-
Выбор алгоритма стабилизации маятника
Для некоторых приложений важно обеспечить быстрейшее затухание колебаний, которое не обеспечивается естественными факторами — сопротивление воздуха и трение. Будем рассматривать пример строительного крана, который перемещает груз на тросе длиной 10 м.
Система автоматической
стабилизации реализует принцип
отрицательной обратной связи — измеряется
состояние маятника (угол
,
угловая скорость
);
на основе текущей информации по некоторому
алгоритму формируется управляющее
воздействие —
момент
,
который прикладывается к маятнику.
Математическая модель системы управления:
Примем простейший пропорциональный алгоритм управления (P-алгоритм)
где параметр
настройки
выберем путем многократной компьютерной
имитации.
Отредактируем
математическую и компьютерную модели.
Подберем новые значения коэффициентов
объекта
и
при начальном отклонении 0.2 (рад) так,
чтобы колебания затухали через 5 периодов.
После чего подберем
,
чтобы груз быстро стабилизировался.
где
– время процесса при ограничении на
форму процесса.
Компьютерная
модель объекта представлена на рисунке
2.1.
подобраны из условия адекватности
колебаний в модели «реальной» ситуации.
Рис. 2.1
Так ведет себя объект при отклонении 0.2. Как видно из графика на рис. 2.2, необходимо управлять объектом с целью успокоения колебаний. Необходимо построить систему управления, реализующую принцип отрицательной обратной связи.
Рис. 2.2
На рис. 2.3 приведен результат (2 линия).
Рис. 2.3
Как видно из рис. 2.3, СУ с P-регулятором не обеспечивает монотонный процесс.
Усложним алгоритм управления – примем PD-алгоритм (рис. 2.4)
Рис. 2.4
График с результатом можно увидеть на рис. 2.3. (3 линия).
-
Временные и частотные характеристики элементов и систем управления
Свойства систем управления определяются характеристиками элементов и структурой их взаимосвязи.
-
Временные характеристики (вх)
Представляет собой реакции на типовые воздействия при нулевых начальных условиях. Часто используются типовое воздействие в виде единичной ступеньки
.
Пример 1. Апериодическое звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка
где k – коэффициент усиления, T – постоянная времени. Передаточная функция звена имеет вид:
На рис. 3.1 представлена Simulink-модель испытательного стенда.
Рис. 3.1
На рис. 3.2 приведены результаты исследования для различных значений параметров звена.
Рис. 3.2
Пример 2. Колебательное звено.
,
где: k –
коэффициент усиления, T
– постоянная времени,
1
– коэффициент демпфирования. Передаточная
функция звена имеет вид:
где
Как видно из кривых
на рис. 3.3, с ростом коэффициента
демпфирования уменьшаются колебания
процессов. При
получается апериодическое звено второго
порядка. Если при
колебания не затухают, то это так
называемое консервативное звено.
Рис. 3.3
-
Частотные характеристики (чх)
ЧХ представляет
собой зависимость параметров установившихся
реакций от гармонических сигналов
различных частот. Известно, что
установившаяся реакция устойчивого
линейного объекта на гармонические
сигналы, также является гармоническим
сигналом той же частоты, но другой
амплитуды и фазы. В качестве примера
выберем колебательное звено (3.2) с
параметрами
.
На рис. 3.4 представлен «испытательный
полигон».
Рис. 3.4
Наиболее часто используют амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазо-частотную характеристику (ФЧХ) в логарифмическом масштабе.
Результаты компьютерных экспериментов составлены в таблицу 3.1.
Таблица 3.1
|
ω |
1.0 |
0.5 |
0.2 |
0.1 |
2.0 |
4.0 |
8.0 |
10.0 |
|
Stop time |
30 |
60 |
150 |
300 |
15 |
8 |
4 |
3 |
|
Aуст |
1.66 |
1.24 |
1.03 |
1.01 |
0.317 |
0.0879 |
0.02 |
0.01 |
|
|
4.40 |
1.86 |
0.26 |
0.09 |
-9.98 |
-21.12 |
-33.97 |
-40 |
|
Δt, c |
-1.583 |
-0.815 |
-0.638 |
-0.595 |
-1.379 |
-0.759 |
-0.375 |
-0.309 |
|
|
-1.58 |
-0.407 |
-0.128 |
-0.060 |
-2.758 |
-3.036 |
-3.000 |
-3.090 |
|
|
-90.7 |
-23.32 |
-7.31 |
-3.41 |
-158.03 |
-173.96 |
-171.89 |
-177.05 |
Построим АЧХ секундного маятника при учете сопротивления воздуха:
При условии sin y ≈ y,
где u(t)= sin(wt).
Получили два графика – амплитудную и фазовую частотные характеристики (рис. 3.5, рис. 3.6).
Рис. 3.5
Рис. 3.6
В том случае, когда известна передаточная функция
лчх (диаграмма Боде) в рамках программы MATLAB/Control System Toolbox вычисляется так:
Plant=tf (1, [1, 0.14, 0.98])
bode(plant)
На рис. 3.7 представлена диаграмма Боде.
Рис. 3.7
Вывод: Результаты компьютерных экспериментов по снятию ЧХ близки к точным значениям.