
	54 кН	80 кНм

54

			2 м			2 м

20 кН/м

	20 кН/м	55
2 м	2 м
40 кНм	40 кН
		56

1

2 м

2 м

20 кНм 40 кН/м

57

2 м

2 м

1

30 кН/м	30 кНм

58

2 м	5 м
100 кНм	20 кН/м

59

20 кН
	2 м						5 м
	40 кН/м						70 кН

60

5 м

2 м

Рис. 6.29

151