Теоретические основы электротехники-3

Глава двадцать восьмая

Расчет индуктивностей

28.1. Общие выражения для взаимной и собственной индуктивностей

В настоящей главе будем рассматривать статические индуктивности. Соответственно магнитные потоки, определяющие эти индуктивности, будем находить при постоянном токе. Статические индуктивности зависят от геометрических параметров, определяющих форму, размеры и взаимное расположение контуров, и от магнитной проницаемости среды, окружающей контуры, а также от магнитной проницаемости вещества самих проводящих контуров. Если const, то индуктивности контуров не зависят от токов в них.

Обратим особое внимание на то, что индуктивности определяются потокосцеплением, т. е. для вычисления индуктивности электрического контура необходимо определить полное число сцеплений единичных линий магнитной индукции с контуром.

Получим общее выражение для взаимной индуктивности двух контуров произ-

вольно заданной формы (рис. 28.1). Ðèñ. 28.1 Предположим, что контуры находят-

ся в воздухе и материал проводников неферромагнитный. Примем всюду 0. Условимся обозначать потокосцепление взаимной индукции буквой с двумя индексами: первый индекс будет указывать, с каким контуром сцепляется поток, второй — каким током обусловливается поток. Будем искать потокосцепление 421 со вторым контуром, обусловленное током i1 в первом контуре.

Представим себе весь проводник второго контура подразделенным на элементарные трубки тока i2 (рис. 28.1). Поток, сцепляющийся с одной из таких трубок, равен линейному интегралу векторного потенциала вдоль оси этой трубки

21 A2 dl2.

l2

На рис. 28.1 заштрихована поверхность, сквозь которую проходит поток 21. Этот поток сцепляется с током di2, протекающим в рассматриваемой трубке

тока и составляющим долю di2/i2 всего тока i2 во втором контуре. Следовательно, он вносит в величину 421 долю, равную

d 421		d i2		A2 dl2.
		i	2	l2

172 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Òàê êàê òîê di2 имеет постоянное значение вдоль всей трубки тока, то его можно внести под знак интеграла. Обозначая через ds2 сечение трубки тока и че- рез J2 плотность тока в этом сечении, можем написать di2 J2ds2. Последнее равенство приобретает вид

d 421		1		(J2 ds2 )(A2 dl2).
		i	2	l
				2

Так как векторы J2 è dl2 имеют одно и то же направление, то (J2 ds2) (A2 dl2)

(dl2 ds2) (A2 J2) и, следовательно,
d 421		1		(J2 A2 )(ds2 dl2).
		i	2	l
				2

Интегрируя по всему сечению s2 второго проводника, получим

421 1 (J2 A2 )(ds2 dl2).

i2 s2 l2

Произведение ds2dl2 есть элемент объема dV2 второго проводника. Поэтому потокосцепление 421 может быть представлено в виде

421 1 J2 A2 dV2 .

i2 V2

Так как мы желаем определить величину 421 как потокосцепление взаимной индукции, обусловленное током i1, то соответственно и векторный потенциал A2 необходимо выразить через ток i1. Согласно изложенному в § 27.2, имеем

A2		V		dV	1
	0		J1			,
	4			r
		1

ãäå V1 — объем пространства, занимаемого первым контуром; r — расстояние от элемента объема dV1 до точки, в которой определяется векторный потенциал, и J1 — вектор плотности тока в точках элемента объема dV1. Подставляя выражение для векторного потенциала в последнее выражение для 421, получаем

421			J1J2		dV	dV	2
	0					1		.
	4i					r
		2 V V
		1		2

Отсюда находим общее выражение для взаимной индуктивности:

M 21	4	21								dV	dV	2
				0				J1J	2		1		.
	i			4 i i							r
	1			1	2 V V
					1		2

Интегрирование должно быть произведено один раз по всему объему первого проводника и другой раз — по всему объему второго проводника, причем r есть расстояние между элементами объемов dV1 è dV2. Полученная формула верна только для однородной в магнитном отношении среды, так как использованное при ее выводе выражение для векторного потенциала справедливо только в этом случае. В частности, и магнитная проницаемость материала самих проводников

Глава 28. Расчет индуктивностей

173

должна быть такой же, как и проницаемость окружающей среды. Как было ранее отмечено, при const взаимная индуктивность не зависит от токов в контурах. Наличие токов i1 è i2 в последнем выражении не противоречит этому положению. Действительно, внеся токи под знаки интегралов, получим в подынтегральном выражении отношения J1/i1 è J2/i2, которые характеризуют распределение токов в проводниках. Но при постоянном токе распределение тока зависит только от формы проводника и не изменяется при изменении тока. Поэтому отношение плотности тока в каждой точке проводника ко всему току полностью определяется формой проводника.

