Уравнение двухъемкостного объекта
Некоторые объекты удовлетворительно аппроксимируются двухъемкостным статическим звеном с запаздыванием.
Аппроксимированный объект выражается линейным дифференциальным уравнением второй степени с постоянными коэффициентами
(1.6)
В этих уравнения Т1 и Т2 – постоянные времени.
Коэффициент передачи объекта
(1.7)
где μ– относительная величина возмущающего воздействия.
Для построения кривой разгона нужно решить уравнение (1.6), при этом получим
(1.8)
Для двухъемкостного объекта кривая разгона, построенная опытным путем, имеет S-образный вид с точкой перегиба, характеризующей наибольшую скорость изменения параметра (см. рис. 1.1, в). В точке перегиба А, характеризующей наибольшую скорость изменения параметра (dφ/dt = макс), проводится касательная ВС.
Продифференцировав дважды уравнение (1.8) и приравняв полученное уравнение к нулю, найдем абсциссу точки перегиба
(1.9)
Уравнение (3.9) позволяет проверить правильность выбора точки перегиба А.
Проекция касательной ВС на ось абсцисс характеризует условную постоянную времени (объект как бы аппроксимируется одноемкостным статическим звеном), а отрезок DC определяет сумму постоянных времени отдельных емкостей Т1 + Т2.
Переходное запаздывание (отрезок τп) обусловлено наличием сопротивления между отдельными емкостями объекта. Общее запаздывание
τ = τ0 + τп.
Для построения кривой разгона согласно выражениям (1.3) или (1.8) времени t придают ряд последовательных значений и, пользуясь таблицей показательных функций y = e-x (см. табл. 3.1), находят значенияφ. Расчеты проводят для отрезка времени t ≈ 3T.
Таблица 3.1
Таблица значений показательной функции
|
X |
У |
X |
|
У |
X |
У |
X |
У |
|
0,00 |
1,000 |
1,15 |
0,315 |
3,10 |
0,045 |
5,40 |
0,0045 | |
|
0,05 |
0,951 |
1,20 |
0,301 |
3,20 |
0,041 |
5,50 |
0,0041 | |
|
0,10 |
0,905 |
1,25 |
0,286 |
3,30 |
0,037 |
5,60 |
0,0037 | |
|
0,15 |
0,861 |
1,30 |
0,272 |
3,40 |
0,033 |
5,70 |
0,0033 | |
|
0,20 |
0,819 |
1,35 |
0,259 |
3,50 |
0,030 |
5,80 |
0,0030 | |
|
0,25 |
0,779 |
1,40 |
0,247 |
3,60 |
0,027 |
5,90 |
0,0027 | |
|
0,30 |
0,741 |
1,45 |
0,234 |
3,70 |
0,025 |
6,00 |
0,0025 | |
|
0,35 |
0,705 |
1,50 |
0,223 |
3,80 |
0;022 |
6,10 |
0,0022 | |
|
0,40 |
0,670 |
1,60 |
0,202 |
3,90 |
0,020 |
6,20 |
0,0020 | |
|
0,45 |
0,637 |
1,70 |
0,183 |
4,00 |
0,018 |
6,30 |
0,0019 | |
|
0,50 |
0,606 |
1,80 |
0,165 |
4,10 |
0,016 |
6,40 |
0,0017 | |
|
0,55 |
0,577". |
1,90 |
0,149 |
4,20 |
0,015 |
6,50 |
0,0015 | |
|
0,60 |
0,549 |
2,00 |
0,135 |
4,30 |
0,014 |
6,60 |
0,0014 | |
|
0,65 |
0,522 |
2,10 |
0,122 |
4,40 |
0,012 |
6,70 |
0,0012 | |
|
0,70 |
0,496 |
2,20 |
0,110 |
4,50 |
0,011 |
6,80 |
0,0011 | |
|
0,75 |
0,472 |
2,30 |
0,100 |
4,60 ' |
0,010 |
6,90 |
0,0010 | |
|
0,80 |
0,449 |
2,40 |
0,091 |
4,70 |
0,009 |
7,00 |
0,0009 | |
|
0,85 |
0,427 |
2,50 |
0,082 |
4,80 |
0,008 |
|
| |
|
0,90 |
0,406 |
2,60 |
0,074 |
4,90 |
0,007 |
|
| |
|
0,95 |
0,387 |
2,70 |
0,067 |
5,00 |
0,0067 |
|
| |
|
1,00 |
0,368 |
2,80 |
0,061 |
5,10 |
0,0061 |
|
| |
|
1,05 |
0,350 |
2,90 |
0,055 |
5,20 |
0,0055 |
|
| |
|
1,10 |
0,333 |
3,00 |
0,049 |
5,30 |
0,0050 |
|
| |