КП

namespace ConsoleApp2

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

do

{

try

{

Console.WriteLine("Введите размер матрицы:"); int n = int.Parse(Console.ReadLine()); double[,] a = new double[n, n];

double[] b = new double[n];

double[] x = new double[n]; //нулевые приближения for (int i = 0; i < n; i++)

{

x[i] = 0;

}

for (int i = 0; i < n; i++) //ввод матрицы

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

Console.WriteLine("Введите элемент [" + (i + 1) + "," + (j + 1) + "]:"); a[i, j] = double.Parse(Console.ReadLine());

}

}

for (int j = 0; j < n; j++) //ввод значений b

{

Console.WriteLine("Введите элемент [" + (j + 1) + "]:"); b[j] = double.Parse(Console.ReadLine());

}

Zeidel test = new Zeidel(a, b, 500, n, x); bool IsDiagonal = test.DiagonallyDominant(); test.algoritm();

for (int j = 0; j < n; j++)

{

Console.WriteLine("X" + (j + 1) + " = " + test.roots[j]);

}

Console.WriteLine("Итерация: " + test.k + "Для выхода esc, продолжение enter");

}

catch (Exception ex)

{

Console.WriteLine(ex.ToString());

}

} while (Console.ReadKey().Key != ConsoleKey.Escape);

}

}

public class Zeidel

{

public static double epsilon = 0.000001; //точность вычисления

public int n, k, N; //N -допустимое число итераций, n - размерность квадратной матрицы коэффицентов, k-количество итераций

public double s, Xi, diff = 1; //s - сумма, величина погрешности public double[,] matrix; //матрица коэффицентов

public double[] value; //матрица значений public double[] roots; //матрица корней public bool diagonal;

public Zeidel(double[,] matrix, double[] value, int N, int n, double[] roots)

{

this.matrix = matrix; this.N = N; this.value = value; this.n = n; this.roots = roots;

}

public bool DiagonallyDominant()

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

double sum = 0;

for (int j = 0; j < n; j++)

{

if (i != j)

{

sum += Math.Abs(matrix[i, j]);

}

}

if (Math.Abs(matrix[i, i]) >= sum)

{

diagonal = true; break;

}

else

{

diagonal = false;

}

}

return diagonal;

}

public void algoritm()

{

k = 0;

while ((k <= N) && (diff >= epsilon))

{

k = k + 1;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

s = 0;

for (int j = 0; j < n; j++)

{

if (i != j)

{

s += matrix[i, j] * roots[j];

}

}

Xi = (value[i] - s) / matrix[i, i]; diff = Math.Abs(Xi - roots[i]); roots[i] = Xi;

}

}

}

}

}

Задание 3.

F(x)= ex-4x3 ε = 0.0001

Метод половинного деления (метод дихотомии).

Число шагов, необходимых для достижения заданной точности определяется неравенством:

Поскольку F(0.8) *F(0.9) <0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0.8; 0.9].

N=1.

c = (0.8 + 0.9) /2 = 0.85 F(x) = -0.117

F(c) = 0.178

Поскольку F(c)•F(a) <0, то b=0.85

N=2.

c = (0.8 + 0.85) /2 = 0.825 F(x) = 0.0358

F(c) = -0.117

Поскольку F(c)•F(b) <0, то a=0.825

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	ε
1	0.85	0.85	0.9	0.1775	-0.1169	0.05
2	0.825	0.825	0.85	-0.1169	0.03582	0.025
3	0.8375	0.8375	0.85	0.03582	-0.03913	0.0125
4	0.8313	0.8313	0.8375	-0.03913	-0.00131	0.00625
5	0.8281	0.8281	0.8313	-0.00131	0.01734	0.00313
6	0.8297	0.8297	0.8313	0.01734	0.00804	0.00156
7	0.8305	0.8305	0.8313	0.00804	0.00337	0.000781
8	0.8309	0.8309	0.8313	0.00337	0.00103	0.000391
9	0.8311	0.8311	0.8313	0.00103	-0.000139	0.000195

Таким образом, в качестве корня можно принять: x=(0.8309+0.8311) /2 = 0.831

Ответ: x = 0.831; F(x) = -0.000139.

Метод хорд.

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a, b], в предположении, что f(a)f(b) <0.

Вточке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:

1.f(x1) f(b) <0,

2.f(x1) f(a) <0.

Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим:

Продолжая

этот

процесс,

получим

для

n-го

приближения:

Пусть f(xi)f(a) <0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1) f(a) <0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим:

Остановка процесса:

|xn – xn-1| <ε, ξ = xn.

Находим первую производную: dF/dx = -12•x2+ex

Находим вторую производную: d2F/dx2 = -24•x+ex

Поскольку F(0.8) *F(0.9) <0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0.8; 0.9].

Вычисляем значения функций в точке a = 0.8 f(0.8) = 0.178

f''(0.8) = -16.974

Поскольку f(a)•f''(a) <0, то x0 = b = 0.9

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x) /(f(b)-f(x))
1	0.8	0.1775	-0.02801
2	0.828	0.01805	-0.00274
3	0.8307	0.00172	-0.00026
4	0.831	0.000163	-0.000139

Ответ: x = 0.831; F(x) = -0.000139.

Метод Ньютона.

Поскольку F(0.8) *F(0.9) <0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0.8; 0.9].

Вычисляем значения функций в точке a = 0.8 f(0.8) = 0.178

f''(0.8) = -16.974

Критерий остановки итераций.

|f(xk)| <εm1

или

где M2 = max|f "(x)|, m1 = min|f'(x)|.

Поскольку f(a)•f''(a) < 0, то x0 = b = 0.9

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f'(x)
1	0.9	-0.4564	-7.2604	0.06286
2	0.8371	-0.03692	-6.0999	0.00605
3	0.8311	-0.000325	-5.9926	5.4E-5

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная с коэффициентом

α = M2/2m1, где M2 = max|f "(x)|, m1 = min|f'(x)|.

Ответ: x = 0.8311 - (-0.000325) / (-5.9926) = 0.83103146; F(x) = 0

Комбинированный метод.

Поскольку F(0.8) *F(0.9) <0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0.8; 0.9].

Вычисляем значения функций в точке a = 0.8 f(0.8) = 0.178

f''(0.8) = -16.974

Поскольку f(a)•f''(a) <0, то x0 = b = 0.9

Остальные расчеты сведем в таблицу.

	N	x	F(x)	b	F(b)	h = f(b)*(b-x) /(f(b)-	hb =
						f(x))	f(b)/f'(b)
	1	0.8	0.1775	0.9	-0.4564	-0.02801	0.06286
	2	0.828	0.01805	0.8371	-0.03692	-0.003	0.00605
	3	0.831	0.000163	0.8311	-0.000325	-2.7E-5	5.4E-5

Ответ: x = 0.83100433; F(x) = 0.000163.

Задание 4.

+ 0,1 2 = 0,1
1									2
{ 10 2
					1	−			= 2,1
21							2
0 = 0							= 0,01
1					2
( ) = + 0,1 2													− 0,1
							1		2
						10 2
( ) =							1		− − 2,1
							21		2
		1			= 1					1		= 0,2
1									2
	2				=		20				1		= −1
{							21
1									1
′( (0)) = (									1				0,002)
							0,0095						−1

(0,01;0,01) = 0,01+ 0,1 (0,01)2 − 0,1 = −0,0899

(0,01;0,01) =				10 (0,01)2			− 0,01− 2,1 = −2,109
					21
L=1
δ=-0,0899
= [0,999		0,002			]
0,009		−0,999
0,999+	0,002		= 1,001
{0,009+	0,999		= 1,008

M=1,008 1,008*1*0,0899*22=0,36247

Т. к 0,36247 < 12, то метод Ньютона сходится.