Если бы мы стали определять потокосцепление взаимной индукции 412 с первым контуром, обусловленное током во втором контуре, то, очевидно, полу- чили бы

412	0	J1J2		dV1dV2	.
	4i			r
	1 V V
		1	2

Следовательно, для взаимной индуктивности M12 412/i2 мы имели бы то же самое выражение, что и для M21. Тем самым подтверждается важный вывод, полученный в первой части из условия независимости энергии магнитного поля токов от порядка установления токов, а именно: при const имеет место равенство

Mk p M pk .

Получим общее выражение для собственной индуктивности L контура, пользуясь найденным общим выражением для взаимной индуктивности M21 двух контуров. Представим себе два совершенно одинаковых контура, сближающихся до полного слияния так, что один из них занимает объем другого. После такого слияния, по существу, уже остается только один контур. Из выражения для M21 нетрудно получить выражение для L такого контура, приняв i1 i2 i è V1 V2 V. Имеем

L	0		J J	dV dV'	,
	4i	2
			V V	r

причем J — плотность тока в элементе объема dV; J — плотность тока в элементе dV è r — расстояние между элементами объема dV è dV. Интегрирование производится дважды по объему всего проводника (рис. 28.2).

Приведенное выше выражение для расчета индуктивности L можно получить, используя также соотношение

W1 AJ dVJ (см. § 27.4), связывающее величины W, 2 VJ

J è A. Учитывая, что A	0	J	dVJ	, для индуктивности L
	4
			r
		VJ

Ðèñ. 28.2

2Wì /i 2 находим

выражение, совпадающее с найденным выше при VJ V è VJ VJ .

174 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Выражение для M21 весьма упрощается для контуров из линейных проводников, поперечные размеры сечений которых весьма малы по сравнению с длиной контуров и по сравнению с расстоянием между ними (рис. 28.3). В таком случае нет необходимости делить проводники на

Ðèñ. 28.3

трубки тока. Векторный потенциал в центре элемента dl2 проводника второго контура можно вычислить по формуле (см. § 27.2)

A	0	l	i1 dl1	.
2	4		r
		1

Потокосцепление 421 при этом может быть принято равным потоку 21 сквозь поверхность, ограниченную осью проводника второго контура, т. е.

421 21 A2 dl2		0			i1 dl1 dl2	.
l		4 l		l	r
2			1	2

Разделив 4Α> íà i1, получаем

M			0			dl1 dl2	.
	21
			4	l	l r
				1	2

Представляется возможным упростить и выражение для L контура, образованного из тонкого проводника. Однако упрощенную формулу нельзя при этом привести в точности к тому виду, к которому было приведено выражение для M21, т. е. нельзя свести в формуле для L двукратное интегрирование по объему проводника к двукратному интегрированию по оси проводника, так как такой интеграл обращается в бесконечность.

Упрощение формулы для L контура из тонкого проводника круглого сечения можно выполнить следующим путем. Разделим потокосцепление 4 на две части: 4 4âíåø + 4внутр, причем 4âíåø определяется линиями магнитной индукции, охватывающими весь проводник, следовательно, расположенными целиком во внешней по отношению к проводнику среде, и 4внутр определяется линиями магнитной индукции, проходящими внутри тела проводника. Линии, определяющие величину 4âíåø, проходят сквозь заштрихованную на рис. 28.4 поверхность, ограниченную контуром l2, лежащим на внутренней поверхности проводника. В случае если проводник обра-

Ðèñ. 28.4 зует один виток, то каждая такая линия сцепляется один раз с проводником и, следовательно,

4âíåø âíåø A2 dl2,

l2

ãäå A2 — значение векторного потенциала на контуре l2. Величину A2 можем приближенно вычислить по формуле

			Глава 28. Расчет индуктивностей 175
A	0		i1 dl1	.
	4 l
2			r
	1

Предположим, что весь ток i течет по оси проводника. При этом интегрирование производится по всей оси l1 проводника. Интеграл имеет конечное значение, так как все точки контура l2, в которых определяется A2, лежат на конечном расстоянии r от точек контура l1.

