Задачник / Глава 09 (223-253)

1 / 2

1

С

VBcos 1 Fsin 1

cos 1

Rd

2

EA 0

/ 2

1

VDcos 2

H Dsin 2

cos 2

Rd

2

0

ν

/ 2

1

Fcos 1 VBsin 1

sin 1

Rd

GA

2

0

/ 2

1

VDsin 2

H Dcos 2

sin 2 Rd

2

0

1/ 2

FRsin 1 VB R 1 cos 1 m ×

EI 0

		1				/ 2
	×		R 1 cos 1 Rd			VD R 1 cos 2 H D Rsin 2 ×
		2
						0
			×	1	R 1 cos			Rd	.
							2
		2

При выполнении интегрирования воспользуемся сведениями из таблицы 9.1.

						1						V R						0,785										FR		0,5						V R					0,785						H	D				R		0,5
														B																							D
	С
					EA									2													2									2												2
			ν								FR				0,5							VB R			0,785							VD R						0,785						H D R								0,5
									2											2																2											2
		GA
																			3													3
									1								FR			1 0,5											VB R					1,571 2 0,785
												EI						2												2
	m	R		2																	VD R				3																	H D R						3
						1,571 1																						1,571 2 0,785																						1 0,5
2																				2																								2
		1								5 1					0,785									20 1					0,5				15 1							0,785						20 1					0,5
									2																2											2											2
			EA
			ν								20 1						0,5						5 1			0,785								15 1						0,785						20 1					0,5
									2											2																2											2
		GA

243

	1		20 1	0,5	5 1		0,356	10 1		0,571	15 1	0,356	20 1	0,5
			2		2		2			2			2
	EI

2,15 ν 17,85 16,415 .

EF GF EI

Подсчитаем жесткости стержня:

EA 104 103 18,5 37 10 4 6,845 105 кН;

GA 5,5 102 103 18,5 37 10 4 3,765 104 кН;

		4			3		18,5 373							8		2
EI 10				10									10		7809 кНм .
									12
Подставив эти значения, получаем:
				2,15							1,2 17,85						16,415
C			6,845 105								3,765 104					7809
0,00314 0,569 5,842 10 3													6,408 10 3 м 6,408 мм.

Здесь первое, второе и третье слагаемые учитывают влияние соответственно продольной, поперечной сил и изгибающего момента на вели-

чину перемещения C . Сравнивая величины слагаемых, видим, что влияние продольной силы очень мало, перемещение от поперечной силы равно

9,5% при сравнительно неблагоприятном соотношении Rh 2,7 . Главное,

что предопределяет перемещение, – это изгибающий момент.

Определяем перемещение B . Для этого в формулу Мора подставляем выражения M ,N ,Q от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке В. При интегрировании воспользуемся таблицей 9.1.

		1		/ 2
B				VBcos 1 Fsin 1 sin 1Rd
			EA 0
	/ 2
		VDcos 2			H Dsin 2
						sin 2 Rd
		0

ν/ 2

Fcos 1 VBsin 1 cos 1 Rd

GA 0

		/ 2
		VDsin 2	H Dcos 2
				cos 2 Rd
		0

244

1/ 2

FRsin 1 VB R 1 cos 1 m Rsin 1Rd

EI 0

	/ 2			H D Rsin 2 Rsin 2 Rd
		VD R 1	cos 2
	0

EA1 VB R 0,5 FR 0,785 VD R 0,5 H D R 0,785

GAν FR 0,785 VB R 0,5 H D R 0,785

EI1 FR3 0,785 VB R3 1 0,5 m R2 VD R3 1 0,5 H D R3 0,785

EA1 5 1 0,5 20 1 0,785 15 1 0,5 20 1 0,785

GAν 20 1 0,785 5 1 0,5 15 1 0,5 20 1 0,785

EI1 20 1 0,785 5 1 0,5 10 1 1 15 1 0,5 20 1 0,785

	21,4		ν 41,4			51,4		21,4			1,2 41,4		51,4
	EA					EI		6,845 105			3,765 104		7809
				GA
3,126 10 2				1,3195 6,582 10 3					7,933 10 3 м 7,933 мм.