Задание 5.
									i			0						1										2						3
									xi			2,6						3,6										5,6						7,1
									yi			68,66						56,55										-51,6						80,65
( ) = 0					( − 1)( − 2)( − 3)																					( − 0)( − 2)( − 3)
																				+ 1																				+
					( −		)( −					)( −						)						( − )( −											)( − )
				0		1	0			2		0		3											1			0				1		2	1			3
+ 2		( − 0)( − 1)( − 3)												+ 3						( − 0)( − 1)( − 2)																		=
	( − )( − )( − )																		( − )( − )( − )
2				0		2	1			2		3						3							0			3				1		3	2
					( − 3,6)( − 5,6)( − 7,1)																									( − 2,6)( − 5,6)( − 7,1)
= 68,66																						+ 56,55
				(2,6 − 3,6)(2,6− 5,6)(2,6− 7,1)																										(3,6− 2,6)(3,6− 5,6)(3,6 − 7,1)
				( − 2,6)( − 3,6)( − 7,1)																										( − 2,6)( − 3,6)( − 5,6)
− 51,6																					+ 80,65																					=
			(5,6− 2,6)(5,6− 3,6)(5,6 − 7,1)																										(7,1− 2,6)(7,1 − 3,6)(7,1 − 5,6)
= 68,66				( − 3,6)( − 5,6)( − 7,1)												+ 56,55									( − 2,6)( − 5,6)( − 7,1)
																																		7
							−13,5
− 51,6			( − 2,6)( − 3,6)( − 7,1)												+ 80,65								( − 2,6)( − 3,6)( − 5,6)
																												23,625
							−9
= 12,14 3 − 65,904 2 + 334,32 + 2244,142
( ) = 12,14 3 − 65,904 2												+ 334,32 + 2244,142
	x=68,26
( ) = 12,14 68,263 − 65,904 68,262 + 334,32 68,26 + 2244,142
= 3579147.598
									i			0						1										2						3
									xi			6,1						10,3										14,5						18,7
									yi			87,12						104,95										133,98						149,19
10 =		104,95− 87,12							= 4,25 11 =									133,98− 104,95														= 6,91
																					14,5 − 10,3
				10,3 − 6,1

12	=	149,19− 133,98			= 3,62
		18,7 − 14,5
20	=	6,91 − 4,25	= 0,317 21 =			3,62	− 6,91		= −0,392
						18,7	− 10,3
		14,5 − 6,1
30	=	−0,392− 0,317			= −0,056
		18,7− 6,1

( ) = 0 + 10( − 0) + 20( − 0)( − 1)+ 30( − 0)( − 1)( − 2)( ) = 87,12 + 4,25( − 6,1)+ 0,317( − 6,1)( − 10,3) − 0,056( − 6,1)( − 10,3)( − 14,5) = −0,056 3 + 2,047 2 − 17,784 + 30,094

x=99,28

( ) = −0,056 99,283 + 2,047 99,282 − 17,784 99,28+ 30,094 = −36358.297

Графики полинома Лагранжа и функции,
	заданной таблично
6000			100
5000			50
4000
3000			0
2000			-50
1000
0			-100
1	2	3	4
	Lx	yi

Графики полинома Ньютона и функции,
	заданной таблично
160			60
140			50
120			40
100			30
80			20
60			10
40			0
20			-10
0			-20
1	2	3	4
	yi	Px
Задание 6.

Табличная зависимость y=F(x)

x	0,1	0,3	0,4	0,6	0,7	0,9
y	-0,1	0,5	0,8	0,7	2,5	2,1

n=6

( ) = 0 + 0 + 0 2 + 0 3

6

(	,		,		) = ∑( ( ,			,	,			)− )2
0	1		2				0	1		2
					=1
					6			6						6			6
( + 1) + ∑ + ∑											2		2	+ ∑ 3		= ∑
					0		1										3
					=1		=1							=1			=1
6					6		6							6			6
∑				0	+ ∑	2	+ ∑			3	+ ∑				4	3	= ∑
							1					2
=1					=1		=1							=1			=1
6					6		6							6			6
∑		2		0	+ ∑	3	+ ∑			4	+ ∑				5	3	= ∑		2
							1					2
=1					=1		=1							=1			=1
6					6		6							6			6
∑		3		0	+ ∑	4	+ ∑			5	+ ∑				6	3	= ∑		3
{ =1							1					2
					=1		=1							=1			=1
6					6			6							6
∑ = 3					∑ 2	= 1,92		∑			3 = 1,38 ∑ = 6,5
=1					=1			=1							=1
6						6								6				6
∑	4	= 1,0596 ∑ = 4,52											∑ 5		= 0,849			∑ 2			= 3,35
=1					=1								=1					=1
6							6
∑	6	= 0,700572					∑ 3			= 2,6042
=1							=1

		7 0 + 3 1 + 1,923 2 + 1,38 3 = 6,5
	{	3 0 + 1,92 1 + 1,38 2 + 1,0596 3 = 4,52
		1,92 0 + 1,38 1 + 1,0596 2 + 0,849 3 = 3,35

1,38 0 + 1,0596 1 + 0,849 2 + 0,700572 3 = 2,6042

0 = −0,0028061 = −1,3397702 = 10,5205133 = −7,000312

( ) = −0,002806 − 1,339770 + 10,520513 2 − 3,869 3

Задание 7.

∫10 = 1

1 − 0= 10 = 0,1