Теоретические основы электротехники-3

+ C2, приведенным в § 24.12,

Глава 25. Расчет электрической емкости

91

25.3. Потенциальные коэффициенты в системе параллельных весьма длинных проводов

В виде примера, весьма важного для практики, рассмотрим систему проводов, протянутых параллельно друг другу над поверхностью земли (рис. 25.9). Длину проводов будем предполагать столь большой, что поле можно считать плоскопараллельным. Обычно диаметры проводов весьма малы по сравнению с расстоянием между их осями и с высотой их подвеса. В таком случае проще всего определяются потенциальные коэффициенты . Для определения коэффициентов 11, 21, 31, ..., n1 äî-

статочно принять q1 è q2 q3 ... qn 0. Ïðè ýòîì íè

Ðèñ. 25.9

один провод не должен быть заземлен. Уравнения приобретают вид

U1 11q1; U 2 21q1; ; U k k1q1;

Поле заряженного первого провода будет таким же, как и при одном проводе, протянутом над поверхностью земли (см. рис. 24.27), так как искажением поля вследствие существования других проводов можно пренебречь ввиду малости их сечений. При таком условии коэффициент 11 является величиной, обратной емкости провода по отношению к земле, выражение для которой получено в § 25.1 в предположении отсутствия остальных проводов. Следовательно,

11				1		ln		2h1
				2l				R1
и вообще
			1			ln	2hk		.
	kk		2l
								Rk

Коэффициент 21 нетрудно определить, если заметить, что незаряженные провода ввиду малости их сечений принимают в поле заряженного провода те потенциалы, которые получаются в местах их расположения и при отсутствии

их. Найдем, пользуясь уравнением U − ln r2 2 r1

потенциал на оси второго провода, определяемый зарядами первого провода и его зеркального изображения в поверхности земли. Постоянная C2 в данном слу- чае равна нулю, так как для точек на поверхности земли расстояния r1 è r2 до провода и его зеркального изображения равны между собой и, кроме того, для этих точек U 0.

Замечая, что для точки, лежащей на оси второго провода, необходимо принять r1 r12 è r2 r1 2 (см. рис. 25.9), получаем

U			q1	ln	r1' 2	.
	2		2l
					r12

92 Часть 4. Теория электромагнитного поля

	Следовательно,				1			r1' 2
						ln			.
		21			2l			r12
	Вообще будем иметь
				1		ln	rp' k			.
		kp		2l				rpk

Òàê êàê rp k rpk (ñì. ðèñ. 25.9), òî kp pk, что было отмечено в предыдущем параграфе для общего случая.

Умение рассчитывать потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости весьма важно во многих практи- ческих задачах, например при расчете параметров линии передачи со сложным расположением проводов, при выяснении вопроса о влиянии линии передачи высокого напряжения на расположенные рядом с ней линии связи и т. д.

25.4. Емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли

Полученные в предыдущем параграфе выражения для потенциальных коэффициентов в системе параллельных проводов, протянутых над поверхностью земли, дают возможность найти выражение для емкости двухпроводной линии передачи с учетом влияния земли.

Для двух проводов имеем

U1 11q1 12 q2 ; U 2 21q1 22 q2 .

Пусть заряды проводов равны по абсолютному значению и противоположны по знаку: q2 – q1. Заменяя q2 íà – q1, получаем

U1 ( 11 12 )q1; U 2 ( 21 22 )q1. Следовательно, искомая емкость имеет выражение

C	q1		1	.
	U1 U 2		11 22 2 12

Определим, пользуясь этой формулой, емкость двухпроводной линии, провода которой подвешены на одинаковой высоте h от земли и на расстоянии D друг от друга (рис. 25.10). Радиусы проводов одинаковы и равны R. Ñî-

Ðèñ. 25.10 гласно формулам, полученным в предыдущем параграфе, имеем

					1		2h	;					1		(2h)2 D 2
	11		22			ln			12		21			ln		.
					2l								2l
							R								D

Следовательно,

C

1

l

.