В этом случае также отмечаем главенствующее влияние изгибающего момента на величину перемещения B , хотя вклад поперечной силы не так уж мал, он составляет 16,6%. Это объясняется тем, что брус выполнен

					R		2,7
из дерева и имеет относительно большую высоту								.
				h
								Т а б л и ц а 9.1
Вид	Определенный интеграл в пределах от 0 до следующего значения
				угла
интеграла
			α				π/4	π/2	π
sin d		1 cos				0,293		1	2
cos d			sin			0,707		1	0
sin 2 d		1	sin 2			0,143		0,785	1,571
		4		2

245

Продолжение табл. 9.1

		Определенный интеграл в пределах от 0 до следующего значения
	Вид																	угла
	интеграла
																	α		π/4	π/2	π
	cos2 d								1				sin 2						0,643	0,785	1,571
						4									2
	sin 2 cos d												sin 3 / 3						0,118	0,333	0
	cos2 sin d										1 cos3 3								0,216	0,333	0,667
	sin2 d											1					cos2		0,5	1	0
						2
															2
	cos2 d													1		sin 2			0,5	0	0
						2
	sin cos d												sin 2 / 2						0,25	0,5	0
	sin d							sin cos											0,152	1	3,141
	cos d				cos cos 1														0,262	0,571	–2
					1		2								sin 2
	sin 2 d			4															0,933	0,868	2,47
								1			cos2 1
						8
					1		2								sin 2
	cos2 d			4															0,226	0,368	2,47
								1		cos2 1
						8
	sin2 d		sin 2 / 4 cos2 / 2																0,25	0,785	–1,571
	cos2 d		1	cos2 1 sin 2 / 2															0,143	–0,5	0
		4

9.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Перемещения в стержневых системах»

Задача 9.2.1. Определение перемещений в балках.

Для балок (схемы 1–60), изображенных на рисунках 9.13 и 9.14 при

EIx = 2 105 кНм2, определить прогиб и угол поворота сечения С методом Мора–Верещагина.

246

30 кН

30 кН

1

	C
1 м	1 м
40 кНм	20 кН

C	2
2 м	2 м

20 кНм	10 кН	3

	C
2 м	2 м

15 кН/м

4

	C
2 м	2 м
40 кНм	40 кНм

C	5
1 м	1 м
20 кН/м

			6
C 1 м		1 м
20	кН	C	7

	10 кН
2 м	2 м

10 кН/м	30 кНм	8
	C
1 м	1 м
4 кН/м		9

C 1 м	4 кН
	1 м

40 кНм	10

	40 кН	C
2 м	2 м

20 кН/м					20 кНм	40 кН		20 кНм
				11					21
C	40 кН					C
2 м			1 м		2 м			2 м
		6 кН			40 кН			80 кНм
			6 кН	12					22
			C			C
1 м			2 м		2 м			2 м
			15 кН/м				30 кН/м
				13	30 кН/м				23
C							C
1 м			2 м		2 м			2 м
			20 кНм		40 кНм
				14					24
		50 кНм
			C				C
1 м			2 м		2 м			2 м
30 кН					60 кНм			60 кНм
				15					25
C		30 кН				C
1 м			2 м		2 м			2 м
			9 кН/м	16	60 кНм		30 кН		26
			C			C
1 м			2 м		2 м			2 м
				17	80 кНм			80 кНм	27
C		15 кН 2 м				C
1 м					2 м			2 м
20 кН			30 кНм	18		50 кН			28
			C		C
1,5 м			1,5 м		2 м		3 м
40 кНм			10 кН/м	19				10 кНм	29
C							C
1			2 м		3 м			2 м
					10 кН/м			20 кНм
60 кНм			15 кН	20					30
			2 м C			C
2 м					2 м			2 м

Рис. 9.13

247

30 кНм

10 кН/м

15 кНм

30 кН/м

80 кНм

C

31

C

41

51

C

2 м

2 м 1 м

1 м

4 м

2 м 1 м

40 кН

80 кНм

20 кНм

25 кН

25 кН

C

32

C

42

C

52

2 м

2 м

1 м

2 м

8 м

1 м

2 м 1 м

40 кНм

40 кН/м

40 кН

50 кН

33

43

30 кН

53

C

1 C

C

1 м

4 м

4 м

1 м

3 м 1 м

30 кНм

10 кН 40 кНм

20 кНм

50 кНм

50 кНм

C

34

44

54

C

C

4 м

1 м

2 м

4 м

4 м

2 м

4 м

15 кН/м

40 кН/м

10 кН

5 кН

20 кН/м

5 кН

C

35

C

45

55

C

4 м

1 м

1 м

2 м

2 м

1 м

3 м 1 м

50 кНм

50 кНм

10 кНм

10 кН/м

10 кНм

40 кНм	C 36	C		46			56
							C
4 м	1	2 м	2	2 м	1 м	3 м	1

	60 кН	20 кН/м		20 кН/м		20 кН/м
60 кНм	C
		37		47			57
		C					C
4 м	1 м	1 м	2 м	1 м	1 м	4 м	1
	40 кН/м				15 кН/м		15 кН/м

20 кНм	38	30 кН		30 кН 48			58
	C	C					C
4 м	1 м	1 м	2 м	1 м	1 м	2 м	1 м
80 кНм	80 кНм	40 кН/м		20 кН	40 кН		20 кНм
							C 59
	C 39			49

		C
4 м	1 м	1 м	2 м	1 м	2 м 2 м	1 м

80 кН/м				40 кН	20 кН
	20 кНм	20 кНм
			50 кНм
	40	50			50 кНм 60

	C	C		C
4 м	1 м	2 м	1	1 м 1 1	1 м
	40 кН

Рис. 9.14

248

Задача 9.2.2. Определение перемещений в составной статически определимой балке.

