- •1. Возрастание и убывание ф-ции. Условия монотонности дифференцируемой ф-ции на интервале.
- •2. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.
- •3. Алгоритм нахождения точек локального экстремума
- •4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •5. Достаточное условие выпуклости графика функции.
- •6. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты кривых.
- •7. Функции двух переменных, область определения, линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •8. Частные производные функции двух переменных, их геометрический смыслю
- •9. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- •10. Понятие дифференцируемости функции 2 переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции 2 переменных
- •11. Частные и полное приращение функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных
- •12.Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Производные неявно заданной функции
- •13.Линия уровня, градиент и производная по направлению функции двух переменных. Свойства градиента.
- •14 Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.
- •15.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области.
- •16.Первообразная и неопределённый интеграл.Основные свойства неопределённого интеграла.
- •17.Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределённом интеграле.Примеры подстановок
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей
- •19.Алгоритм интегрирования рациональных дробей.
- •20.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •26. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении знач функции на отрезке.
- •29. Несобств.Инт. С бесконеч. Пределами инт признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт.
- •30. Несобств инт от неогранич ф-й. Признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт
- •31. Геометрические приложения опред инт
- •33. Понятие ду его общего и частного решений. Задача Коши. Теорема сущ и единственности решения задачи Коши.
- •2)Однородные ду:
- •3)Линейные ду
- •4)Уравнение Бернулли
- •36)Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка, теорема о структуре общего решения
- •37)Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэфф.
- •38)Линейные неоднородные ду, теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных
- •39. Метод неопределенных коэфф. Для решения лнду с постоянными коэфф. И специальной правой частью
- •40. Методы решения лнду. Теорема о наложении решений лнду
- •41.Системы ду. Сведение систем к одному ду.
- •42.Понятие оригинала и изображения. Основыне свойства преобразования Лапласа.
- •44. Применение операционного исчисления для решения ду. Примеры
- •45.Численные методы решения ду
- •46.Интегралы по фигуре, их свойства, геом и физ смысл
- •47.Двойной интеграл, его свойства, геом и физ смысл
- •48.Тройной интеграл, его свойства. Геом и физ приложения
29. Несобств.Инт. С бесконеч. Пределами инт признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт.
При введение опред. определенного инт. предполагали что 1) пределы интегрирования конечны и подинт. ф-я ограничена на отрезке интегрирования.
Несобств.инт. явл обобщ.понятием определенного интеграла на случ.бесконечного отрезка интегрирования или неогр.ф-и.Основная идея построения несобств.инт.(график)
Отступает от особенности внутрь отрезка интегрирования так, чтобы сущ.опред.инт. и переходит к пределу
Пусть ф-я f(x) опред. и интегрируема на любом отрезке от а до b (b>a). Несобств.инт с бесконеч. верхним пред. интегр. наз. предел: причем если этот предел сущ и конечен, то интегрирование наз сходящимся в противном случ сходящимся
ПРИМЕР
ПРИМЕР
Аналогично определяется несобст.инт с бесконечным нижним пределом
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, хотя бы одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].
Начнем с интегралов по бесконечному промежутку. Пусть I –один из промежутков вида: (−∞, a], [b, + ∞) или(−∞, + ∞).Пусть далее на промежутке I определена функция f (х), которая является интегрируемой на любом конечном промежутке, содержащемся в I.Тогда несобственный интеграл по промежутку I рассчитывается следующим образом:
если предел существует и конечен, в этом случае соответствующий интеграл называется сходящимся; если предел не существует или не является конечным, интеграл считается расходящимся.Если наряду со сходимостью интеграла от функции f (x) по промежутку Iимеет место и сходимость интеграла от модуля этой функции, то такая сходимость называется абсолютной.
30. Несобств инт от неогранич ф-й. Признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт
Пусть на промежутке I (a, b] или I [a, b) или I [a, b] задана функция f , которая имеет на этих промежутках единственную«особенность» – точку c,в окрестности которой функция не является ограниченной. Точка c a для первого, c b для второго и c∈(a, b)для третьего промежутков. Предположим далее, что функция f интегрируема на любом замкнутом промежутке, целиком лежащем в I. Тогда можно определить несобственные интегралы следующего вида:
если предел существует и конечен, в этом случае соответствующийинтеграл называется сходящимся; если предел не существует илине является конечным, интеграл считается расходящимся.Если наряду со сходимостью интеграла от функции f (x) попромежутку I имеет место и сходимость интеграла от модуля этойфункции, то такая сходимость называется абсолютной.
Признаки сравнения несобственных интегралов:
1) непредельный: пусть 0 ≤ f (х) ≤ g(х), x ∈ I; тогда
а) если сходится интеграл от функции g(x) по промежутку I, то и сходится и интеграл от функции f (x) по этому промежутку;
б) если же расходится интеграл от функции f (x) по промежутку I, то и расходится и интеграл от функции g(x) по этому промежутку;
2) предельный: если существует конечный отличный от нуля
Пределгдеc a в случае I (a, b], c b для I [a, b) и c∈(a, b)для I [a, b], то несобственные интегралы отфункций f (x) и g(x) по промежутку Iсходятся (или расходятся)одновременно.
Интеграл видачасто используется при применении признаков сравнения для несобственных интегралов от неограниченных функций.