теория вероятности / Билет статистика

Задание 2. В американском городке население состоит из 25% афроамериканцев, 40% итальянцев и 35% других этнических групп. В полиции служат 40 человек, среди них 3 афроамериканца и 21 итальянец – остальные других этнических групп. Рассчитать наблюдаемые и ожидаемые частоты проверить, пользуясь критерием Пирсона, соответствует ли состав полиции пропорциональному представительству в ней всех групп населения?

Решение.

Определим ожидаемые частоты:

Наблюдаемые частоты:

Вычислим статистику χ²:

По таблице χ²-распределения находим: χ²_крит(0,05;1) = 3,84

Критическая область имеет вид χ² > χ²_крит. Так как вычисленное значение хи-квадрат попадает в критическую область, то гипотеза о том, что состав полиции соответствует пропорциональному представительству в ней всех групп населения отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Задание 3. Получены следующие данные при изучении между весом и объемом грудной клетки у новорожденных:

Вес, кг	Объем грудной клетки, см
2,75	29,5
2,15	26,3
4,41	32,2
5,52	36,5
3,21	27,2

Установить, есть ли связь между этими параметрами, используя параметрический коэффициент корреляции. Можно ли здесь написать уравнение регрессии?

Решение.

Построим расчетную таблицу.

№	Вес, кг, х	Объем грудной клетки, см, у	х^2	ху	у^2
1	2,75	29,5	7,5625	81,125	870,25
2	2,15	26,3	4,6225	56,545	691,69
3	4,41	32,2	19,4481	142,002	1036,84
4	5,52	36,5	30,4704	201,48	1332,25
5	3,21	27,2	10,3041	87,312	739,84
Сумма	18,04	151,7	72,4076	568,464	4670,87
Среднее	3,608	30,34	14,48152	113,6928	934,174

Линейный коэффициент корреляции .

Выдвигаем гипотезы:

H₀: r_xy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;

H₁: r_xy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H₁ ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=3 находим t_крит: t_крит = 3,182

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку |t_набл| > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. 

Написать уравнение регрессии в данном случае можно.

Задание 4. При изучении зависимости двух величин получены следующие данные:

№	Х	Y
1	200	110
2	210	109
3	230	132
4	250	140
5	260	160
6	300	155

По критерию ранговой корреляции проверить для , достоверна ли эта зависимость.

Решение.

Присвоим ранги признаку Y и фактору X.

ранг X, dx	ранг Y, dy	(dx - dy)^2
1	2	1
2	1	1
3	3	0
4	4	0
5	6	1
6	5	1

Коэффициент Спирмена .

По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0,05/2;4) = 2,776

Поскольку < p, то то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь значимая.

Задание 5. Проверить достоверность среднего для величин 42,54,48 .

Решение.

Средняя ошибка средней .

Задание 6. Используя табличные результаты исследований:

ДО/ПОСЛЕ	1	0
1	19	15
0	21	27

по критерию Мак-Немара проверить гипотезу об отсутствии различий между показателями ДО и ПОСЛЕ на выбранном уровне значимости р=0,01 (1%).

Решение.

Наблюдаемое значение критерия

А критическое значение, рассчитанное по заданному уровню значимости равно 6,635.

Поскольку рассчитанное значение критерия меньше критического табличного, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии различий между показателями ДО и ПОСЛЕ на выбранном уровне значимости.

Задание 7. Используя критерий хи-квадрат проверить эффективность действия нового лекарства.

	Наступило улучшение	Не наступило
Принимали	126	53
Не принимали	201	185

Решение.

Рассчитаем теоретические частоты по формуле: для каждой клетки таблицы.

Вычислим статистику χ²:

По таблице χ²-распределения находим: χ²_крит(0,05;1) = 3,84, где v = (r-1)(s-1) = (2-1)(2-1) = 1 - число степеней свободы.

Критическая область имеет вид χ² > χ²_крит. Так как вычисленное значение хи-квадрат попадает в критическую область, то гипотеза о независимости отвергается с вероятностью ошибки 0,05.