Мет_указ_лаб_ТУ

Министерство образования Российской Федерации

___________________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ”ЛЭТИ”

Исследование линейных систем в среде MATLAB/SIMULINK

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Теория управления»

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

2004

УДК 519.71(075.9)

Исследование линейных систем в среде MATLAB/SIMULINK: Методические указания к лабораторным работам по дисциплине “Теория управления” / Сост.: А. А. Бурмистров, В. Б. Второв, И. А. Приходько, О. Э. Якупов. СПб.: Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2004. 24 с.

Содержат программы и методики выполнения лабораторных работ по анализу математических моделей систем автоматического управления на ЭВМ.

Предназначены для студентов направлений 550200, 551300, 652300, 651900, 652000, специальности 210500 и других специальностей факультета электротехники и автоматики.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2004

2

Предисловие

Настоящие методические указания предназначены студентам, выполняющим лабораторный практикум по дисциплине "Теория управления" учебных планов подготовки бакалавров по направлениям 550200 "Автоматизация и управление", 551300 "Электротехника, электромеханика, электротехнологии" и инженеров по специальности 210500 "Системы управления летательными аппаратами" и ряду других специальностей факультета электротехники и автоматики СПбГЭТУ "ЛЭТИ".

Материал лабораторных работ охватывает широкий круг типовых задач анализа систем автоматического управления во временнόй, комплексной и частотных областях. Несколько последних работ направлены на углубление понимания студентами некоторых методов синтеза автоматических систем.

Предполагается, что все работы выполняются на персональном компьютере с использованием системы моделирования MATLAB / SIMULINK или другого пакета, позволяющего осуществлять математическое моделирование динамических систем.

Описание каждой лабораторной работы начинается с краткого изложения основных сведений, необходимых для ее выполнения, и заканчивается контрольными вопросами для самопроверки. В зависимости от технических возможностей лабораторной базы и простой целесообразности иллюстративный материал, включаемый студентами в свои отчеты, может содержать как твердые копии экрана, так и выполненные от руки эскизы.

Лабораторная работа №1

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ САУ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ

Цель работы – анализ переходных и частотных характеристик важнейших типовых звеньев систем автоматического управления.

1.1. Основные сведения

Переходная характеристика (ПХ) динамического звена (или системы) –

это	его реакция y(t) на единичное ступенчатое входное воздействие
u(t)	1(t) при нулевых начальных условиях (ННУ). Для ПХ обычно исполь-

зуют специальное обозначение h(t) . Передаточной функцией (ПФ) звена называют отношение изображения по Лапласу выходной и входной переменных этого звена при ННУ: W (p) Y (p) /U (p) .

3

Частотная передаточная функция (ЧПФ) W ( j ) получается из ПФ под-

становкой p j . Годограф функции W ( j							)при изменении аргумента		от 0
до	называется	амплитудно-фазовой частотной						характеристикой
(АФХ). Если ЧПФ		представлена в					показательной	форме W( j	)
A (	)e j ( ), то функции A( )			W ( j )		,	( ) arg W ( j	) называются, со-

ответственно, амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характе-

ристиками. Они характеризуют поведение устойчивого звена (системы) в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии и могут быть определены экспериментально. Для этого на вход исследуемого звена необходимо подавать гармоническое воздействие постоянной амплитуды и различной частоты. Тогда установившаяся реакция звена на это воздействие будет также гармонической функцией той же частоты, но, вообще говоря, другой амплитуды и с фазовым сдвигом относительно входной гармоники. Отношение амплитуд выходной и входной гармоник на каждой заданной частоте равно значению АЧХ, а относительный фазовый сдвиг этих функций – значению ФЧХ на указанной частоте.

Функция L( ) 20 lg A( ) называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ) и графически изображается как функция частоты , рад/c, откладываемой по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, т. е. фактически как функция безразмерной переменной lg , откладываемой в равномерном масштабе. Значения L( ) измеряются в децибелах (дБ) и откладываются по оси ординат в равномерном масштабе. ФЧХ, изображаемая как функция частоты, откладываемой в логарифмиче-

ском масштабе, называется логарифмической фазовой частотной харак-

теристикой (ЛФХ). Ее значения измеряются в градусах или радианах. ЛАХ и ЛФХ называются логарифмическими частотными характеристиками

(ЛЧХ).