2( 11 12 )

2h

D

ln

R

4h

2

D

2

Глава 25. Расчет электрической емкости

93

Если высота подвеса h много больше расстояния между проводами D, òî 4h 2 D 2 1 2h è

C 1 l , ln D

R

т. е. получаем формулу, выведенную ранее (см. § 25.1) без учета влияния земли.

25.5. Емкость трехфазной линии передачи

Все полученные выше соотношения, строго говоря, справедливы только для электростатического поля. Однако с большой степенью точности они могут быть использованы и при вычислении параметров линий передачи при промышленной частоте. Критерием допустимости приближенного рассмотрения переменного электрического поля около проводов линии в отдельные моменты времени как электростатического поля может служить соотношение между линейными размерами области, в которой рассматривается поле, и длиной электромагнитной волны. Вопрос о длине электромагнитной волны и о скорости v ее распространения будет рассмотрен в §§ 29.1 и 29.2. Имеет место соотношение v/f, ãäå f — частота колебаний. В воздухе v 3 105 км/с, и при частоте 50 Гц имеем6000 км. На длине волны фаза колебаний напряженности поля меняется на 2 . В пределах области, линейные размеры которой значительно меньше , можно считать фазу колебаний напряженности поля одинаковой во всех точках области и с большой степенью точности рассматривать поле в каждый момент времени как электростатическое.

В уравнениях, связывающих заряды и потенциалы, необходимо под q è U понимать в этом случае мгновенные заряды проводов и мгновенные напряжения между проводами и землей. При синусоидальном режиме эти уравнения могут быть написаны в символической форме для комплексных действующих зарядов

q и напряжений U. Для трехпроводной линии уравнения приобретают вид

q1 11U1

12U 2

13U 3 ;

q2

21U1

22U 2

23U 3 ;

q3

31U1

32U 2

33U 3 .

3 образуют симметричную систему,

Предположим, что напряжения U

1, U 2 è U

2

, ãäå a — комплексный множитель (см. ч. II). Имеем

ò. å. U 2

a U1

è U

3 aU1

2

4

a e j

1

j

3

; a2 e j

1

j

3

;

3

3

2

2

2

2

a3 1;

1

a2 ;

1

a.

a2

a

В этом случае уравнения могут быть записаны в форме

94 Часть 4. Теория электромагнитного поля

		2	12				;
q1 ( 11 a					a 13 )U1
q2	( 22	2		23	a			;
		a				21)U 2
q3	( 33	2		31	a
		a				32 )U 3 .

Величины, стоящие в скобках, вещественны при условии, что провода линии расположены симметрично относительно друг друга, т. е. если 12 23 31, òàê êàê (a + a2) – 1 есть вещественное число. При этом стоящие в скобках величи- ны представляют собой емкости проводов относительно земли или, что то же, емкость линии на одну фазу при соединении звездой.

При отсутствии симметрии в расположении проводов, т. е. если 12 23 31, стоящие в скобках величины оказываются комплексными. Их вещественные части являются емкостями проводов относительно земли, так как они определяют часть заряда, изменяющуюся в фазе с напряжением, и, следовательно, определяют реактивную составляющую тока, сдвинутую по фазе на угол /2 относительно напряжения. Мнимые части величин, стоящих в скобках, определяют активные составляющие токов в проводах, находящиеся в фазе или в противофазе с напряжениями. Заметим, что сумма мнимых частей для всех трех фаз равна нулю, так как при суммировании получаем перед всеми коэффициентами >Α,ΑΙ è Ι> вещественные множители (a + a2) – 1. Это значит, что если в одних фазах мнимые части определяют положительную активную мощность, то в других они определяют такую же по абсолютному значению, но отрицательную активную мощность. Физически это означает, что при несимметричном расположении проводов некоторое количество энергии передается за период путем электростатической индукции из одной фазы в другую. Это своеобразное явление обусловливает несимметрию токов при симметричных напряжениях. Естественно, что несимметрия токов определяется не только появлением разных по значению и по знаку активных составляющих, но также и различием реактивных составляющих вследствие того, что емкости проводов различны.

