Задачник / Глава 10 (254-297)
.pdf0 1 |
/ 3; |
|
|
|
|
|
|
MF1 0; M |
1 |
R0 sin ; |
|||||
/ 3 2 |
/ 2; |
MF 2 m ; |
|
|
2 R0 sin . |
||
M |
Находим Х1:
/ 2 |
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
||||
EI 1F |
m |
R02 sin |
d m |
R02 |
cos |
|
|
/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
R0 |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EI 11 |
R03 sin 2 d R03 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
R2 |
4 |
|
2m |
|
|
|
X |
1 |
|
1F |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
12,72 кН. |
11 |
2R03 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для построения эпюр M, Q и N (рис. 10.11, д) составим уравнения |
||||||||||||
внутренних усилий по участкам: |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 1 / 3 ; |
|
|
|
|
/ 3 2 / 2 ; |
|||||||
M F1 X1R0 sin ; |
|
|
|
M F 2 X1R0 sin m ; |
||||||||
NF1 X1 sin ; |
|
|
|
|
|
NF 2 X1 sin ; |
||||||
QF1 X1 cos ; |
|
|
|
QF 2 X1 cos . |
Подсчитать по этим выражениям ординаты на эпюрах M, Q, N (рис. 10.11, д, е, ж) студентам предлагается самостоятельно.
Пример 10.1.11. Для звена цепи, показанного на рисунке 10.12, а, требуется построить эпюры внутренних усилий M, Q и N.
Решение. Заданный замкнутый плоский стержень является три раза статически неопределимым. Основная система может быть получена путем его рассечения в каком-либо месте, например в средней части (рис. 10.12, б). «Лишними» неизвестными являются изгибающий момент Х1, продольная сила Х2 и поперечная сила Х3. Так как основная система и нагрузка симметричны относительно оси I–I , то в этом случае известно, что кососимметричные неизвестные равны нулю. Следовательно, в данном случае Х3 = 0. Учитывая, что звено цепи имеет и другую ось симметрии – II–II, можно утверждать, что на две ветви отсеченной половины звена цепи действуют одинаковые внутренние усилия Х1 и Х2. Из проекции сил на ось II–II находим Х2 = F/2. Таким образом, неизвестной осталась только величина Х1. Как видно из схемы (рис. 10.12, в), поперечное сечение, где приложена сила F, не поворачивается и остается плоским. Отсюда следует, что эквивалентная расчетная схема может быть выбрана в виде четверти звена цепи (рис. 10.12, г). Так как сечение А, в котором действует неизвестный момент
284
Х1, тоже не поворачивается при деформации, то каноническое уравнение метода сил принимает вид:
|
|
|
X1 11 1F 0 . |
|
|
|
|
а) |
R0 |
l=30 см |
R0=10 см |
б) |
X |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
X1 |
|
X1 |
|
F |
|
А |
F=20 кН |
X2 |
X3 |
X2 |
|
II |
II |
|
|
|
|||
|
|
R0 |
F |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
X1 |
|
г) |
X1 |
|
|
|
|
|
|
F/2 |
|||
|
|
X2=F/2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
|
||
|
II |
II |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
F
д)
ж)
|
|
1 |
8 |
4 |
0 |
, |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
X2=F/2 |
|
|
|
X1 |
|
11 |
|
1F |
е) |
||
|
|||
0,5F |
|
X1 1 |
|
|
|
z1 |
|
z1 |
|
||
|
|
|
+ |
0,186 |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
10 |
||
|
35 30 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
- |
|
10 |
10 Эп. Q, кН |
|
|
|
Эп. М, кНм |
Эп. N, кН |
|
||||
|
- |
|
|
10 |
||
|
+ |
|
|
+ |
||
|
|
|
|
|
Рис. 10.12
Физический смысл коэффициентов 1F и 11 ясен из рисунка 10.12,
д, е – это углы поворота от внешней нагрузки и от единичного момента. Находим их по формуле Мора. Запишем уравнения изгибающих моментов на прямолинейном и криволинейном участках основной системы от внешней и от единичной сил:
0 z1 0,15 м; |
