1. Вторая и третья формы условий равновесия.

2. Введение в кинематику. Задачи кинематики.

1) Уравнения равновесия могут быть записаны иначе: ∑xi=0; ∑MA=0;  ∑MB=0. Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B . ∑MA=0; ∑MB=0;  ∑MC=0. Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A , B и C не должны лежать на одной прямой. При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения: ∑xi=0; ∑Mo=0.  Для пространственной системы параллельных сил могут быть записаны три уравнения равновесия: ∑zi =0; ∑Mix=0;  ∑Miy=0. Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы: ∑xi=0; ∑yi=0;  ∑zi=0 и два уравнения для плоской системы: ∑xi=0; ∑yi=0.  В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

2) Введение в кинематику. Задачи кинематики.

В кинематике изучается движение точки или тела независимо от причин вызывающих или изменяющих его, т. е. независимо от сил.

Объектом изучения в кинематике являются:

• материальная точка- тело конечной массы, геометрическая точка, размерами которого можно пренебречь.

• механическая система - совокупность материальных точек

• абсолютно твердое тело - механическая система, расстояние, между точками которого не меняется.

Задачи кинематики:

а) задать движение материальной точки (системы) это значит дать способ определения положения точки (системы точек) в любой момент времени.

б) определение кинематических характеристик движения точки (скорость, ускорение) по заданному закону движения.

Экзаменационный билет №21

1. Центр параллельных сил.

2. Системы отсчета.

1)Пусть дана система параллельных сил приложенных в точках и направленных в одну сторону (рис. 1.32). Такая система сил может быть приведена к равнодействующей, параллельной заданным силам и направленной в ту же сторону. Так как сила, приложенная к абсолютно твердому телу, есть вектор скользящий, то равнодействующую можно приложить в любой точке на линии ее действия. Выведем уравнение линии действия равнодействующей параллельных сил.

Теорема Вариньона для системы сходящихся сил (теорема о моменте равнодействующей).

Теорема: Момент относительно центра 0 равнодействующей системы сходящихся сил , расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Например, момент силы определяется относительно начала координат по формуле , где h – неизвестно. Воспользуемся теоремой Вариньона: .

2) Система отсчета.Пространство, в котором мы живем, является трехмерным. Это значит, что положение точки в нем характеризуется тремя числами. В двухмерном - двумя числами.

а) прямоугольная система координат, в которой тремя числами - характеризующие положение точки, являются длиныб) цилиндрическая, в которой тремя числами характеризуется положение точки является длины , угол фи , длина Z в) сферическая, в которой тремя числами характеристиками положения точки является длина r, углы и .г) прямоугольная, в которой двумя числами характеризующие положение точки является длины. д) полярная, в которой двумя числами характеризующие положение точки является радиус (радиус-вектор) или расстояние от точки до полюса О и угол Числа,определ положение точки в некоторой системе координат, называется координатными точками.

Экзаменационный билет №22

1. Центр тяжести твердого тела.

2. Радиус-вектор. Траектория. Скорость и ускорение точки.

1. Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам. Радус-вектор: Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

2) )Положение точки в пространстве удобно характеризовать радиус-вектором. Если начало вектора (радиус-вектора) поместить в точку О, то конец вектора опишет кривую наз. годографом (записыватель пути) векторной функции. Если t‒ время, то описывает характер движения материальной точки. Если радиус-вектор разложить по базисным векторам прямоугольной системыкоординат,

Траектория - геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется траекторией.

Скорость Определяется в момент времени t радиус-вектором , который соединяет движущуюся точкуM с центром О.Средняя скорость :вектор скорости приложенных в точке М, направлен в сторону ее движения, совпадает с касательной к траектории в точке М.Ускорение точкиУскорение точки в момент времени наз

Экзаменационный билет №23

1. Методы определения центров тяжести.

2. Способы задания движения. Естественный способ задания движения. Определение скорости при естественном способе задания движения, касательное и нормальное ускорение.

1) Метод симметрии.Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии.В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести Gi с абсциссой yi = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой yi = -a, тогда:yC = Σ(Gixi)/ΣGi = 0.вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.Метод разбиения.Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G', G'', G''', абсциссы центров тяжести этих частей x'C, x''C, x'''C известны.Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:xC = Σ(Gixi)/ΣGi.Метод отрицательных масс.Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.Т.о.приопределении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.2) Пусть точка движется вдоль простр. криволин. траектории. При естественном способе задания движения точки задают:а) траекторию точки б) начало и направление увеличения дуговой координаты в) уравнение движения как функцию времени.Положение точки на траектории определяется расстоянием -закон изменения дуговой координат- закон изменения расстояния. Можно найти положение точки в любой момент времени t и получить значение S от начала отсчета в ту или другую сторону. Пусть движение точки задано естественным способом. Положение точки М на кривой можно описать радиус-вектором .

Из определения скорости точки

;

Производная таким образом:

Вектор ускорения складывается на две составляющие – касательное и нормальное

;

Экзаменационный билет №24

1. Предмет статики. Задачи статики. Сила, точка, эквивалентные силы.Координатный и векторный способы задания движения. Скорость и ускорение.