1.2.Программа работы

1.Задать интегрирующее звено с передаточной функцией W (p) 1/Tp ,

взяв значение T из табл. 1.1 (номер варианта задает преподаватель).

2. Выполнить анализ характеристик звена и ответить на приведенные вопросы.

а) Чему равно значение ПХ h(t) при t T ?

б) Что представляют собой графики ЛАХ и ЛФХ ? в) На какой частоте ЛАХ пересекает ось абсцисс ?

г) Как изменятся ПХ и ЛАХ при увеличении значения T вдвое ?

4

3. Задать апериодическое звено первого порядка с ПФ W (p) 1/ (Tp 1) , взяв то же значение T , что и в п. 1.

4. По результатам анализа ответить на приведенные вопросы. а) Чему равно значение h(3T ) ?

б) Каков полюс ПФ ?

в) Каковы значения ЛАХ и ЛФХ на частотах 1/ T , 0.1/ T и 10 / T ?

г) Как изменятся значения ПХ и ЛЧХ при уменьшении значения T в 2 раза ? Что при этом произойдет с АФХ ?

д) Как изменятся значения ПХ и ЛЧХ при увеличении коэффициента пе-

редачи в 2 раза ?
5.	Задать неустойчивое апериодическое звено первого порядка с ПФ
W (p)	1/ (Tp		1) , назначив значение T в соответствии с п. 1.
6.	На основании анализа ПХ, ЛАХ, ЛФХ, АФХ, полюса ПФ дать характе-
ристику различий в свойствах звеньев, заданных в пп. 3 и 5.
7.	Задать колебательное звено с ПФ W (p) 1									T 2p2	2 Tp		1 с пара-
метрами из табл. 1.1.
													Таблица 1.1
Параметр								Вариант
			1		2	3	4	5	6	7	8		9	10
T , с			0.1		0.2	0.25	0.4	0.5	0.8	1.0	1.25		1.6	2.0
			0.4		0.3	0.25	0.2	0.1	0.08	0.06	0.05		0.04	0.03

8. Выполнить анализ характеристик звена и ответить на приведенные вопросы.

а) Как влияет на показатель качества ПХ (максимальное значение, длительность переходного процесса, период колебаний) уменьшение коэффициента затухания в 5 раз по сравнению с заданным?

б) Как повлияет на эти же показатели уменьшение постоянной времени T в 2 раза ?

в) Как меняется картина расположения полюсов передаточной функции при изменении и T ?

г) Что происходит с высотой резонансного пика ЛАХ при уменьшении

и с резонансной частотой	р	при уменьшении ?

9. Увеличить значение до произвольного значения, большего или равного единице, превратив тем самым звено в апериодическое звено вто-

5

рого порядка. Описать изменения, произошедшие с ПХ и с расположением полюсов на комплексной плоскости.

10. Определить путем имитации реального эксперимента значения АЧХ (ЛЧХ) и ФЧХ (ЛФХ) апериодического звена (значение T взять из табл.1.1) при трех значениях частоты : 1/T, 0.1/T, 10 /T . Рекомендуется воспользоваться следующей последовательностью действий:

на вход исследуемого звена подать гармонический сигнал единичной амплитуды и заданной частоты;

определить амплитуду выходного сигнала Ym и его временной сдвиг t относительно входного; указанные измерения следует производить по прошествии интервала времени не менее 3T , когда наблюдаемый на выходе звена процесс можно считать установившимся; удобно совместить в

одном окне входной и выходной процессы с помощью мультиплексора;

определить значения АЧХ и ФЧХ как A( ) Ym и ( )	t , а также
вычислить L ( );

полученные для каждого значения частоты данные занести в таблицу. 11. Описанным в предыдущем пункте способом определить значения АЧХ (ЛЧХ) и ФЧХ (ЛФХ) колебательного звена с параметрами, взятыми из

табл. 1.1, при указанных значениях частоты.

1.3.Содержание отчета

1.Ответы на вопросы, содержащиеся в программе работы.

