В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

за цієї умови. Зазначеним умовам з деяким наближенням відповідають лінії пересилання інформації і лінії пересилання електроенергії високих напруг (вище 330 кВ).

Коефіцієнт поширення γ лінії без втрат

γ = α + jβ = jω						L0C0 ,					(8.37)
тобто коефіцієнт згасання α = 0 ,					а коефіцієнт фази β = ω						L0C0 .
У цьому разі хвильовий опір
Zc =				L0 / C0 ,
тобто є винятково активним і від частоти не залежить.
Довжина хвилі у лінії без втрат
v =	2π		=		T			.
	β
					L C		0
					0
Фазова швидкість прямої та зворотної хвиль у цьому разі не
залежить від частоти
v =			1			.
				L0C0
Для визначення напруги U					і струму I в довільній точці

лінії без втрат скористаємось формулами (8.12), (8.13) і врахуємо,

що γ y = jβ y; chjx = cos x; shjx = j sin x ; shγ y = shjβ y = j sin β y .

У результаті одержимо рівняння лінії без втрат, які дають змогу визначити ці величини за їх значеннями (U1, I1) на початку лінії

U		= U		1 cos β x + jZc		I1 sin β x;
							(8.38а)
I = I cos β x − jZ
					−1U sin β x,
		1			c		1

та за значеннями (U2 , I2 ) в її кінці

U = U2 cos β y + jZc I2 sin β y;

I = I2 cos β y + jZc−1U2 sin β y. (8.38б)

Основні положення. У лінії без спотворення хвилі різних частот поширюються з однаковою швидкістю і всі однаковою мірою зменшуються за амплітудою, а фазова швидкість не залежить від частоти і має максимальне значення.

У лінії без втрат коефіцієнт згасання дорівнює нулю, а хвильовийопірє винятковоактивнимівідчастотинезалежить.

271

8.9. Стоячі хвилі в лінії

Стояча хвиля є результатом накладання прямої та зворотної хвиль з однаковими амплітудами. Математично рівняння стоячої хвилі можна подати добутком двох періодичних (тригонометричних) функцій, одна з яких є функцією часу, а друга – координати точки лінії. Для стоячих хвиль характерне чергування вузлів та пучностей (рис. 8.4), причому стоячі хвилі напруги та струму завжди зсунені одна щодо іншої в часі на кут π/2, а в просторі – на одну четверту довжини хвилі. Стоячі хвилі в лінії виникають у лініях без втрат у неробочому режимі і за короткого замикання, а також у разі суто реактивного навантаження. Інакше кажучи, коли реактивна потужність, яка споживається навантаженням лінії, дорівнює нулю. Зокрема, за неробочого режиму ( I2 = 0, Z2 = ∞) рівняння (8.38б) має вигляд

U = U2 cos β y ;

I = jZc−1U2 sin β y .

Відповідно для миттєвих значень одержимо

u = U2m cos β y sinωt;

i = Zc−1U2m sin β y cosωt. (8.39)

Рис. 8.4

272

Кожне з рівнянь (8.39) можна подати у вигляді двох складових – прямої і зворотної хвиль, які мають однакові амплітуди.

u =		U2m		sin (ωt + β y) +		U2m		sin (ωt − β y);
2				2					(8.40)
	U2m		sin (ωt + β y) −		U2m		sin (ωt − β y).
i =
	2Zc				2Zc

Як видно з (8.40), в неробочому режимі в кінці лінії (y = 0), а також у точках з координатами

y = k π = k λ ,

β 2

де k – ціле число, в будь-який момент часу наявні максимуми

(пучності) напруги і нулі (вузли) струму (рис. 8.4), а на відстанях y = (2k +1) λ

4

завжди спостерігаються вузли напруги і пучності струму. Зауважимо, що вузли струмузбігаються зпучностямиструмуінавпаки.

У вузлах напруга (струм) дорівнює нулю в будь-який момент часу, тому потужність у них завжди дорівнює нулю і енергія через ці точки передаватись не може. У разі стоячих хвиль енергія може переміщуватись лише в межах між вузлом напруги і струму і пов’язана вона з обміном енергією між електричним і магнітним полями на кожній з цих ділянок.

Аналогічне спостерігаємо у разі короткого замикання кінця лінії без втрат. Відмінність електромагнітних процесів у неробочому режимі та в режимі короткого замикання лінії без втрат полягає в тому, що міняються місцями розташування вузлів і пучностей напруги та струму. Зокрема, в кінці розімкненої лінії є вузол струму (I2 = 0) і пучність напруги, а в кінці короткозамкненої лінії – пучність струму і вузол напруги (U2 = 0).

