В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

викладеним в п. 3.8 резонансним режимом на k -й гармоніці називається такий режим, за якого струм k -ї гармоніки на вході електричного кола збігається за фазою з k -ю гармонікою вхідної напруги. Отже, умови резонансу для k -ї гармоніки полягають у тому, що реактивна складова вхідного опору для цієї гармоніки повинна дорівнювати нулю.

В умовах резонансу на якій-небудь вищій гармоніці струми (напруги) цієї гармоніки можуть бути більшими від струмів (напруг) першої гармоніки, незважаючи на те, що амплітуда ЕРС першої гармоніки є більшою від амплітуди ЕРС відповідної вищої гармоніки.

Основні положення. В електричних колах несинусоїдного струму може виникати резонанс на окремій гармоніці або на декількох гармоніках.

5.6. Приклади розв’язування задач

Приклад 5.1 Визначити миттєве значення струму в електричному колі (рис. 5.17), а також активну, реактивну і повну потужності, якщо R = 5 Ом, L = 0,0191 Гн, C = 530 мкФ,

u = (10 + 141sin (ωt + 20 )+ 42,4sin (3ωt + 45 )) В.

i R L

u

Рис. 5.17

Розв’язання. Миттєве значення струму у колі дорівнює у загальному випадку сумі постійної складової, основної та вищих гармонік. Розрахунки здійснюємо для кожної гармоніки окремо.

Постійна складова (нульова гармоніка):

	ω = 0 ; U0 = 10 В;	X L = ω L = 0 ;		XC =			1			= ∞ ;
							ωC
	Z = R2 + ( X L − XC )2 = ∞ ;		I0	=	U0	=		10		= 0 .
					Z0			∞

151

У цьому

електричному

колі постійна

складова

струму

I0 = 0 . Виконаємо розрахунки для гармонічних складових.

Перша гармоніка.

u1 = 141sin (ωt + 20 )В

або в комплексній формі U = 100e j20 В.

1

X L1 = ω L = 2π fL = 314,16 0,0191 = 6 Ом;

XC1 =

1

=

1

=

1

= 8 Ом.

314,16 530 10−6

ωC

2π fC

Комплексний опір для першої гармоніки

Z = R + j

( X

L1

− X

C1

) = (5 + j (6 − 8)) = 5,38e− j21 Ом.

1

Комплексне значення струму першої гармоніки

I

=

U

1

=

100e j200

= 18,59e j41

А.

1

Z1

5,38 e− j210

Миттєве значення струму першої гармоніки

i1 = 26,2sin (ωt + 41 ) А.

Розрахунокструмутретьої гармоніки визначаємо аналогічно.

u3 = 42,4sin (ωt + 45 )

В;

U

3 =

42,4

e j45 = 30e j45

В;

2

X L3 = 3ω L = 18 Ом;

XC3 = 1/ (3ωC ) = 2,67 Ом;

Z3 =

R2 + ( X L3 − XC3 )2 = 16,2 Ом;

tgϕ3 =

X L3 − XC3

= 3,07;

ϕ3

= 71 ;

R

Z3 = R + j ( X L3 − XC3 ) = 5 + j15,34 = 16,2e j71 Ом;

U

= 30e j45 В;

I =

U

3

=

30e j45

= 1,86e− j26

3

1

Z3

16,2e j71

i3 = 2,61sin (3ωt − 26 ) А.

Миттєве значення струму в колі

i = I0 + i1 + i3 =

(26,2sin(ωt + 41 ) + 2,61sin(3ωt − 26 ))

А;

А.

152

Діюче значення струму

I = I	2	+ I 2	+ I	2	= 18,52 + 1,852 = 18,59 А.
	0	1		3

Активна потужність

P= P0 + P1 + P3 = U0 I0 + U1I1 cosϕ1 + U3I3 cosϕ3 =

= 100 18,5cos 21 + 30 1,85cos71 = 1728 Вт.

або
P = I02r + I12r + I32r = (I02 + I12 + I3 2)r = (18,52 + 1,852 )5 = 1728 Вт.
Реактивна потужність
Q = Q1 + Q3 = U1I1 sinϕ1 + U3I3 sinϕ3 =
100 18,5 sin (−21 )+ 30 1,85 sin 71 = 925 вар.
Діюче значення підведеної напруги
U = U 2	+ U 2 + U	2 =	102 + 1002 + 302 = 105 В.
0	1	3
Повна потужність
	S = UI = 105 18,65 = 1960 B A .
Приклад 5.2. У зображеному на рис. 5.18 електричному
колі: ω = 500 с-1; R = 5 Ом;
	L = 0,01 Гн;		C = 100 мкФ.