M F1 0; |
|
|
1 1; |
M |
285
0 / 2; MF 2 |
0,5FR0 1 cos ; |
|
|
2 1; |
|||||||||||
M |
|||||||||||||||
|
l / 2 |
/ 2 |
|
|
1 |
l R0 ; |
|
||||||||
EI 11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M12 dz M 22 R0 d |
|
||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ 2 |
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
EI 1F |
|
|
|
d |
0,5R02F 1 cos |
d |
|||||||||
M F 2M2R0 |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5FR0 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Из канонического уравнения получаем: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
1F |
|
0,5FR0 |
|
1 |
|
20 0,1 |
|
1 |
|
|
X |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
0,186 кНм. |
||
1 |
11 |
0,5 l |
R0 |
0,30 0,1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для построения окончательных эпюр составим уравнения внутрен- |
|||||||||||||
них усилий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 z1 0,15 м ; |
|
|
|
0 / 2 ; |
|||||||
|
|
N1 0,5F ; |
|
|
|
N2 0,5F cos ; |
|||||||
|
|
|
Q1 0; |
|
|
|
Q2 0,5F sin ; |
||||||
|
|
|
M1 X1 ; |
|
M2 X1 0,5FR0 (1 cos ) . |
Подсчеты ординат для построения эпюр студентам предлагается произвести самостоятельно. При этом следует учесть, что уравнения написаны только для верхней четверти звена цепи, для нижней четверти эпюры
М и N будут симметричны, а эпюра Q – косимметрична. Построенные эпюры M, Q и N изображены на рисунке 10.12, ж.
10.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Статически неопределимые стержневые
системы»
Задача 10.2.1. Статически неопределимые шарнирно-стержневые системы.
Варианты 1–36, рис. 10.13–10.15.
а) Определить напряжения в стержнях от заданной нагрузки. Считать стержни 1 и 3 изготовленными из меди, стержень 2 – из стали. При-
нять F = qа = 100 кН, A1 = A2 = A3 = 5 см2.
б) Подобрать размеры поперечных сечений стержней по допускаемым напряжениям. Считать все стержни стальными. Принять F = qа = 100
кН, A1 : A2 : A3 = 1 : 2 : 1,5, k = 1,5, Т 240 МПа.
в) Определить грузоподъемность статически неопределимой системы, исходя из расчета по допускаемым напряжениям. Принять A1 = A2 = A3 = 2 см2, k = 1,5, материал стержней – сталь, Т 240 МПа.
286
Рис. 10.13 |
287 |
|
Рис. 10.14
288
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
2 |
0,75l |
|
|
|
F 1,5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,5l |
|
|
|
q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2a |
3a |
|
|
3a |
|
|
2a |
|
|
|
0,6a |
|
0,4a |
|
|
|
|
25 |
F |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
27 |
1,5l |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5l |
|
|
1,5l |
|
|
|
||
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|
F |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
0,5a |
0,5a |
|
|
a 3 |
2 |
|
2a 3 |
l |
|
a 3 |
а |
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
2 |
1,5l |
|
|
|
|
2 |
1,5l |
|
|
|
|
2 |
1,5l |
|
|
q |
|
0,5a |
|
|
а |
|
F |
3a |
|
2а |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l |
1 |
|
|
l |
1 |
|
|
|
F |
l |
|
1 |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5a |
а |
31 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5a |
0,5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
2 |
а |
|
0,5a |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5a |
|
0,5a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
Рис. 10.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
289 |
Варианты 37–48, рисунок 10.16.
Определить монтажные напряжения, принять l = 1 м, = 0,1 мм,
Aс : Aм = 2 : 3.