Основні положення. Стоячі хвилі викають у лінії без втрат у неробочому режимі, у разі короткого замикання і винятково реактивного навантаження.

Стояча хвиля є результатом накладання прямої та зворотної хвиль з однаковими амплітудами. Вона характеризується пучностями і нулями напруги та струму.

273

8.10. Вмикання лінії на постійну напругу

Розгляд електромагнітної хвилі в лінії як накладання падаючих і відбитих хвиль напруги та струму, які поширюються в протилежних напрямках з однаковою фазовою швидкістю, дає змогу розглядати відбиті хвилі як результат відбиття прямих хвиль від кінця лінії. Оскільки в разі навантаження лінії на хвильовий опір Zc відбиті хвилі відсутні, у лініях зв’язку завжди

прагнуть досягти їх усунення. Умова відсутності відбитих хвиль близька до умови, за якої приймач одержує від генератора найбільшу потужність. Для узгодження опорів генератора і лінії або лінії і споживача, останній можна вмикати в лінію через трансформатор з відповідним коефіцієнтом трансформації.

Під час вмикання кола з розподіленими параметрами виникає пряма хвиля, яка поширюється уздовж лінії і заряджає лінію. Для джерела напруги синусоїдної форми промислової частоти довжина хвилі становить 6000 км, тому впродовж достатньо великої ділянки напругу можна вважати постійною. З цієї причини явище поширення електромагнітної хвилі якісно можна розглянути на прикладі хвилі з прямокутним фронтом (рис. 8.5) у лінії без втрат. Для такої хвилі характерне те, що у всіх точках лінії, розташованих до фронту хвилі, напруга і струм дорівнюють нулю, а в точках, розташованих зафронтом хвилі, напруга іструм незмінні.

Зауважимо, що поширення хвилі з прямокутним фронтом необхідно розглядати як ідеалізацію реального процесу, оскільки поширення електромагнітної хвилі з прямокутним фронтом означає, що напруга і струм у кожній точці лінії стрибкоподібні, а це неможливо в колах з індуктивностями та ємностями.

Поширення хвилі в лінії є сумою прямої (φ) і відбитої (ψ) хвиль. У разі розімкненої лінії відбита хвиля напруги має таке ж значення, як і пряма, а хвиля струму відбивається зі зміною знака

uψ = uϕ ; iψ = −iϕ .

У разі короткого замикання лінії навпаки – хвиля напруги відбивається зі зміною знака, а хвиля струму має таке ж значення, як і пряма.

uψ = −uϕ ; iψ = iϕ .

274

u

i

0

uϕ

x

0

l

u

i

0

uψ

x

0

l

i

u

0

uϕ

x

0

l

u

i

0

uψ

x

0

l

а

Рис. 8.5

iϕ		x
	l

iψ						x
				l
			iϕ			x
				l

iψ				x
		l

б

Розглянемо процеси вмикання розімкненої в кінці лінії на постійну напругу U0 . Після вмикання джерела уздовж лінії

поширюються хвилі напруги з прямокутним фронтом і струму (рис. 8.5). Дійшовши до кінця, ці хвилі відіб’ються, причому хвиля наруги без зміни знака, а струму – з протилежним знаком. Якщо лінія розімкнена на кінці, то коефіцієнти відбиття напруги ku = 2 , а струму ki = 0 , отже, під час переміщення в напрямку

джерела відбиті хвилі накладаються на падаючі, внаслідок чого напруга в лінії подвоюється (u2 = 2U0), а струм зменшується до нуля (i2 = 0). Відбиті від розімкненого кінця хвилі, досягнувши джерела, знову відіб’ються, причому відбита хвиля напруги змінить знак, а струму ні (як у разі короткого замикання). Від’ємна хвиля напруги під час переміщення до кінця лінії знижує напругу в ній до значення, що дорівнює напрузі джерела, а струм буде

275

протилежним до свого початкового значення. Досягнувши кінця лінії, хвилі втретє відіб’ються, в результаті чого до джерела пошириться від’ємна хвиля напруги, яка знизить напругу в лінії до нуля, і додатна хвиля струму, яка також знизить його до нуля. Цим завершується повний цикл, який надалі повторюється.

У разі короткого замикання лінії ku = 0, ki = 2 . Відбита хвиля напруги відбивається від кінця лінії зі зміною знака і компенсує падаючу хвилю ( u2 = 0 ), а хвиля струму – без зміни і

струм у лінії подвоюється. Оскільки під час всіх наступних відбивань від джерела і від короткозамкненого кінця лінії хвиля напруги відбивається зі зміною знака, то напруга в лінії дорівнюватиме або напрузі джерела, або нулю. Відбивання хвилі струму і від кінця лінії, і від джерела відбувається без зміни знака. Тому струм у лінії після кожного відбивання зростає на величину початкового значення, і в результаті струм зростає.