Исходные данные. Схему балки и данные о ее размерах и приложенных нагрузках взять из таблицы 9.2 и рисунка 9.15 согласно заданному варианту.

Материал балки – сталь марки Ст3. Допускаемое напряжение160 МПа. Модуль продольной упругости E = 2 105 МПа.

Последовательность выполнения расчета

1.Для составной балки, изображенной на чертеже, определить реакции и построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

2.По наибольшему значению изгибающего момента подобрать двутавровое сечение балки.

3.Используя метод начальных параметров, определить прогибы в

точках 1, 2 и в серединах пролетов l1, l2. Для решения рекомендуется расчленить балку на основную и вспомогательную и определять перемещения

вкаждой из них отдельно.

4.Построить изогнутую ось балки, руководствуясь найденными в п. 3 значениями прогибов, эпюрой изгибающего момента и опорными закреплениями балок.

5.Найти значения прогибов в точках 1 и 2 по способу Мора– Верещагина. Сравнить найденные величины с результатами, полученными методом начальных параметров.

Та б л и ц а 9.2 (к задаче 9.2.2)

схемы	строки				l1	l2		a1	a2	схемы	строки				l1	l2		a1	a2
		F,	q,	m ,								F,	q,	m ,
Номер	Номер	кН	кН/м	кНм			м			Номер	Номер	кН	кН/м	кНм			м
1	2	3	4	5	6	7		8	9	1	2	3	4	5	6	7		8	9
1	1	10	5	80	6	3		1	2	2	1	40	5	20	6	2		1	1
	2	10	40	80	5	3		1	2		2	40	10	20	5	3		1	1
	3	40	20	60	6	3		1	1		3	20	20	40	5	4		1	1
	4	20	40	80	4	3		1	1		4	20	40	80	4	4		2	2
3	1	20	10	80	3	4		1	1	4	1	30	20	40	4	2		1	1
	2	20	10	200	4	3		1	1		2	20	10	80	6	4		2	1
	3	30	10	90	3	4		1	1		3	40	20	120	4	4		1	1
	4	20	40	160	4	4		2	2		4	60	20	100	4	3		1	1
5	1	80	20	120	4	3		1	2	6	1	30	20	120	5	4		2	2
	2	20	40	100	6	3		1	1		2	20	10	100	4	5		1	2
	3	40	10	80	5	4		1	1		3	10	20	60	4	3		1	2
	4	40	20	80	4	3		1	2		4	40	20	100	4	1		3	2
7	1	10	20	20	4	2		1	1	8	1	60	10	120	3	4		1	1
	2	20	10	50	5	4		1	3		2	80	40	100	2	3		2	2
	3	20	5	40	4	3		1	2		3	60	10	150	5	4		1	3
	4	20	40	160	4	3		1	2		4	100	10	100	5	4		1	3

249

Продолжение табл. 9.2

1	2	3	4	5	6	7		8		9
9	1	60	20	80	5	3		2		2
	2	40	20	50	4	3		1		1
	3	50	20	60	4	3		1		1
	4	100	40	120	4	3		1		2
11	1	80	40	100	6	3		1		2
	2	10	5	40	4	3		2		1
	3	30	10	40	5	4		1		2
	4	20	10	80	4	3		1		2
13	1	80	40	90	3	4		1		1
	2	20	40	20	3	4		1		1
	3	20	10	80	5	4		1		2
	4	10	20	120	2	4		1		2
15	1	40	10	100	4	3		1		2
	2	40	40	60	3	3		2		1
	3	30	50	120	3	3		1		1
	4	20	60	180	4	3		1		1
17	1	40	20	20	2	4		2		1
	2	30	10	60	4	8		2		2
	3	20	10	80	4	8		1		2
	4	40	40	120	5	4		2		2
19	1	40	20	120	5	4		1		1
	2	30	10	140	3	8		1		1
	3	10	20	80	4	4		2		2
	4	20	40	160	4	4		2		2
21	1	100	20	120	3		5		3	2
	2	60	20	40	5		6		1	2
	3	50	5	40	2		2		1	1
	4	100	10	80	2		2		1	1
23	1	20	10	80	3		4		1	1
	2	20	20	100	3		4		1	1
	3	10	20	40	4		4		2	2
	4	20	40	80	4		4		2	2