J (t) = (4 2 sinωt + 3 2 sin(3ωt − 10 )) А.

Визначити діюче значення напруги U на джерелі струму і активну потужність P.

Розв’язання. Розрахунок першої гармоніки (ω = 500 с-1):

	J1 (t ) = 4 2 sin 500t		А;
	X L1 = ω L = 500 0,01 = 5 Ом;
	XC1 =	1	=	10−6
		Cω		500	100

	R
J (t)	u (t) L
	C
	Рис. 5.18

= 25 Ом;

Z = R2	+ ( X	L1	− X	C1	)2	= 52 + (5 − 25)2	= 20,6 Ом;
1

U1 = I1 Z1 = 4 20,6 = 82,4 В;

153

P = I 2 R = 42			5 = 80 Вт;
1	1
Розрахунок третьої гармоніки (ω = 1500 с-1):
J3 (t ) = 3		2 sin1500t А;
X L3 = 3ω L = 15 Ом;			XC3 =	XC1	= 8,33 Ом;
			3
Z3 = R2 + ( X L3 − XC3 )2		=	52 + (15 − 8,33)2 = 8,34 Ом;

U3 = I3Z3 = 3 8,34 = 25 В;
	P = I 2 R = 9 5 = 45 Вт;
	3	3
Діюче значення напруги на джерелі
U = U	2 + U	2 = 82,42 + 252	= 86,1 В;
	1	3

Активна потужність

P = P1 + P3 = 80 + 45 = 125 Вт.

Приклад 5.3. Розглянемо зображене на рис. 5.19 електричне коло, в якому: R = 5 Ом, ω L = 5 Ом, 1/ωC = 20 Ом. Струм у котушці iL = 4 + 8sinωt + 6sin(2ωt + π / 2) А.

i	R	L
u		C
	Рис. 5.19

Розв’язання. Розрахунок нульової гармоніки.

Напруга нульової гармоніки U (0) = RI (0) = 4 5 = 20 B . Потужністьнульовоїгармоніки P(0) = U (0) I (0) = 20 4 = 80 Вт.

Розрахунок першої гармоніки.

Комплексне амплітудне значення напруги на паралельній ділянці.

154

U		m(1) = jω LILm(1) = 5 8e j90	= 40e j90 B .

Комплексний опір паралельної ділянки

				1
	jω L	− j
ZLC(1) =			ωC				=
	jω L − j			1
				ωC

	5	20	= j6,67	Ом.
	j(5 − 20)

Комплексне амплітудне значення струму першої гармоніки в нерозгалуженій частині кола

	I	m(1)	=	U		m(1)	=	40e j90	= 6 A .
								6,67e j90
				ZLC(1)
Комплексний опір всього кола
Z (1) = R + ZLC(1)			= 52 + 6,672 e jarctg (6,67 / 5) = 8,3e j53 .

Комплексне амплітудне значення вхідної напруги

U

m(1)

= Z (1)

I

m(1)

= 8,3e j53

6 = 49,8e j53 B .

Потужність першої гармоніки

P(1) = U (1) I (1)cosϕ (1)

= 49,8 6 / 2 cos53 = 89,64 Вт.

Розрахунок другої гармоніки

Комплексний опір паралельної ділянки

1

j2ω L − j

2 5 20 / 2

ZLC(2) =

2ωC

=

= ∞ ,

j(2 5 − 20 / 5)

1

j2ω L − j

2ωC

тобто в колі існує резонанс на другій гармоніці, а це означає, що струму другої гармоніки в нерозгалуженій його частині не буде. Отже, напруга другої гармоніки на вході кола дорівнює напрузі на паралельній ділянці, а активна потужність

P(2) = U (2) I (2) cosϕ (2) = 0 .

Комплексне амплітудне значення напруги на паралельній ділянці.

Um(2) = j2ω LILm(2) = j2 5 6e j90 = −60 B .

Миттєве значення напруги на вході кола

155

u = U (0) + u(1) + u(2) = 20 + 49,8sin(ωt + 53 ) − 60sin 2ωt .