Повнийциклпроцесувлініїдовжиною l відбувається за час

T = 4l = 4l LC . v

Цей період називають періодом власних коливань лінії. Зауважимо, що в контурі із еквівалентними зосередженими параметрами котушки індуктивністю L0l і ємністю C0l він

дорівнював би T0 = 2π l L0C0 , тобто в π/2 разів більший.

У разі узгодженого навантаження ( Z2 = Zc ) u2 = Uпад.,

i2 = Iпад., тому відбитих хвиль немає, а енергію хвилі повністю поглинає навантаження.

8.11. Приклади розв’язування задач

Приклад 8.1. Визначити хвильовий опір, коефіцієнт поширення та довжину хвилі в лінії, якщо відомі первинні параметри

лінії: R0 = 5,0 Ом/км;

L = 1,9 10−3

Гн/км; C = 6,35 10−9

Ф/км;

0

0

G = 0,6 10−6

См/км. Частота напруги f = 10 кГц.

0

Розв’язання.

+ jω L0

Z

c

=

Z0

=

R0

= 547e− j1,17

;

Y0

G0

+ jωC0

276

γ = α + jβ = (R0 + jω L0 )(G0 + jωC0 ) = (4,42 + j218)10−3 ;

λ =	2π	=	2π	= 28,8 км.
			0,218
	β

Приклад 8.2. Лінія електропересилання має параметри:

R0 = 1 Ом/км, ω L0 = 0 ; G0 = 0 ;

ωC0 = 0,4 10−3 См/км. Визначити довжину хвилі.

Розв’язання.

Z		= R + jω L =1Ом/ км; Y = G + jωC = j0,4 10−3 Cм/ км;
	0	0	0			0	0		0
γ = α + jβ = Z Y =					1 0, 4 10−3 = 0,02e− j45 = 2 10−2 + j 2 10−2.
			0	0		α =	2π		= π 2 102 км.
		β = 2 10−2 ;
							β
		Приклад		8.3.	Параметри		кабельної лінії: ω = 1000 c−1			;
									0
R0 = 1 Ом/км,			ω L = 0 ; G0			= 0;	C		= 0,4 10−6 Ф/км. Визначити
				0			0

фазову швидкість поширення хвилі.

Розв’язання.

Y0 = jω0C0 = j1000 0,4 10−6 = j0,4 10−3 Cм/ км;

Z0 = R0 + jω L0 = 1Ом/ км ;

γ	= 4 0,4e j90 = 10−2 2 + j10−2 2 ;
β = 2	10−2 ;	v = ω0 =	1000	=	1	105 км/с.
			2 10−2
		β		2
Приклад 8.4. Хвильовий опір телеграфного кабеля за частоти
f = 800 Гц становить Zc		= 84e− j38,87 Ом , а коефіцієнт поширення

γ = (5,36 + j6,7) 10−2 1/км. Визначитишвидкість поширенняхвилі.

	Розв’язання.	v =	ω0	=	2 800	= 7500 км/с.
			β		6,7 10−2

277

8.12. Питання та завдання для самостійної роботи

Контрольні питання

1.Чим відрізняються електричні кола з розподіленими параметрами від кіл із зосередженими параметрами?

2.Як зображають заступну схему однорідної довгої лінії?

3.Який фізичний зміст мають первинні параметри довгої лінії?

4.Які рівняння називають телеграфними?

5.Які параметри довгої лінії називаються вторинними (хвильовими)? Як їх визначають?

6.Чи впливає навантаження лінії на величину хвильового опору?

7.Чому хвильовий опір повітряних ліній значно більший, ніж кабельних?

8.Які складові має коефіцієнт поширення, та що вони характеризують?

9.Який режим роботи довгої лінії називають узгодженим?

10.Яку хвилю називають прямою, а яку відбитою?

11.За яких умов відбиті хвилі відсутні?

12.Які є коефіцієнти відбиття і як їх визначають?

13.Як визначають довжину хвиль у лінії?

14.Що означає фазова швидкість і від чого вона залежить?

15.Чомушвидкістьпоширенняхвилівкабельнихлініяхбільша, ніжуповітряних?

16.Яка лінія називається лінією без спотворень?

17.Які властивості має лінія без спотворень?

18.Яка лінія називається лінією без втрат?

19.Які властивості має лінія без втрат?

20.У яких лініях і за яких умов виникають стоячі хвилі?

21.Яка ланцюгова схема називається однорідною?