1	2	3	4	5	6		7		8		9
10	1	40	20	160	3		4		2		1
	2	80	140	120	3		3		1		1
	3	30	10	60	4		3		1		1
	4	40	60	150	5		5		2		2
12	1	20	5	60	4		2		1		1
	2	100	20	160	5		4		2		2
	3	40	10	100	4		3		1		2
	4	10	60	100	4		3		1		2
14	1	10	5	40	4		8		2		2
	2	20	40	80	3		4		1		2
	3	20	40	160	2		4		1		1
	4	40	20	40	2		8		1		1
16	1	30	20	80	4		6		1		2
	2	20	20	60	4		3		1		1
	3	30	20	80	4		5		1		2
	4	50	40	200	4		4		2		2
18	1	10	20	30	4		5		2		1
	2	50	40	80	5		6		1		2
	3	60	20	100	4		5		1		2
	4	40	20	80	3		4		1		1
20	1	20	10	60	2		3		1		2
	2	50	20	100	3		4		1		2
	3	100	40	280	2		4		1		2
	4	120	20	240	2		4		1		2
22	1	40	20	140		5		4		3	1
	2	30	20	100		3		4		1	1
	3	40	20	100		4		4		1	1
	4	40	20	200		3		3		1	1
24	1	100	40	160		3		5		1	1
	2	80	5	100		4		4		3	1
	3	160	10	200		4		4		3	1
	4	50	20	80		3		5		1	1

250

m

q

q

F

F

q

m

1

13

a1

1

l

a2

2

1

a

l

2

l

l

1

1

1

a

2

2

2

m

q

F

F

q

q

m

2

14

1

2

1 a1

l1

a1

l2

a2

l1

2 a2

l2

m

q

F

F

q

m

3

15

l1

a1

1

l2

a2

2

1

l1

2

l2

a1

a2

m

F

q

q

F

m

4

l1

2

l1

a1

1

l2

a2

2

16

1

a1

l1

2

l2

a2

q

m

F

q

F

q

m

5

l1

a1

1

l2

a2

2

17

1

a1

l1

2

l2

a2

q

m

F

q

F

m

q

6

18

1

2

1

l1

2

l2

l

1

a

1

l

a

2

a

1

a

2

2

F

q

m

q

m

F

7

1

2

a2

19

l1

l2

a1

l1

1

l2

a2

2

a1

m

q

m

q

F

8

20

1

l1

2

F

a2

a1

l1

1

l2

a2

2

a1

l2

9

m

q

21

q

m

1

2

F

a2

F

1

a1

2

a1

l1

l2

l1

l2

a2

10

F

q

m

22

m

q

q

F

1

l1

2

l

a2

a1

l

1

l

a

2

a

1

2

2

2

1

11

m

q

F

23

q

m

q

F

1

2

a2

a1

1

a2

2

a1

l1

l2

l1

l2

F

q

m

q

m

12

24

1

l1

2

l2

a2

a1

F

l1

1

l2

a2

2

a1

Рис. 9.15

251

Задача 9.2.3. Перемещения в рамах.

В рамах (схемы 1–30), представленных на рисунке 9.16, в соответствии с исходными численными данными согласно строке (1–32) из таблицы 9.3 методом Мора–Верещагина определить:

а) вертикальное перемещение и угол поворота сечения С; б) горизонтальное перемещение и угол поворота сечения А.

Т а б л и ц а 9.3 (к задаче 9.2.3)

Строка	кН	кНм		кН/м	l		h
						м
	F,	m	,	q,
1	10	15		5	8		10
2	11	16		6	7,8		9
3	12	17		7	7,6		8
4	14	18		8	7,4		7
5	15	20		10	7,2		6
6	16	21		11	7		5
7	17	22		12	6,8		4
8	18	23		13	6,6		5
9	19	24		14	6,4		6
10	20	25		15	6,2		7
11	21	26		16	6		8
12	22	27		17	5,8		9
13	23	28		18	5,6		10
14	24	29		19	5,4		2
15	25	30		20	5,2		3
16	26	31		21	5		4

Строка	кН	кНм		кН/м	l		h
						м
	F,	m	,	q,
17	27	32		22	4		6
18	28	33		23	5		6,2
19	29	34		24	6		6,4
20	30	35		25	7		6,8
21	31	36		26	8		7
22	32	37		27	9		7,2
23	33	38		28	10		7,4
24	34	39		29	9		7,6
25	35	40		30	8		7,8
26	36	41		31	7		8
27	37	42		32	6		8,2
28	38	43		33	5		8,4
29	39	44		34	4		8,6
30	40	45		35	3		8,8
31	41	46		36	2		9
32	42	47		37	5		9,2

252