Полная симметрия в расположении проводов может быть достигнута только в кабеле, в котором заземленная оболочка охватывает симметрично все три провода (см. рис. 24.29, á). В воздушной линии даже при расположении проводов по вершинам равностороннего треугольника (рис. 25.11) наличие земли вносит несимметрию. Подавно несимметричной оказывается линия с расположением проводов согласно рис. 25.12.

Ðèñ. 25.11

Ðèñ. 25.12

Ðèñ. 25.13

Глава 25. Расчет электрической емкости

95

Обычно через равные расстояния изменяют расположение проводов на опорах так, что постепенно осуществляется круговая перестановка (транспозиция) проводов (рис. 25.13). Основная цель круговой перестановки — уменьшить электростатическое и электромагнитное влияние проводов линии высокого напряжения и сильного тока на соседние линии связи. При наличии круговой перестановки средние значения параметров всей линии получаются одинаковыми для всех фаз, и всю линию можно рассматривать как симметричную. В среднем для всей линии не будет иметь места передача энергии за целый период из одной фазы в другую путем электростатической индукции.

С достаточной для практики точностью решение можно получить, вводя в

систему уравнений

		11 q1 12 q2 13 q3 ;
U	1
		21 q1 22 q2	23 q3 ;
U	2
		31 q1 32 q2	33 q3
U	3

средние для всей линии значения потенциальных коэффициентов .

Обозначим
			12 23 13	;				11 22 33	,
	m	3				0	3

ãäå 12, 23, 31, 11, 22, 33 — истинные значения коэффициентов для одного из участков, и будем считать в дальнейшем, что для всей линии все коэффициентыс разными индексами равны m и все коэффициенты с одинаковыми индексами равны 0.

Естественно, что в симметричной линии при симметричной системе напря-

жений и заряды q

, q

, q

образуют также симметричную систему, т. е. q

a2 q

,

q3 aq1.

1

2

3

2

1

Уравнения в этом случае приобретают вид

0 q1

m q2 m q3

[ 0

(a a

2

) m ]q1 ( 0 m )q1;

U1

m q1

0 q2 m q3

( 0

m )q2 ;

U 2

m q1

m q2 0 q3

( 0

m )q3 .

U 3

Следовательно, искомая емкость провода относительно земли равна

C

1

.

0

m

Согласно формулам, приведенным в § 25.3, имеем

0

1

1

2h

ln

2h

2

ln

2h

3

ln

1

;

2l 3

R

R

R

2

3

1

1

1

r

ln

r

ln

r

ln

12'

23'

31'

.

m

2l

3

r

r

r

12

23

31

Глава 25.

Расчет электрической емкости 96

Таким образом,

C

2l

.

3

h1h2 h3

3

r12 r23 r31

ln

2

3

R R

2

R

3

3 r

r

r

1

12'

23'

31'

При расположении проводов согласно схеме рис. 25.12 имеем

r12 r23 D; r31 2D; h1 h2 h3 h;

r

r

4h 2

D 2 ; r

4h 2 4D 2 .

12'

23'

31'

Следовательно,

C

2l

.

2hD

ln

3

2

2

2

2

R

(4h

D

)

h

D

Пренебрегая влиянием земли, т. е. принимая D ΗΗ h, получим

C 2l .

ln 32 D R

25.6. Метод средних потенциалов для расчета потенциальных коэффициентов и емкостей в системе проводов

Для расчета емкости сложных систем, состоящих из нескольких проводов конечной длины, например емкости радиоантенн, широко используется приближенный метод, предложенный Хоу.

