75 группа 2 вариант / Тепломассообмен / Курс лекций по ТМО

	где R	1	ln	d2	– линейное термическое сопротивление
		2		d1

теплопроводности цилиндрической стенки, (м·К)/Вт.

В общем случае для любого i – го слоя многослойной цилиндрической стенки можно записать формулу для расчета линейного термического сопротивления и линейной плотности теплового потока

R			1	ln	di 1	;	(2.16)
	,i		2 i
					di

q		T1	T2	...... Tn ,	(2.17)
		R ,1	R ,2	R ,n

откуда следует, что перепад температур на каждом слое многослойной цилиндрической стенки прямо пропорционален линейному термическому сопротивлению этого слоя

T1 : T2 : T3 : ... R ,1 : R ,2 : R ,3 : ... (2.18)

§ 2.3.3. Шаровая стенка (стенка сферической формы)

Температурное поле в шаровой стенке при постоянном коэффициенте теплопроводности подчиняется гиперболическому закону (рис. 2.3)

		Tw1		Tw2				1		1
T(r) Tw1													,	(2.19)
			1		1
							r1				r
			r1	r2

где Tw1 и Tw 2 – температуры на границах стенки, °С или К.

Тепловой поток, проходящий через стенку сферической формы, найдем по закону Фурье

41

Q		dT				4 r2						(Tw1						Tw2 ) 4 .										(2.20)
			dr											1					1
															r1				r2
Используя равенство d 2r , формулу (2.20) можно пе-
реписать в виде
Q	(Tw1 Tw2 ) 2																	(Tw1 Tw2 )									,	(2.21)
			1						1
																		1			1		1
				d1					d2
																	2
																			d				d	2
																			1
	1								1
где R ш					1								термическое сопротивление теп-
	2
			d1							d2

лопроводности шаровой стенки, К/Вт.

T
	r1
	r2
			r
	Q
			Q
	Tw1		Tw2
	Tw1		Tw2
0	r1	r2	r

Рис. 2.3. Стационарное температурное поле в шаровой стенке

42

В общем случае для любого i – го слоя многослойной шаровой стенки можно записать формулу для расчета термического сопротивления и теплового потока

		1		1			1
Rш,i										(2.22)
		2						;
			di			di 1
Q	T1			T2			....		Tn ,	(2.23)
	Rш,1			Rш,2					Rш,n

откуда следует, что перепад температур на каждом слое многослойной шаровой стенки прямо пропорционален термическому сопротивлению этого слоя

T1 : T2 : T3 : ....

Rш,1 : Rш,2 : Rш,3 : ...

(2.24)

Термическое сопротивление n – слойной шаровой стенки равно сумме термических сопротивлений всех слоев

	n	1		1		1
	R ш							(2.25)
		2 i					.
	i 1		di			di 1

§2.4. Расчет теплопередачи

§2.4.1. Теплопередача через плоскую стенку

Схема теплопередачи через плоскую стенку показана на рис. 2.4. Расчет плотности теплового потока через плоскую стенку выполняют по формулам

q		Tf 1		Tf 2					k (T	T	)	Tf 1 Tf 2	,	2.26)
		1					1		f 1	f 2		R t
		1				2

43

где Tf 1 и Tf 2	– температуры горячего и холодного флюидов,
оС (К); ,		– коэффициенты теплоотдачи от горячего
1		2
флюида к стенке и от стенки				к холодному		флюиду,
Вт/(м2·К); – толщина стенки, м;				– коэффициент тепло-
проводности стенки, Вт/(м·К); k –				коэффициент теплопере-
дачи через плоскую стенку, Вт/(м2·К); R t					– термическое со-
противление		теплопередачи через			плоскую	стенку,
(м2·К)/Вт.
T				Q
		T f 1			2
			T w1
				T w2
					T f 2
		1
0		1	2		3	x
		f 1 - w1	w1- w2		w2 - f 2