Рис. 10.16
290
Варианты 49–60, рисунок 10.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определить температурные напряжения. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
медь |
|
|
|
|
медь |
|
|
|
|
|
медь |
|
||
|
сталь |
|
|
|
|
сталь |
|
|
|
|
|
сталь |
|
||
|
t 30 |
|
t 20 |
|
|
|
t 40 |
||||||||
|
A : A |
cт |
=1:2 |
|
Aм: Acт=1:4 |
|
|
Aм: Acт=1:3 |
|||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
51 |
|
a 10 4 |
|
медь t |
20 |
|
|
|
|
|||||||
1,5а |
|
|
|
|
1,5а |
1,5а |
|
|
|
||||||
медь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
медь |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 40 |
||||
|
t 30 |
|
a 10 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
сталь |
|
|
|
сталь |
|
|
|
|
|
сталь |
|
|||
а |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
а |
|
|
|
||
|
Aм: Acт=1:2 |
|
A : A |
=1:3 |
|
|
Aм: Acт=2:3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
м |
cт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
54 |
t |
сталь |
|
|
медь |
|
|
сталь |
|
|
|
t |
||||
|
|
|
1,5а |
|
|
1,5а |
|
|
|
медь |
1,5а |
сталь |
|||
медь |
|
|
|
|
t |
|
60o |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а |
а |
|
|
|
|
а |
а |
|
|
|
|
|
а |
а |
|
t 30 |
Aм=1,5Acт |
55 |
|
t 20 Aм=2Acт |
|
56 |
|
t 40 Acт=2Aм |
57 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
медь |
сталь |
1,2а |
|
|
сталь |
медь |
1,2а |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2а |
t |
медь |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
t |
|
|
|
сталь |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а |
а |
|
|
|
|
1,5а |
а |
|
|
|
|
|
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 30 A =2A |
|
58 |
t 25 A |
=1,5A |
|
59 |
t 20 A |
=1,2A |
60 |
||||||
|
м |
cт |
|
|
м |
|
|
cт |
|
|
м |
cт |
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
291 |
Варианты 61–72, рисунок 10.18.
Подобрать сечение сжатого составного стержня по допускаемым напряжениям.
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
а |
а |
|
а |
|
а |
|
|
|
бетон |
бетон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
бетон |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
|
|
|
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
сталь |
сталь |
|
|
а |
сталь |
|
|
Aст |
0,05 F=3 МН |
Aст 0,01 F=3 МН |
Aст |
0,08 F=3 МН |
|||||
Aб |
|
61 |
Aб |
|
|
62 |
Aб |
|
63 |
|
|
|
|
|
|||||
|
F=0,5 МН |
|
F=0,5 МН |
|
F=0,5 МН |
||||
а |
|
медь |
медь |
|
|
а |
медь |
а |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|
|
2а |
|
|
2а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
а |
|
|
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
сталь |
|
|||
|
|
|
сталь |
|
|
|
|
||
|
сталь |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
64 |
|
|
|
65 |
|
|
66 |
|
F=0,5 МН |
F=0,5 МН |
|
F=0,5 МН |
|||||
|
а а 2а |
а а |
а |
а |
а |
|
|
|
|
а |
|
медь |
а |
|
|
медь |
а |
медь |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а |
|
|
а |
|
|
|
а |
сталь |
|
2а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
сталь |
а |
медь |
||
а |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
68 |
|
|
69 |
|
F=3 МН |
F=3 МН |
|
F=3 МН |
|
||||
|
|
сталь |
|
|
|
бетон |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
бетон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4а |
а |
2а |
2а |
а |
|
|
|
|
4а |
|
|
|
|
сталь |
|||||
|
|
|
|
|
|
сталь |
|
||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
бетон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3а |
|
|
3а |
|
|
|
2а |
|
Aст : Aб 0,05 |
70 |
Aст : Aб |
0,01 |
71 |
A |
: A 0,08 |
72 |
||
|
|
|
Аст Аб = 0,1 |
|
ст |
б |
|
Рис. 10.18
292
Варианты 73–84, рисунок 10.19.
Определить напряжения в пределах каждого участка стержня. При-
нять F = 100 кН, A = 10 см2, A1 = A , A2 = 2A, A3 = 3A, а = 1 м, = 0,1 мм.
Рис. 10.19
293