Таким образом,

4			0 i			dl1dl2	.
	âíåø
			4	l	l r
				1	2

Величину 4внутр приближенно можно принять равной внутреннему потокосцеплению в отрезке длиной l1 бесконечно длинного прямолинейного провода круглого сечения, поскольку радиус кривизны контура проводника велик по сравнению с поперечными размерами сечения. Согласно выражению, полученному в ч. I, имеем

4внутр 0 il1,

8

где — абсолютная магнитная проницаемость материала провода. Индуктивность L можно представить в виде

L	4âíåø		4внутр	L		L		,
					âíåø		внутр
	i		i

причем Lâíåø называют в н е ш н е й, а Lвнутр — в н у т р е н н е й индуктивностью. Итак, можем написать следующее упрощенное выражение для индуктивности

контура из тонкого проводника круглого сечения:

L L		L			0			dl1dl2		l1	.
	âíåø		внутр			l	l r
					4					8
						1	2

28.2. Взаимная индуктивность двух круговых контуров

Найдем выражение для взаимной индуктивности круговых контуров, расположенных в параллельных плоскостях так, что их центры лежат на одной прямой, нормальной к этим плоскостям (рис. 28.5).

Искомую формулу получим, выполнив двукратное интегрирование вдоль обоих контуров согласно выражению

M	0	l l		dl1dl2	.
	4			r
1			2
Однако интегрирование уже было выполнено в § 27.16
при отыскании векторного потенциала в поле кругового
тока. Именно для векторного потенциала A2 на оси второ-
го проводника, определяемого током i1, протекающим в
первом контуре, имеем выражение						Ðèñ. 28.5

176 Часть 4. Теория электромагнитного поля

A

0 i1

R1

f (k).

2

2

R2

При этом в соответствии с принятым в § 27.15 обозначением получаем

k2

4R1R2

.

h 2 (R

R

)2

1

2

Здесь R1 è R2 — радиусы контуров и h — расстояние между их центрами. Принято 0 , так как предполагается, что контуры находятся в воздухе.

Функция f(k) изображена в виде кривой на рис. 27.20. Она может быть представлена через полные эллиптические интегралы первого и второго рода согласно выражениям, приведенным в § 27.16. Вектор A2 касателен к оси проводника второго контура и вследствие симметрии имеет одинаковую величину вдоль всего второго контура. Следовательно, потокосцепление взаимной индукции со вторым контуром, обусловленное током i1 в первом контуре, получается равным

421 A2 dl2 A2 dl2 A2 dl2 A2 2R2 0 i1R1R2 f (k).

l2 l2 l2

Таким образом, искомая взаимная индуктивность выражается формулой

	M	421					f (k).
				0	R R	2
		i1			1

28.3. Индуктивность кругового контура

Найдем формулу для индуктивности круглого кольца из тонкого проводника круглого сечения (рис. 28.6). Внешняя индуктивность Lâíåø, определяемая потоком âíåø, линии которого охватывают все сечение проводника, равна взаимной индуктивности между бесконечно тонкими круговыми контурами, один из которых, l1, совпадает с осью проводника и другой, l2, является внутренней, т. е. наименьшей, окружностью на поверхности проводника. Следовательно, полагая в последнем выражении § 28.2 R1 R è R2 R – a,

можем написать

				Lâíåø	0 R(R a) f (k) 1 0 R f (k),
			ãäå a — радиус сечения проводника и R — радиус кольца,
			причем a ΗΗ R. Так как контуры l1 è l2 лежат в одной плос-
Ðèñ. 28.6			кости, то в выражении для k2 следует принять h 0. Имеем
	2		4(R a)R		a2				a 2
k				1			1	1		.
			(R a R)2		4R2 4Ra a2				2R