Рис. 2.4. Теплопередача через плоскую стенку

Из анализа формулы (2.26) следует, что коэффициент теплопередачи и термическое сопротивление рассчитывают по формулам

	k	1			1		;	(2.27)
		R	t		1 1	2
					1

44

R			1				1	.	(2.28)
	t
			1				2
Термическое							сопротивление		теплопередачи через

плоскую стенку равно сумме термического сопротивления

теплоотдачи		от горячего флюида к стенке (Rt,1 1 1) ,
термического		сопротивления	теплопроводности плоской
стенки	(Rt,2 ) и термического сопротивления тепло-
отдачи	от	стенки к	холодному теплоносителю

(Rt,3 1 2 ) .

Замечание. При решении задач по расчету теплопередачи через плоскую стенку термические сопротивления теплоотдачи первого и третьего участков теплообмена иногда обозначают как R t, 1 и R t, 2 соответственно, а терми-

ческое сопротивление теплопроводности – R t, .

Прежде чем перейти к определению температурного поля при теплопередаче через плоскую стенку, еще раз подчеркнем, что тепловой поток не изменяется в процессе теплопередачи. Поэтому

q	T1		T2		T3 const ,	(2.29)
	Rt,1		Rt,2		Rt,3
где T1 Tf ,1 Tw,1				– перепад температур на первом участ-
					ке теплопередачи – на участке тепло-
					отдачи от горячего флюида к стенке;

T2 Tw,1 Tw,2 – перепад температур на втором участ-

ке теплопередачи – на участке теплопроводности;

T3 Tw,2 Tf ,2 – перепад температур на третьем участке теплопередачи – на участке тепло-

45

отдачи от стенки к холодному флюиду.

Из уравнения (2.29) по свойству пропорции следует,

что

T1 : T2 : T3 Rt,1 : Rt,2 : Rt,3 ,

(2.30)

т.е. перепад температур, на любом участке теплопередачи прямо пропорционален термическому сопротивлению данного участка.

Пусть по условию задачи известны температуры обоих флюидов, а определяемыми величинами являются температуры стенок Tw,1 и Tw,2 . Для расчета неизвестной темпе-

ратуры выберем участок теплообмена таким образом, чтобы на одной его границе была известная температура, а на другой – искомая. Например, температуру Tw1 можно

найти двумя способами, поскольку по условию задачи заданы две температуры:

а) на участке f1 w1

q

Tf ,1 Tw,1

T

T

q R

;

(2.31)

t,1

Rt,1

w,1

f ,1

б) на участке w1 f2

q

Tw,1 Tf ,2

T

T

q (R

R

) .

(2.32)

t,2

t,3

Rt,2 Rt,3

w,1

f ,2

Естественно, что результаты числового расчета температуры Tw,1 по обеим формулам совпадают.

Для расчета температуры Tw,2 можно воспользоваться

уже тремя вариантами формулы расчета теплопередачи, поскольку в данном случае мы знаем уже три температуры

46

Tf ,1, Tw,1 и Tf ,2 . Например, принимая в качестве известной температуры температуру горячего флюида Tf ,1 , получим

q	Tf ,1 Tw,2	T	T	q (R		R		) .	(2.33)
					t,1		t,2
	Rt,1 Rt,2	w,2	f ,1

Для стенки, состоящей из n слоев, формула расчета теплопередачи через плоскую стенку имеет вид

q			Tf ,1 Tf ,2			,	(2.34)
			i		1 2
1 1
			n
			i 1 i
где i и i		– толщина и коэффициент теплопроводности
i – го слоя стенки.

§2.4.2. Теплопередача через цилиндрическую стенку

Врасчетах теплопередачи через стенку цилиндрической формы удобно использовать тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки – линейную плотность теплового потока

q Q / ,

(2.35)

где Q – тепловой поток, Вт; – длина цилиндрической стенки, м.