В электростатическом поле потенциал проводника одинаков во всех его точ- ках, заряд же распределяется по поверхности проводника неравномерно. Хоу предложил для вычисления емкости исходить из обратного, по существу, не отвечающего действительности предположения. Именно: предполагается, что заряд распределяется равномерно по поверхности проводников и для линейных проводников — равномерно по их длине. Вычисляется распределение потенциала по поверхности или по длине проводников, и в формулу для емкости вводится среднее значение вычисленных таким образом потенциалов проводников. В соответствии с этим будем называть такой метод м е т о д о м с р е д н и х п о - т е н ц и а л о в. Этот метод, хотя и основан на предположении, не соответствующем реальным условиям, в ряде случаев, например при вычислении емкости системы, образованной параллельными проводами, дает достаточно точные результаты. Объясняется это тем, что неравномерность распределения заряда заметно сказывается лишь на концах таких проводов. Упрощение же расчета достигается весьма большое, так как при заданном распределении заряда потенциал вычисляется по формулам:

Ðèñ. 25.15

							Глава 25. Расчет электрической емкости 97
U	1		ds	è U	1		− dl	.
	4		r		4		r
		s				l

	Предположим, что имеются два отрезка проводов,
	длины которых l1 è l2 (рис. 25.14). Требуется вычис-
	лить потенциальный коэффициент 12. Предположим,	Ðèñ. 25.14
	÷òî q1 0 è q2 0. При этом имеем
	U1 12 q2 .

Пользуясь приближенным методом, предполагаем, что заряд q2 распределен равномерно вдоль второго провода с линейной плотностью −2 q2/l2. Потенциал в некоторой точке первого провода, определяемый зарядом q2, будет равен

U		1		− 2 dl2		q2			dl2	,
		4
1				r		4l			r
			l				2 l
	2						2

причем интегрирование производится вдоль всего второго провода. Среднее значение потенциала первого провода получается в результате интегрирования вдоль первого провода:

U1	1		U1dl1		q					dl dl	2
					2					1		.
	l	1			4l	l	2			r
			l		1			l	l
			1					1	2

Таким образом, искомый потенциальный коэффициент определяется формулой

			1						dl1dl2	.
	12		4l	1	l	2			r
							l	l
							1	2

Выражение для потенциального коэффициента с одинаковыми индексами, например 11 для прямолинейного отрезка провода круглого сечения, может быть найдено путем следующих рассуждений. Предполагаем соответственно принятому допущению, что заряд, находящийся на поверхности провода, равномерно распределен по длине провода. Находим потенциал U, создаваемый этим зарядом в разных точках оси провода, и вычисляем среднее значение U потенциала вдоль оси. Пусть r — расстояние от кольцевого элемента поверхности проводника, имеющего длину dl в направлении оси про-

водника (рис. 25.15), до элемента dl оси проводника, l — длина проводника и r0 — радиус его сечения. Потенциал U в некоторой точке оси, определяемый всем зарядом q проводника, равен

U'	1		q		dl'	.
	4		l		r
				l

98 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Среднее значение потенциала вдоль всей оси будет

U

1

U'dl

q

dl' dl

.

l

2

l

4l

l l

r

Следовательно,

1

dl dl

,

11

4l

2

r

l l

причем наименьшее значение r åñòü r0.

В качестве примера определим, пользуясь мето-

дом средних потенциалов, потенциальный коэф-

фициент 12 для параллельных отрезков проводов,

расположенных на расстоянии D друг от друга и

имеющих одинаковые длины l1 l2 l, причем нача-

ла отрезков лежат на одном перпендикуляре к ним.

Оси координат расположим так, как показано на

Ðèñ. 25.16

рис. 25.16. Имеем

1

l

l

dx1dx2

12

.

4l 2 0

0

D 2

(x2 x1)2

Íî

l x1

l

dx2

d(x2 x1)

l x1

x1

Arsh

Arsh

.

0

D 2 (x2 x1)2

x1

D 2 (x2 x1)2

D

D

Следовательно,

1

l

l x1

x1

12

Arsh

Arsh

dx1.