22.Як визначають хвильовий опір та коефіцієнт поширення лінії без втрат?

23.Як визначають фазову швидкість та коефіцієнт відбиття лінії без втрат?

24.За яких умов у лінії можуть виникати стоячі хвилі?

25.Який характер розподілу амплітуд напруги та струму в лінії в режимі стоячих хвиль?

26.Чи може напруга на початку лінії з втратами бути меншою від напруги в кінці лінії в режимі відсутності навантаження?

27.За яких умов форма хвиль напруги та струму в лінії буде незмінною і однаковою в будь-який момент часу?

28.Чи виникає перехідний процес у лінії у разі миттєвої зміни активного навантаження?

29.Чи будуть у разі короткого замикання двопровідної лінії поширюватись хвилі напруги та струму від місця замикання у напрямах до початку та до кінця лінії?

Екзаменаційні питання

1.Первинні параметри та заступна схема однорідної лінії.

2.Диференціальні рівняння однорідної лінії.

3.Рівняння однорідної лінії в комплексній формі та їх загальне розв’я- зання. Вторинні параметри лінії.

278

4.Рівняння синусоїдного процесу в однорідній лінії. Лінія як чотириполюсник.

5.Біжучі хвилі в лінії.

6.Коефіцієнти відбиття хвиль напруги та струму в лінії. Багаторазове відбиття хвиль у лінії.

7.Явище відбиття електромагнітної хвилі від навантаження в кінці лінії. Однорідна лінія в режимі узгодженого навантаження.

8.Лінія без спотворень, її параметри.

9.Лінія без втрат. Вхідний опір лінії без втрат у режимі короткого замикання та неробочого режиму.

10.Стоячі хвилі в лінії.

11.Вхідний опір лінії без втрат у режимі короткого замикання та неробочого режиму.

12.Виникнення перехідних процесів у колах з розподіленими параметрами.

13.Визначення рівняння падаючої хвилі напруги та струму в лінії у разі її вмикання до джерела.

14.Визначення виразу відбитих хвиль напруги та струму в лінії за допомогою заступної схеми.

15.Поширення електромагнітної хвилі через коло зі зосередженими параметрами, увімкненого на стику двох ліній.

16.Розрахунок перехідних процесів під час перемикань у довгих лініях.

Завдання для самостійної роботи

Задача 8.1. Визначити вторинні параметри лінії, якщо вхідні опори в режимах короткого замикання та неробочого режиму відпо-

відно дорівнюють: Zk = 351e j22,75 , Z0 = 1070e− j37,18 .

Відповідь: Zc = 612e− j7,22 ; γ = (2,43 + j17,5)10−3 .

Задача 8.2. Визначити вторинні параметри лінії завдовжки l = 200 км, яка працює за частоти f = 800 Гц, а вхідні опори в режимах короткого замикання та неробочого режиму відповідно дорівнюють:

Z	k	= 351e j22,75	, Z	0	= 1070e− j37,18 .
		Відповідь: Zc			= 612e− j7,22	; γ = (2,43 + j17,5)10−3 ;
		R0 = 2,82 Ом/км; L0 = 2,82 Ом/км;
		Задача 8.3. Відомі параметри лінії завдовжки 59 км за частоти
f =		800 Гц: Z0 = 360e− j78Ом ,				Zk	= 900e j63Ом . Визначити первинні
параметри							= 1,94 10−3 Гн/км;
		Відповідь: R0			= 2,84 Ом/км, L
						0
		G = 0,7 10−6			См/км; C = 6, 250 мкФ/км.
		0			0

279

Задача 8.4. Визначити хвильовий опір Zc , коефіцієнт поширення γ , а також параметри L0 , C0 лінії без спотворення завдовжки l = 100 км,

якщо

виміряні

за

частоти

f

= 1600 Гц вхідні опори

у

разі

неробо-

чого

режиму

і короткого

замикання

становлять

Z

= 900e− j40 Ом,

10

Z

= 100e j40 Ом.

1k

Відповідь: Z

c

= 300 Ом; L = 10−8

Гн/км; C

= 11,210−8 мкФ/км;

0

0

γ = β + jα = (2,5 10−8 + j3,3510−8 ) 1/км.

Задача

8.5.

Відомі

параметри

кабельної

лінії

за

частоти

f = 800 Гц: R0 = 22,6 Ом/км,

L = 0,6 10−3 Гн/км;

G

= 0,7 10−6 См/км;

0

0

C0 = 35,510−9 Ф/км. Визначити хвильовий опір і коефіцієнт поширення.

Відповідь:

Zc = 357e− j41,1 Ом; γ = 0,0634e j48,67 = (0,048 + j0,042) 1 км.

280