Схема теплопередачи через цилиндрическую стенку приведена на рис.2.5.

Расчет линейной плотности теплового потока через цилиндрическую стенку выполняют по формуле

47

q

(Tf ,1 Tf ,2 )

1

1

ln

d2

1

2

d2

1 d1

2

d1

(2.36)

k

(T

T

)

(Tf ,1 Tf ,2 )

,

f ,1

f ,2

R

где Tf ,1

и Tf ,2

– температура горячего и холодного флюидов,

оС (К); ,

2

–

коэффициенты теплоотдачи от горячего

1

флюида

к

стенке

и

от

стенки

к холодному

флюиду,

Вт/(м2·К);

d1 и d2

– внутренний и наружный диаметры

цилиндрической

стенки, м;

–

коэффициент

теплопроводности стенки, Вт/(м·К); k

–

линейный

коэффициент

теплопередачи

через

цилиндрическую

стенку, Вт/(м·К);

R

–

линейное

термическое

сопротивление

теплопередачи

через

стенку

цилиндрической формы, (м·К)/Вт.

T

Q

Tf 1

2

T w1

1

T w2

Tf 2

0

r

d

1

d 2

Рис.2.5. Теплопередача через цилиндрическую стенку

48

Из анализа формулы (2.36) следует, что k и R рассчитывают по формулам

k											1												;	(2.37)
			1					1		ln		d2							1
			d					2				d						2	d	2
			1		1						1
R					1			1			ln		d2						1				.	(2.38)
				1 d1					2				d1
																	2 d2

Линейное термическое сопротивление теплопередачи равно сумме линейного термического сопротивления теплоотдачи от горячего флюида к стенке

(R ,1	1 ( 1 d1) ), линейного термического сопротивления
теплопроводности		цилиндрической	стенки
(R ,2	1 (2 ) ln(d2 / d1))	и линейного	термического

сопротивления теплоотдачи от стенки к холодному теплоносителю (R ,3 1( 2 d2 ) ).

Замечание. При решении задач по расчету теплопередачи через цилиндрическую стенку термические сопротивления теплоотдачи первого и третьего участков теплообмена иногда обозначают как R , 1 и R , 2 соответственно,

а термическое сопротивление теплопроводности – R , .

Линейное термическое сопротивление для цилиндрической стенки, состоящей из n слоев разной толщины и с разными физическими свойствами, рассчитывают по формуле

	1		n	1			di 1					1
R						ln								,	(2.39)
	d			2								d
			i 1		i		d	i			2		n 1
	1	1

49

где i – коэффициент теплопроводности i-го слоя, Вт/(м·К); di и di 1 – внутренний и наружный диаметры

i–го слоя цилиндрической стенки, м.

При теплопередаче через цилиндрическую стенку перепады температур на участках теплообмена прямо пропорциональны линейным термическим сопротивлениям этих участков

T1 : T2 : T3 R ,1 : R ,2 : R ,3 .

(2.40)

Пусть по условию задачи известны температуры обоих флюидов, а определяемыми величинами являются температуры стенок Tw,1 и Tw,2 . Для расчета неизвестной тем-

пературы выберем участок теплообмена таким образом, чтобы на одной его границе была известная температура, а на другой – искомая. Например, если для расчета температуры Tw,1 использовать температуру горячего флюида Tf ,1 ,

а для расчета температуры

Tw,2 – температуру холодного

флюида Tf ,2 , то получим

q

(Tf ,1 Tw,1)

T

T

q

R ,1

;

(2.41)

R ,1

w,1

f ,1

q

(Tw,2 Tf ,2 )

T

T

q

R ,3

.

(2.42)

R ,3

w,2

f ,2

§ 2.4.3. Теплопередача через шаровую стенку

Схема теплопередачи через шаровую стенку приведена на рис. 2.6. Расчет теплового потока через шаровую стенку выполняют по формуле

50