2.Результаты экспериментального определения АЧХ и ФЧХ (и, соответственно, ЛЧХ и ЛФХ) апериодического и/или колебательного звеньев. Изобразить теоретические графики асимптотических ЛАХ рассматриваемых звеньев и нанести на них точки, определенные экспериментально, а также

в4, в). Прокомментировать результаты.

Контрольные вопросы

1.Дайте определения передаточной функции, частотной передаточной функции, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ, ЛФХ звена (системы).

2.Каков "физический смысл" АЧХ и ФЧХ (с точки зрения реакции на гармоническое воздействие)?

3.Зависит ли точность экспериментального определения АЧХ и ФЧХ от интервала наблюдения?

4.Выведите аналитические выражения для переходных характеристик интегрирующего и апериодического звеньев.

6

5.Каков "физический смысл" постоянной времени интегрирующего зве-

на?

6.Укажите максимальное число способов определения постоянной времени апериодического звена по графику его переходной характеристики.

7.Как связаны полюсы ПФ колебательного звена с поведением огибающей его переходной характеристики и частотой колебаний?

8.Выведите аналитическую зависимость между значением ЛАХ колеба-

тельного звена на частоте 1/ T и коэффициентом затухания .

Лабораторная работа № 2

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ НА КАЧЕСТВО АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы – изучение влияния изменения параметров системы на показатели качества и на характер протекающих в системе процессов.

2.1. Основные сведения

Важнейшими показателями качества (ПК) переходной характеристики (ПХ) h(t) , или прямыми показателями качества системы являются:

время регулирования t р – время, по истечении которого ПХ не выходит из области допустимых (обычно пятипроцентных) отклонений от уста-

новившегося значения (УЗ) h( ) :					h(t) h( )	, t tр , где	0.05 h( ) ;
время нарастания				tн – время первого достижения УЗ;
перерегулирование				– превышение максимума ПХ над УЗ в про-
центах от УЗ:	hmax	h( )		100 .
	h(	)

Среди косвенных ПК систем автоматического управления широко употребляются частотные и корневые.

Некоторые частотные ПК:

частота среза с – частота, при которой ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс: L( с ) 0 ; служит мерой быстродействия системы; запас устойчивости по фазе – превышение ЛФХ разомкнутой сис-

темы на частоте среза над уровнем –180 (в устойчивой системе):

180 +

+ ( с ) ; с уменьшением переходные процессы становятся более колебательными;

7

полоса пропускания			п – частота, при которой значение АЧХ замкну-
той системы в 2 раз меньше ее значения на нулевой частоте: A з ( п )
0.707 A з (0) или L з ( п )			L з (0) 3 дБ ; является мерой быстродействия
системы;

показатель колебательности M – отношение максимального значения АЧХ замкнутой системы к начальному значению: M A з max A з (0) ; характеризует склонность системы к колебаниям.

Основные корневые ПК:

степень устойчивости – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней) характеристического полинома (ХП) замкнутой системы; является мерой быстродействия; если ПФ не имеет нулей, то при увеличении действительной и мнимой частей каждого полюса в k раз длительность переходного процесса сократится также в k раз;

колебательность – отношение модулей мнимой и вещественной частей ближайшей к мнимой оси пары комплексных корней ХП; чем больше

, тем меньше затухание колебаний за период.

Некоторые способы суждения об устойчивости системы:

для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни ХП располагались в левой полуплоскости; если один корень находится в начале координат или одна пара корней – на мнимой оси (остальные – в левой полуплоскости), то система находится на границе устойчивости – соответственно, апериодического или колебательного типа);

в асимптотически устойчивой системе все коэффициенты ХП положительны; если хотя бы один из коэффициентов ХП отрицателен, система неустойчива;

согласно критерию Гурвица, для асимптотической устойчивости системы третьего порядка с положительными коэффициентами ХП необходимо и достаточно, чтобы произведение двух средних коэффициентов было больше произведения двух крайних коэффициентов (для колебательной границы устойчивости имеет место равенство этих произведений);

согласно критерию Найквиста, если ПФ разомкнутой системы имеет полюсы только в левой полуплоскости (кроме, возможно, одного нулевого), то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от нуля до бесконечности АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (–1, j0), или, что то же самое, чтобы разность между числом положительных (сверху вниз) и

8

отрицательных (снизу вверх) переходов АФХ через луч ( , 1] равнялась нулю; в терминах ЛЧХ это соответствует тому, что в диапазоне частот, где ЛАХ разомкнутой системы лежит выше оси, разность между числом положительных (снизу вверх) и отрицательных (сверху вниз) переходов ЛФХ че-

рез горизонтальную прямую с ординатой 180 равняется нулю.