Діюче значення напруги

U = (U (0) )2 + (U (1) )2 + (U (2) )2 = 202 +	49,82	+	602	= 58,6 B .
2		2

Активна потужність всього кола

P = P(0) + P(1) + P(2) = 80 + 89,64 + 0 = 169,64 Вт.

5.7. Питання та завдання для самостійної роботи

Контрольні питання

1.Яким способом можна подати періодичну несинусоїдну електричну напругу (ЕРС, струм)?

2.Який математичний апарат використовують для аналізу лінійних електричних кіл несинусоїдного струму?

3.Які є способи подання членів ряду Фур’є?

4.Як визначаються коефіцієнти ряду Фур’є?

5.Яка гармоніка називається основною, а які вищими?

6.Як визначається діюче значення несинусоїдної напруги (струму) через її гармонічний спектр?

7.Як визначається середнє значення несинусоїдної періодичної величини і чому воно дорівнює?

8.Як визначаються реактивні опори котушки та конденсатора для k -ї гармоніки?

9.За яких умов гармонічні спектри напруг і струмів однакові?

10.Як визначають діюче значення несинусоїдної напруги (струму, ЕРС)?

11.Як визначають активну і реактивну потужності несинусоїдного струму?

12.Як визначають повну потужність несинусоїдного струму?

13.Як визначають потужність спотворення несинусоїдного струму?

14.Як визначають коефіцієнт амплітуди та коефіцієнт форми несинусоїдної напруги (струму) і чому вони дорівнюють для синусоїди?

15.Як визначити коефіцієнт спотворення несинусоїдної періодичної напруги?

Екзаменаційні питання

1.Несинусоїдні ЕРС, напруги та струми. Розклад періодичної несинусоїдної електричної величини в ряд Фур’є.

2.Властивості періодичних симетричних несинусоїдних кривих.

3.Середнє, середнє за модулем та діюче значення несинусоїдних періодичних величин. Коефіцієнти, що характеризують форму кривої.

4.Параметри електричних кіл з несинусоїдними періодичними джерелами.

156

5.Розрахунок лінійних електричних кіл з несинусоїдними періодичними джерелами.

6.Потужності в колі періодичного несинусоїдного струму.

7.Коефіцієнт потужності в колі несинусоїдного струму.

8.Метод еквівалентних синусоїд і особливості його застосування.

9.Особливості резонансних режимів у колах з несинусоїдними джерелами.

Завдання для самостійної роботи

Задача 5.1. Визначити діюче значення напруги, яка подана тригонометричним рядом

u =	400	(sinωt +	1	sin 3ωt +	1	sin 5ωt +	1	sin 7ωt) В.
	π
		3		5		7

Відповідь: U = 100 В.

Задача 5.2. Визначити покази амперметра електромагнітної системи, увімкненого на вході пасивного двополюсника, якщо через

нього протікає струм i = (1,73 + 6 2 sinωt + 5 2 sin 3ωt) А.

Відповідь: I = 3 А.

Задача 5.3. Обчислити активну потужність котушки індуктивності з параметрами R = 20 Ом, ω L = 10 Ом , яка живиться

напругою u = (141,4sinωt + 56,57sin 2ωt) В.

Відповідь: P = 410 Вт.

Задача 5.4. Обчислити активну потужність, яку споживає пасивний двополюсник, що складається з послідовно з’єднаної котушки індуктивності і конденсатора, параметри яких ωL = 1/ωС = R = 100 Ом,

якщо напруга на вході u = (141,4sinωt + 56,57sin 2ωt) В.

Відповідь: P = 100 Вт.

Задача 5.5. Обчислити активну, реактивну та повну потужності, а також потужність спотворення, якщо напруга і струм на вході пасивного двополюсника визначаються рівняннями:

u= 141sinωt + 11sin(3ωt + 30 ) В;

i = 10,19sin(ωt − 11,3 ) + 2cos3ωt + 10,19sin 5ωt А.

157

Відповідь: P = 709,5 Вт; Q = 123,8 вар; S = 738 В А; D = 160,5 ВА.

	i	R							Задача 5.6. Визначити миттєве значен-
				L					ня струму і, активну потужність і дію-
	u				C				че значення	напруги	на конден-
									саторі, якщо:	ω = 103 c−1 ;	L = 0,05 Гн;
									С= 5 мкФ; R = 50 Ом; u = 40 + 120sinωt +

+ 60sin(2ωt − 30 ) + 50sin(5ωt − 60 ) В.