1)Статика-раздел механики, изучающая равновесие тел, находящиеся под действием внешней нагрузки.Задачи статики :

1)Упрощение приложенных систем сил.2)Установление условий равновесия системы тел.Основные понятия статики:Равновесием тел называется состояние покоя или движение с постоянной скоростью.Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь.Система материальных точек- совокупность материальных точек , взаимодействующих между собой.Абсолютно твердое тело-система материальных точек , расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным.Сила может быть сосредоточенной (т.е. приложенной к одной точке) и распределённой (действует на все точки данного объема или данной части поверхности)Сила- величина векторная и её действие на тело определяется:а)точкой приложения б)числовым значениемв)направлением Прямая по которой направлена сила называют линией действия силы.Совокупность нескольких сил ,действующих на данное тело, называют системой сил. S₁=(G,T,N) S₂=(T,G)Если силы ,действующие на тело или их линия действия сходятся в одной точке ,то такая система сил называется сходящейся .Если силы или их линия действия параллельны ,то такая система сил называется параллельной. параллельная система сил сходящаяся система силЕсли одну систему сил действующих на свободное тело можно заменить другой системой ,но изменяя при этом состояние покоя или движение в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.Система сил под действием которой тело находится в равновесии называется уравновешенной или эквивалентны нулю.|F₁|=|F₂| {F₁,F₂)~0Если данная система сил эквивалента одной силе ,то эта сила называют равнодействующая данной системе .

2) Координатный способ задания движения.Пусть – неподвижная декартовая система координат. Можно задать значения координат точки для каждого момента времени.

Уравнение движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются параметрическими уравнениями траектории точки.Векторный способ задания движения.Движение точки при векторном способе изучения движения задается радиус-вектором r этой точки. – векторное уравнение движения точки. Пусть задает движение точки М, тогда при изменении t точка опишет кривую в пространстве. Эта кривая является траекторией точки.Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется по формуле Ускорение:

Экзаменационный билет №25

1. Аксиомы статики.

2. Поступательное движение твердого тела. Скорость и ускорение твердого тела.

1) Аксиомы статики

а) Аксиома о равновесии системы двух сил

Если на тело действуют две силы ,то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда ,когда эти силы равны по модулю, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. б)Аксиома о добавлении(отбрасывании)системы сил эквивалентной нулю.Действие данной системы сил на тело не изменяется ,если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил(т.е. систему сил эквивалентную нулю).(F₁,F₂,F₃,…Fn)~( F₁,F₂,F₃,…Fn(F₁’,F₂’)) , если {F₁’,F₂’}~0

в) Аксиома параллелограмма сил

Равновесие тела не изменится ,если две силы ,приложенные к одной точке заменить одной силой равной их геометрической сумме.{R}~{F₁,F₂} R=F₁+F₂ R=

г) Аксиома равенства действия и противодействия

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

д) Аксиома отвердевания

Если деформированное тело находится под действием некоторой системы сил в равновесии, то равновесие не нарушается ,если это тело отвердеет ,т.е. станет абсолютно твердым.

Из этой аксиомы следует, что условие равновесия ,являющиеся необходимым и достаточным для абсолютно твердого тела, являются необходимыми, но не достаточными для деформируемого тела.Достаточные условия равновесия деформируемых тел устанавливается в курсе сопромата.

е) Аксиома связей

всякую связь можно отбросить и заменить её реакцией – силой или системой сил.Тело называется свободным, если его движение в пространстве ничем не ограничено. В противном случае тело называется несвободным. А тела, ограничивающие перемещение данного тела называются связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело называются реакциями связи. Т.е. связь-это ограничение, наложенное на движение тела.

Теорема о сложении ускорений (т.Кориолиса) Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного переносного и Кориолисово ускорение.

Получим теперь выражение для ускорения движущейся точки.1)

2) Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любой отрезок, связанный с этим телом, сохраняет неизменное направление в пространстве.При поступательном движении все точки тела имеют в каждый момент времени одинаковые перемещения.Траектории, описываемые точками твердого тела, одинаковы. Теорема: При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.Док-во: выберем две точки А и В твердого тела радиусы векторов этих точек удовлетворяют условию:

Где АВ=const. Продифференцируем это уравнение: получим: Продифференцируем по времени: ;т.е. Уравнения движения точки будут уравнениями движения всего тела. Часто этой одной точкой является центр масс твердого тела. Движение точки в пространстве описывается тремя независимыми уравнениями:

Для плоского случая:

Поступательное движение не накладывает условий на уравнение движения, точки могут описывать какие угодно траектории—как прямолинейные, так и криволинейные. Основное свойство поступательного движения твердого тела определяется теоремой:

При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости и ускорения.

Экзаменационный билет №16

1. Лемма Пуансо. Сложное движение. Основные понятия и определения. Скорость и ускорение при сложном движении.

1)Лемма Пуансо.Силу, приложенную к ТТ, можно переносить вдоль линии ее действия.При определенных условиях эту силу можно переносить даже параллельно своему первоначальному положению. Лемма Пуансо. Действие силы Р, приложенной к ТТ не изменится, если эту силу перенести в любую точку О этого тела – центр приведения, добавив пару сил с моментом, равным моменту силы Р относительно центра приведения. 2) Сложным - называется такое движение точки (тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета. При описании сложного движения точки одну из систем отсчета считают неподвижной (её называют основной), другая же рассматривается как подвижная .

О,X^/,Y^/,Z^/-основная система координат.

O,X,Y,Z- подвижная система координат.

(.) М- движущаяся точка.

В таком случае сразу можно рассматривать три движения: абсолютное, относительное, переносное.

А) Абсолютное движение - называется движение точки по отношению к основной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по отношению к основной система отсчета называется абсолютным ускорением Относительным движением - называется движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительной скоростью и относительным ускорением (r от латинского relativus- относительный). Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета определяется

радиус вектором проведенным в точке М из О₁.Изменение радиус-вектора характеризует движение точки:

Б) Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением. Движущаяся точка в разные моменты времени занимает различное положение в подвижной системе отсчета, т.е. совпадает с различными ее точками. Переносной скоростью и переносным ускорением называют скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.