2.2. Программа работы

Работа рассчитана на два занятия: программа первого включает зада-

ния 2.2.1 и 2.2.2, второго – 2.2.3.

2.2.1. Исследование влияния контурного коэффициента усиления системы на ее динамические свойства

1. Задать структурную схему системы третьего порядка, составленную

из последовательно соединенных звеньев с ПФ k p, 1 (T1p 1)																		и 1 (T2 p 1) ,
охваченных единичной отрицательной обратной связью. Назначить T1 в со-
ответствии с нижеприведенными вариантами и задать T2																0.1 T1:
	Вариант			2		3		4		5		6		7		8		9		10
		1
	T1, с	1.0		0.1		2.0		0.2		2.5		0.25		0.8		0.5		0.4		4.0
	2. Для значений k , равных 0.1 T1, 1 T1 и 10 T1 , определить и занести в
таблицу значения t р, t н, ,						п, Lз max				20 lg Aз max, корней ХП,								и		. Опи-
сать изменение характера переходного процесса с увеличением k .
	3. Увеличить k		до значения 12 T1 . Ответить на вопросы: каким стал пе-
реходный процесс? какие изменения произошли с корнями ХП?

4. Разомкнуть обратную связь. Для значений k , указанных в пп. 2 и 3, определить и занести в таблицу с и (только для первых трех значений k )

, а также исследовать с позиций критерия Найквиста изменения, происходящие в АФХ и ЛЧХ с ростом k .

2.2.2. Исследование влияния относительной инерционности звеньев системы на ее устойчивость

5. В предыдущей схеме, но с замкнутой обратной связью и со значением k , назначенном в п. 3, уменьшить T1 в 4 раза. Описать изменения, произо-

шедшие в характере переходного процесса и в расположении корней ХП.

6. Задать структурную схему системы, состоящей из трех последовательно соединенных апериодических звеньев с постоянными времени T1,T2

9

и T3 , охваченных единичной отрицательной обратной связью. Одно из звеньев имеет коэффициент передачи k , остальные – единичный.

7. Назначить T1 T2 T3 T , где T – произвольная константа. Подобрать такое значение k кр контурного коэффициента k , при котором система

выйдет на колебательную границу устойчивости, т. е. ПХ примет вид незатухающих колебаний. Определить частоту f , Гц, этих колебаний.

8. Назначить T1		T2	T3 0.5 T . Снова определить k кр и f , сравнить
их с предыдущими значениями.
9. Оставив	k k кр ,		задать новое соотношение постоянных времени:
T1 0.2 T, T2	T, T3	5T . Охарактеризовать изменения, произошедшие в

свойствах системы. Увеличением k определить новое значение k кр .

10.По результатам исследований в пп. 5–9 ответить на вопрос: какие факторы – абсолютные значения постоянных времени или их соотношения – влияют на устойчивость, характер переходных процессов в системе и на ее критический коэффициент усиления ?

2.2.3.Изучение стандартных полиномов

идиаграммы Вышнеградского

11.Задать структурную схему системы третьего порядка в управляемой канонической форме (рисунок).

u				y
b		1	1	1
	-	p	p	p
		a1	a2	a3
		+	+

12.		Задать систему с единичным коэффициентом передачи и ХП Бат-
терворта, для чего назначить a									2		0	, a			2	2	, a	3		, b		a		. Зна-
					1								2			0	3	0				3
чение		0 взять из приведенных ниже:
	Вариант			2		3		4			5				6		7		8		9			10
			1
	0 , рад/с		1	10		2		5			4				2,5		3		20		8			12
13.		Определить корни ХП и установить закономерность их геометриче-
ского расположения на комплексной плоскости. Определить t р ,																						и		п.
	14. Повторить анализ, увеличив								0		в 2 раза.

10