4l

2

0

D

D

Нетрудно убедиться, что

l

l

x1

l

x1

Arsh

dx1

Arsh

dx1.

0

D

0

D

Замечая, что

находим

12

Arsh y dy y Arsh y y d (Arsh y)

y Arsh y

y dy

y Arsh y

1 y 2

const,

1 y 2

l

l

1

x1

D

x1

x1

x12

2 Arsh

Arsh

1

dx1

4l 2

D

2l 2

D

D

D 2

0

0

1

D

l

l

l

2

1

l

D

2

D

Arsh

1

1

Arsh

1

.

2l

D 2

l 2

l

D

D

2l

D

l

Глава 25. Расчет электрической емкости

99

При вычислении коэффициентов 11 è 22 с одинаковыми индексами для прямолинейного проводника, имеющего круглое сечение радиуса r0, результат интегрирования приведет к формуле, которая получается из только что полу- ченной формулы путем замены D íà r0. Следовательно,

			1		l			r 2			r
				Arsh				0	1		0	.
	11
			2l		r			l 2			l
					0

Так как при выводе этой формулы наличие другого провода не учитывалось, то емкость уединенного цилиндра конечной длины получается из выражения

C

1

2l

.

11

l

r

2

1

r

Arsh

0

0

r

l 2

l

0

Заметим, что имеет место соотношение

l

l

l

2

Arsh

ln

1

.

r

r

r

2

0

0

0

Ïðè l 00 r0 будет

l

r 2

1

r

1 ln

2l

1

ln

l

ln2 1 ln

l

0,307.

Arsh

0

0

r

l 2

l

r

r

r

0

0

0

0

Следовательно,

C 1

2l

1

2l

.

ln

l

0,307

ln

l

r0

r0

Емкость между цилиндрами найдется из системы уравнений:

U1 11q1 12 q2 ; U 2 21q1 22 q2 .

Принимая q2 – q1 и учитывая, что 21 12 è 22 11, получаем

U1 ( 11 12 ) q1; U 2 ( 11 12 ) q1;

C

q1

1

,

U1 U 2

2( 11 12 )

ãäå 12 è 11 находятся по только что полученным формулам.

Ïðè l 00 r0 è l

00 D имеем

1

2l

2l

1

D

11

12 1

ln

1

ln

1

ln

r0

D

2l

r0

2l

и, следовательно,

C 1

l

,

ln Dr0

100 Часть 4. Теория электромагнитного поля

что совпадает с выведенной ранее формулой для емкости двухпроводной линии передачи (см. § 25.1).

25.7. Вычисление емкости по картине поля

Емкость между двумя цилиндрическими телами большой длины или между двумя телами вращения с общей осью можно вычислить, пользуясь картиной поля, построенной хотя бы приближенным графическим методом, изложенным в §§ 24.15–24.17.

Отношение потока вектора смещения 4D сквозь сечение одной трубки к приращению потенциала U между соседними линиями равного потенциала, согласно уравнениям, приведенным в § 24.17, равно:

для плоскопараллельного поля

4D

p

l

a

1

l;

U

n k

1

4D

2 r

a 2

1

.

для поля тел вращения

U

p n

k

2

Заряд тела равен, согласно постулату Максвелла, полному потоку смещения сквозь сечения всех трубок, начинающихся на теле. Если число этих трубок равно m1, òî q m1 4D. Разность потенциалов между двумя телами равна U1 – U2m2 U, ãäå m2 — число интервалов между соседними линиями равного потенциала. Таким образом,

C

q1

4D

m1

k

m1

,

U

U

U

1

2

m

3 m

2

2

причем для плоскопараллельного поля k3 l/k1, а для поля тел вращения k3 2 /k2. Число k3 задают, приступая к графическому построению поля. Оно определяет форму ячеек поля, т. е. отношение a/n. Числа m1 è m2 находят из построенной картины поля.