Следовательно,

					Глава 28. Расчет индуктивностей 177
		a 2				a2
k 1	1			1	1			.
						8R	2
		2R

Величина f(k), входящая в выражение для Lâíåø, может быть определена из кривой на рис. 27.20. Однако для рассматриваемого случая a ΗΗ R можно полу- чить приближенное выражение для f(k). Òàê êàê k 1 1, то приближенно имеем

	2		2
f (k)		k K		E 1 K 2E.
k			k

Можно показать, что при k 1 1 эллиптические интегралы K(k) è E(k) имеют

	следующие приближенные значения:
	K 1 ln		4	1 ln	8R	è E 1 1.
			1 k2		a
	Следовательно,
	Lâíåø 0 R f (k) 1						8R
					0 R ln				2 .
							a

Òàê êàê l1 2R, то внутренняя индуктивность выражается формулой

Lвнутр l1 R . 8 4

Следовательно,

	8R
L 0 R ln		2			R.
	a
			4

Если провод из неферромагнитного материала, то 1 0 è

	L		8R
		0 R ln		175, .
			a

Выражение для внутренней индуктивности получено в предположении равномерного распределения тока по сечению проводника, что соблюдается при постоянном токе. При переменном токе высокой частоты в случае резкого проявления поверхностного эффекта внутренний поток при 0 будет мал, и точнее вычислять индуктивность по формуле

			8R
	L	0 R ln		2 ,
			a

пренебрегая величиной Lвнутр.

28.4. Метод участков

Полученные в § 28.1 выражения для индуктивностей контуров из тонких проводников дают основание ввести метод расчета, основанный на условных понятиях о взаимной индуктивности между участками проводников и об индуктивностях участков проводников.

Ðèñ. 28.8

178 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Пусть имеются два контура. Разобьем первый контур на m участков и второй контур — на n участков (рис. 28.7). Длину k-го участка первого контура обозначим через l1k и длину p-го участка второго контура — через l2p. Разбивая в выражении для M21 интегралы по замкнутым контурам l1 è l2 на суммы

Ðèñ. 28.7 интегралов, взятых вдоль участков контуров, будем иметь

k m p n		0			dl dl
M 21 2 2					1 2	.
	4 l l
k 1 p 1					r
			1k 2 p

Выражение, стоящее под знаком двойной суммы, можем рассматривать как взаимную индуктивность M1k,2p между k-м участком первого контура и p-м уча- стком второго контура. Таким образом,

k m p n

M 21 2 2M1k , 2 p . k 1 p 1

Аналогично можно поступить при вычислении индуктивности контура. Разобьем весь контур на m участков (рис. 28.8). При этом пусть l1k есть отрезок k-го участка по оси проводника, а l2p — отрезок p-го участка по внутреннему контуру, лежащему на поверхности проводника. Хотя для тонкого проводника l1k l2k, но необходимо различать эти два участка, так как в формуле для L интегрирование производится

один раз по оси проводника, другой раз — по указанному внутреннему контуру. Формула для L принимает вид

	k m p m		0			dl	dl
	L 2 2					1	2	Lвнутр .
		4 l l				r
	k 1 p 1
				1k 2 p

Выражение под знаком двойной суммы можно условно рассматривать при

k p как внешнюю индуктивность Lâíåø k-го участка контура и при k p — как взаимную индуктивность Mkp между k-ì è p-м участками контура. При вычисле-

íèè Mkp можно интегрирование по отрезку внутреннего контура l2p заменить интегрированием по отрезку оси l1p òîãî æå p-го участка. Тогда будем иметь

M1k , 2 p 1 M1k ,1p M kp è M1p, 2k 1 M1p,1k M pk .

Учитывая, что Mkp Mpk, получаем

k m	k m p m
L 2Lâíåø k	2 2 2M kp Lвнутр ,
k 1	k 1 p 1

ãäå

Lâíåø k 0

4 l1k l2k

причем dl1 — элемент на оси k-ãî

dl1dl2	; M			0		dl1dl1	,
		kp		4 l l
r						r
					1k 1 p

участка, dl1 — элемент на оси p-го участка.

Глава 28. Расчет индуктивностей

179

В выражении для L во втором члене p k и определенное сочетание индексов k è p встречается только один раз независимо от порядка, в котором они стоят.

