111Equation Chapter 1 Section 1минобрнауки россии

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ

отчет

по практическому заданию №2

по дисциплине «Анализ, моделирование и оптимизация систем»

Тема: Моделирование центра массового обслуживания

Студенты гр. 3381		Сучков А.И.
		Шкулёв А.А.
Преподаватель		Романцев В.В.

Санкт-Петербург

2017

Цель работы.

Целью работы является изучение модели обслуживания заявок с неограниченной очередью. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1. изучить модель обслуживания заявок со схожими законами распределения потока заявок и обслуживания;

2. изучить модель обслуживания заявок с различными законами распределения потока заявок и обслуживания;

3. запрограммировать модель;

4. сравнить практические результаты с теоретическими.

Основные теоретические положения.

Дана следующая модель системы обслуживания, представленная на рис. 1.

Рисунок 1 – Модель системы обслуживания

Назовём потоком заявок (обслуживания) такой процесс, который генерирует (обслуживает) заявки в случайный момент времени. Соответственно, интенсивностью потока назовём среднее количество событий потока, происходящих в единицу времени.

Пусть поток заявок имеет интенсивность, равную λ, а поток обслуживания – μ, причём, μ > λ. Приведённой интенсивностью ρ назовём отношение интенсивностей потоков и заявок обслуживания:

. 22\* MERGEFORMAT ()

Время нахождения заявки в системе складывается из времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания.

Среднее время обслуживания одной заявки очевидно выражается через интенсивность потока обслуживания, а также через математическое ожидание случайной величины — времени, когда заявка в системе будет обработана:

, 33\* MERGEFORMAT ()

где f(t) – плотность закона распределения случайной величины в потоке обслуживания.

Отношение корня дисперсии времени обслуживания к его среднему называется коэффициентом вариации времени обслуживания:

44\* MERGEFORMAT ()

С помощью этого коэффициента вариации можно теоретически рассчитать среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания в очереди:

55\* MERGEFORMAT ()

. 66\* MERGEFORMAT ()

Очевидно, что среднее время ожидания в очереди может быть вычислено с помощью деления среднего числа заявок в очереди на среднюю скорость обработки (интенсивность потока обслуживания λ).

Постановка задачи.

Необходимо смоделировать систему обслуживания заявок с неограниченной очередью с пуассоновским потоком заявок (время отправки сообщения – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону) и тремя различными потоками обслуживания (время обслуживания – случайная величина, распределенная по равномерному, показательному или треугольному закону). Провести эксперимент и выяснить практические характеристики модели. Провести теоретический расчет этих параметров. Оценить результаты.

Выполнение задания.

Для выполнения задания необходимо найти параметры распределения времени обслуживания так, чтобы математические ожидания для всех исследуемых распределений, которые есть не что иное, как времена обслуживания, совпадали, т.е. при постоянном параметре для . Полученные значения для каждого распределения сведены в табл. 1.

Таблица 1 – Значения интенсивностей для каждого распределения

Распределение	Параметр ρ	Параметры распределения
	0,45
	0,85
	0,45
	0,85
	0,45
	0,85

С помощью пакета GPSS была составлена программа моделирования центра массового обслуживания (ЦМО). Код программы приведён в приложении А. Для каждой пары законов распределения (заявок и обслуживания) было проведено исследование для каждого значения приведённой интенсивности ρ, а также для значений количества заявок , проходящих через систему. Полученные в результате моделирования основные характеристики ЦМО приведены в табл. 2 приложения Б, где QM – максимальная длина очереди, QA – средняя длина очереди, QZ – число заявок, поступивших на обслуживание без очереди, QT – среднее время пребывания заявки в очереди (включая нулевые входы), QX – среднее время пребывания заявки в очереди (без нулевых входов), FX – коэффициент загрузки, FT – среднее время обслуживание заявки.

По формулам (2) и (5) были рассчитаны теоретические значения основных характеристик ЦМО (среднее время заявки в очереди, среднее время обслуживания заявки). Результаты сведены в табл. 3.

Таблица 3 – Теоретические значения основных характеристик ЦМО

Распределение	Значение ρ	Значение	Значение	Значение
	0,45		40	21,82
	0,85			151,11
	0,45	1	40	32,72
	0,85			226,67
	0,45			2,05
	0,85			14,17

Для каждого потока обслуживания были построены таблицы значений зависимости времени пребывания в очереди от количества заявок при различных ρ. По данным таблицам были построены соответствующие полигоны. Таблицы и полигоны представлены в приложениях В, Г и Д соответственно.

Для оценки среднего время ожидания заявки в очереди было проведено 10 экспериментов (на одном наборе данных) для показательных законов следования заявок на входе и обслуживания. Для характеристик среднего времени ожидания заявки в очереди и обслуживания заявки доверительный интервал с надёжностью равен:

, 77\* MERGEFORMAT ()

где – выборочное среднее, – полуширина доверительного интервала, – исправленное СКО, t_γ – коэффициент, который находят по таблице при заданных n и γ. Экспериментальные данные при и приведены в табл. 7.

Таблица 7 – Экспериментальные данные

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	164	215	250	244	186	276	217	191	181	244
	38	42	40	39	38	39	38	41	37	36

;

;

.

По формуле (6) были найдены доверительные интервалы для оценок среднего времени ожидания заявки в очереди и обслуживания заявки. Результаты для каждой характеристики при заданных γ приведены в табл. 8 и 9 соответственно.

Таблица 8 – Доверительный интервал для параметра

γ
0,95	2,26	25,85
0,99	3,25	37,17
0,999	4,78	54,67

Таблица 9 - Доверительный интервал для параметра

γ
0,95	2,26	1,29
0,99	3,25	1,86
0,999	4,78	2,74

Выводы.

В ходе выполнения практического задания были изучены модели обслуживания заявок с неограниченной очередью. Были изучены модели обслуживания заявок со схожими и различными законами распределения потока заявок и обслуживания. Результатом работы стала модель системы обслуживания заявок с неограниченной очередью с пуассоновским потоком заявок и тремя различными потоками обслуживания, а также анализ основных характеристик центра массового обслуживания, для которых был построен доверительный интервал. Доверительное оценивание показало, что интервал действительно покрывает теоретические значения параметров с заданной надёжностью, что свидетельствует о корректном моделировании системы массового обслуживания.