теория вероятности / лаба

Лабораторная №1

Изучение распределения Гаусса. Определение основных параметров распределения

Цель работы: в настоящей работе изучается экспериментальное распределение значений непрерывной случайной величины. В качестве исследуемой случайной величины будут использованы значения длины хвоинок сосны.

Ход работы

1. Заносим результаты измерений длины хвоинок (в мм) в таблицу, составляющую статистический ряд:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	68	61	63	55	72	79	82	77	61	54	51	70	69	88	62	72	57	56	64	66

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
	52	71	67	65	81	73	75	84	67	58	77	79	63	56	80	71	68	65	76	73

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
	86	74	62	58	77	75	69	87	68	73	71	64	66	69	78	72	85	55	70	68

	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
	59	71	87	63	72	68	75	79	70	61	65	67	62	71	88	78	71	68	70	74

	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
	55	71	64	75	70	77	59	68	81	72	63	74	76	68	85	71	73	67	81	76

2. Формируем упорядоченный статистический ряд

Находим размах выборки:

Разобьем на равных интервалов шириной:

Наметим границы интервалов группировки. Верхние пределы каждого из интервалов вычисляем по формуле:

Распределяем варианты выборки по интервалам группировки (находим частоты интервалов ), вычисляем статистические вероятности (как отношение частоты к объему выборки ) и среднее арифметическое для каждого интервала по формуле:

Заполняем таблицу:

1	51	55,625	6	0,06	53,67	3,22	16
2	55,625	60,25	7	0,07	57,57	4,03	10,82
3	60,25	64,875	13	0,13	62,54	8,13	7,23
4	64,875	69,5	20	0,2	67,3	13,46	1,46
5	69,5	74,125	25	0,25	71,68	17,92	0,71
6	74,125	78,75	13	0,13	76,31	9,92	5,18
7	78,75	83,375	8	0,08	80,25	6,42	8,41
8	83,375	88	8	0,08	86,25	6,9	21,13

3. Вычисляем математическое ожидание длины хвоинки по формуле:

4. Вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

5. Для каждого интервала вычисляем параметры:

Определяем значение функции Лапласа для соответствующих значений и находим теоретические вероятности попадания случайной величины в заданный интервал по формуле

1	-1,71	0,0436	-2,26	0,0119	0,0317
2	-1,16	0,123	-1,71	0,0436	0,0794
3	-0,61	0,2709	-1,16	0,123	0,1479
4	-0,06	0,4761	-0,61	0,2709	0,2052
5	0,49	0,6879	-0,06	0,4761	0,2118
6	1,04	0,8508	0,49	0,6879	0,1629
7	1,59	0,9441	1,04	0,8508	0,0933
8	2,14	0,9838	1,59	0,9441	0,0397

6. Строим на одном графике экспериментальные и теоретические вероятности попадания значений исследуемой величины в соответствующие интервалы:

7. Сравним экспериментальное и теоретическое распределение по критерию Пирсона

Вычислим статистический критерий по формуле:

Для чего вычислим теоретические частоты по формуле:

Сведем данные в таблицу:

1	51	55,625	6	3,17	2,53
2	55,625	60,25	7	7,94	0,11
3	60,25	64,875	13	14,79	0,22
4	64,875	69,5	20	20,52	0,01
5	69,5	74,125	25	21,18	0,69
6	74,125	78,75	13	16,29	0,66
7	78,75	83,375	8	9,33	0,19
8	83,375	88	8	3,97	4,09
						8,5

Эмпирическое значение критерия равно H*=8,50

При уровне значимости α = 0,05 критическая точка равна квантили порядка (1- α)=0,95 распределения с степенями свободы. По таблице находим . В силу того, что наблюдаемое значение критерия меньше критического значения, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины, т.е. с вероятностью 0,95 можно утверждать, что длина хвоинок распределена по нормальному закону.

8. Проведем проверку нормальности распределения по критерию асимметрии и эксцессу.

Вычисляем выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса:

Имеем:

1	51	55,625	0,06	53,67	-261,28	4266,74
2	55,625	60,25	0,07	57,57	-134,43	1671,02
3	60,25	64,875	0,13	62,54	-53,97	402,62
4	64,875	69,5	0,2	67,3	-3,94	10,63
5	69,5	74,125	0,25	71,68	1,19	1,99
6	74,125	78,75	0,13	76,31	32,66	206,09
7	78,75	83,375	0,08	80,25	86,15	883,05
8	83,375	88	0,08	86,25	343,28	5578,32

Тогда:

Положительное значение асимметрии свидетельствует о незначительном превалировании значений выше среднего, а отрицательный эксцесс – о плосковершинном распределении относительно нормального распределения.

Вычисляем критические теоретические значения асимметрии и эксцесса:

Поскольку и , нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении длины хвоинок.