Рассмотренный метод облегчает расчет индуктивностей в тех случаях, когда контуры можно разбить на участки, имеющие простую форму, например на прямолинейные отрезки или на дуги окружностей.

28.5. Индуктивности контуров, составленных из прямолинейных отрезков

Формулы для взаимной индуктивности M1k, 2p и индуктивности Lâíåø k участков проводов сходны с формулами для потенциальных коэффициентов отрезков проводов, полученными в § 25.6 по методу средних потенциалов. Различие заключается в множителях, стоящих перед знаками интегралов, и в том, что в формулы для индуктивностей входит скалярное произведение векторов dl1 è dl2, т. е. величина dl1 dl2 cos dl1dl2, где — угол между направлениями элементарных отрезков dl1 è dl2, а в формулы для потенциальных коэффициентов входит произведение dl1dl2 длин отрезков.

В случае когда отрезки l1 è l2 прямолинейны, величина cos одинакова для всех элементов dl1 è dl2 и может быть вынесена за знак интеграла. При этом формула для взаимной индуктивности между этими отрезками приобретает вид

M			0	cos		dl1dl2	.
	12
			4		r
					l1 l2

В формуле для собственной индуктивности Lâíåø прямолинейного отрезка необходимо принять cos 1, и, следовательно,

L			0		dl1dl2	.
	âíåø		4		r
				l l

Эти формулы отличаются от формул для потенциальных коэффициентов 12 è >> только множителями. Имеем

M12					l		l		cos;	Lâíåø					l 2 .
12		0		0		1		2		11		0		0

На это обстоятельство обратил внимание в одной из своих работ Л. А. Цейтлин. Оно имеет важное значение, так как дает возможность имеющиеся в литературе формулы для индуктивностей использовать для вычисления потенциальных коэффициентов и обратно.

В § 25.6 была выведена формула для коэффициентов 12 двух параллельных отрезков прямых проводов одинаковой длины l, расположенных так, что начала отрезков находятся на одном к ним перпендикуляре. Расстояние между осями проводов равно D.

Если направления обхода, которые считаем положительными, для обоих отрезков совпадают, то 0 и cos 1. Если положительные направления обоих отрезков противоположны, то и cos –1. Используя выражения для отношения M12/12, получаем

Ðèñ. 28.9

180 Часть 4. Теория электромагнитного поля

1

l

D

2

D

M =

l 2

Arsh

1

.

0

0

2

l

D

l 2

l

0

Учитывая равенство

l

l

l

2

Arsh

ln

1

,

D 2

D

D

можем написать

l

D

0

l l 2 D 2

l

2 D 2

M =

ln

.

2

D

l

В частном случае при l 00 D получаем

M =

0 l

2l

1

ln

.

2

D

Из последней формулы непосредственно вытекает выражение для внешней индуктивности прямолинейного отрезка проводника длиной l, имеющего круглое сечение радиуса r0, причем r0 ΗΗ l. В этой формуле необходимо заменить D íà

r0 и взять знак плюс. Имеем
			0	l		2l
Lâíåø					ln		1 .
						r
		2
						0

Обратим особое внимание на то, что коэффициенты 12 были вычислены в § 25.6 приближенным методом средних потенциалов, основанным на допущении, что заряд распределен равномерно по длине провода, т. е. что линейная плотность заряда одинакова по всей длине провода. Однако формулы для M è L в этом отношении вполне точны, так как постоянный ток имеет одно и то же зна- чение на всей длине провода.

28.6. Индуктивность прямоугольной рамки

Воспользуемся методом участков для вычисления индуктивности прямоугольной рамки из провода круглого сечения (рис. 28.9). Длины сторон рамки обозна- чим через a è b, радиус сечения — через r0. Пусть a 00 r0 è b 00 r0.

Взаимная индуктивность между взаимно перпендикулярными сторонами рамки равна нулю, так как здесь cos 0. Следовательно, достаточно учесть только взаимные индуктивности между парами противоположных параллельных сторон рамки. Для этих сторон cos –1, так как, перемещаясь вдоль контура рамки, мы обходим противоле-

жащие стороны в противоположных направлениях.

Для сторон рамки, имеющих длину l a è расстояние между осями проводников D b, обозначив через d a2 b2 диагональ рамки, получаем