Відповідь: i = 0,76sin(ωt + 71,5 ) +1,2sin(2ωt − 30 ) − 0, 23sin(5ωt + 43,38 ) A; P =51,8 Вт; UC = 143 В.

Задача 5.7. У зображеному на рисунку до задачі 5.6 електричному колі u = (100 + 50sinωt) В, 1/ωС = 2ωL = R. Як зміняться

покази вольтметра магнітоелектричної системи, під’єднаного паралельно до затискачів конденсатора, якщо індуктивність L котушки збільшити у два рази?

Відповідь: Не зміниться.

Задача 5.8. Через ідеальний індуктивний елемент електричного кола протікає струм i = (4 + 30 2 sinωt + 5 2 sin 3ωt) А. Визначити відношення амплітуди першої гармоніки напруги Um1 на котушці до амплітуди третьої гармоніки Um3 .

Відповідь: Um1 /Um3 = 2 .

Задача 5.9. Визначити коефіцієнт потужності пасивного двополюсника, якщо вирази для напруги та струму мають вигляд:

u = (120 2 sin ωt + 50 2 sin(3ωt + 45 )); i = (4 2 sinωt) А.

Відповідь: λ = 0,923 .

iЗадача 5.10. Визначити миттєве значення струму і, якщо: u = 40 + 282sin ωt +

				L			+134sin(2ωt + 60 ) + 41,2sin(4ωt + 45 ) B ;
u							C ω = 103 c−1 ; L = 20 мГн; С = 10 мкФ;
				R			R = 20 Ом.
							Відповідь: i = 2,0 + 8,2sin(ωt − 31 ) +
							+1,34sin(2ωt + 60 ) + 1,13sin(4ωt + 130 ) А

158

i	R	L
u		iC
		C

Задача 5.11. Визначити миттєві значення струмів і, іС,, якщо:

u = (100 + 50 2sin(ωt + 45 ) +

+ 25 2sin(3ωt − 60 )) В; ωL = 20 Ом;

1/ωС = 60 Ом; R = 40 Ом.

Відповідь: i = (2,5 + 1, 41sin(ωt + 8,13 ) + 0,71sin( 3ωt − 23,13 )А; iC = (0,71sin(ωt − 171,9 ) + 1,06sin( 3ωt − 23,13 )) А.

	i	R								Задача 5.12. Визначити миттєві значення
						iC			iL	струмів, якщо: R = 20 Ом; L = 10 мГн;
										С = 33 мкФ; ω = 103c-1 ;
u							C		L
										u = (62,8 + 80 2 sinωt +
										+30 2 sin 3ωt + 16 2 sin 5ωt) В.

Відповідь:

i = 3,14 + 4,5sin(ωt − 36,87 ) + 1,69sin(3ωt + 36,87 ) + 1,1sin(5ωt + 19 ) ;

iL = 3,14 + 6,8sin(ωt − 37 ) + 0,85sin(3ωt + 143 ) + 0,14sin(5ωt − 161 ) ; iC = 2,26sin(ωt −143 ) + 2,54sin(3ωt + 37 ) + 1,21sin(5ωt + 19 ) .

R1	L
A
e	R2	C

Задача 5.13. У колі несинусоїдного стру-

му показ		амперметра електромагнітної
системи	IA = 3 A.		Вираз	для ЕРС має
вигляд	e = 22 + 42,43sinωt + Em2 sin 2ωt.
Визначити		Em2 ,	якщо	R1 = 1 Ом;

R2 = 10 Ом, wL = 16 Ом, 1 (wC) = 20 Ом.

Відповідь: Em2 = 39,1 В.

159

i

i1

i2

R1

R2

u

C

L

Задача 5.14. Визначити активні потужності віток, якщо: u = 100sin(ωt + 90 ) +

+60sin(3ωt + 90 ) + 20sin(5ωt + 90 ) В; ω L = 1/(ωC) = 3 Ом; R1 = R2 = 4 Ом.

Відповідь: P1 = 884,2 Вт; P2 = 1281 Вт.

Задача 5.15. Визначити напругу u(t) ,

якщо: R1 = 1	Ом; R2 = 0,5 Ом; ω L = 1 Ом;
1/(ωC) = 9	Ом; e(t) = 30,0 +15sinωt +
+20sin 3ωt .

Відповідь: u(t) = 10,0 + 9,64sin(ωt + 26,2) +18,97sin(3ωt4,8) В.

160