РДЗ 20 Вариант / Методички / 1

41

Якщо k =1, то точка a називається простим нулем.
Із формули c =		f (m) (a)	(m = 0,1, 2,...; f (0) = f ;0!=1) випливає:
m		m!
якщо a є нулем порядку k				функції		f (z) , то
	¢			= ... = f	(k −1)		(a) = 0;	f	(k )	(a) ¹ 0	(2.21)
	f (a) = f (a)

Тобто порядок нуля є порядок найменшої похідної, відмінної від

нуля.

Для того, щоб точка a була нулем порядку k аналітичної функції, необхідно і достатньо, щоб цю функцію можна було в деякому околі цієї точки подати у вигляді:

	f (z) = (z - a)k ϕ(z)	(2.22)
де ϕ(z) – аналітична в точці a і ϕ(a) ¹ 0 .
Якщо точка a	є нулем порядку k функції f (z) , то для функції
g(z) = ( f (z))p	( p ³1) ця точка є нулем порядку pk .
2.8 Ізольовані особливі точки
Точка z0 називається ізольованою особливою точкою функції		f (z) ,

якщо існує такий окіл цієї точки

z - z0

< R , в якому f (z) аналітична

всюди, крім точки z = z0 .

Функція

f (z) розкладається в ряд Лорана в області 0 <

z - z0

< R

k =∞

f (z) = åck (z - z0 )k

(2.23)

k =−∞

аналітичної функції f (z)

Ізольовану особливу

точку однозначної

будемо називати:

1) усувною, якщо в розкладі (2.23) ck

= 0

для k = -1;-2;-3;... , тобто

відсутні від’ємні степені (z - z0 ) .

Функція має скінчену границю в усувній точці:

lim f (z) = c0

m ³1,

z →z0

2) полюсом порядку (або кратності)

якщо в розкладі (2.23)

c−m ¹ 0 ,

ck = 0 для

k = -(m +1);-(m + 2);-(m + 3);..., при

цьому

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

42

	полюс називається простим,			якщо m =1,		і кратним при m >1. В
	цьому випадку:	lim	f (z) = ¥
		z →z0
	Якщо z = z0 полюс		m -го порядку функції			f (z) , то в деякому околі
	цієї точки має	місце f (z) =		1	g(z) , де		g(z) аналітична в
				(z - z0 )m
	точці z = z0 та	g(z0 ) ¹ 0. Для того, щоб				z = z0	була нулем m -го
	порядку аналітичної функції			F(z) , необхідно і достатньо, щоб для
	функції f (z) =	1	точка z = z0 була полюсом m -го порядку.
		F(z)

3) істотно особливою точкою, якщо в розкладі (2.23) нескінчена кількість коефіцієнтів ck ¹ 0 ( k = −1;−2;−3;... ), членів з від’ємними

степенями (z - z0 ) .	В як завгодно малому околі істотно особливої
точки функція f (z)	приймає значення, близькі до довільного числа
(скінченого чи нескінченного). Границя функція				f (z) в	істотно
особливій точці не існує.
2.9 Лишки
Лишком функції	f (z) в ізольованій особливій			точці	z = z0
називається коефіцієнт с–1 ряду Лорана (1.23), тобто
	Res f(z0) = с−1				(2.24)
	c−1 =	1	ò f (z)dz ,		(2.25)
		2πi γ

де γ – коло з центром в точці z0 достатньо малого радіуса (воно не

повинно виходити за межі області аналітичності і не містить всередині інших особливих точок).

Якщо z0 – усувна особлива точка, то Res f(z0) = 0 Якщо z0 – полюс m-го порядку

Res f (z0 ) =	1	lim	d m−1	((z - z0 )m f (z))	(2.26)
			dzm−1
	(m -1)! z→z0

Якщо z0 – простий полюс:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

43

Res f (z0 ) = lim ((z - z0 ) f (z))						(2.27)
		z →z0
	ϕ(z)
Якщо функція f (z) =		,ϕ(z0 )	¹ 0, g(z0) = 0, g’(z0) ≠ 0, тобто z = z0
	g(z)
– простий полюс для f(z), тоді				ϕ(z0 )
	Res f (z0 ) =					(2.28)
				g¢(z0 )

При застосуванні лишків до обчислення інтегралів, використовують основну теорему про лишки:

Нехай функція f(z) є аналітичною на межі Г області G і в самій області G, крім скінченого числа ізольованих точок z1, z2, ..., zn, тоді:

							n
			ò f (z)dz = 2πi å Re s(zk )					(2.29)
			Г				k =1
Приклад 2.17
Обчислити інтеграл ò				1- ez			dz
				z	2	- z
	z		=2

Розв’язок. Функція f(z) в колі |z|≤2 має ізольовані особливі точки z=0 та z=1. Точка z=0 є усувною особливою точкою f(z), тому що:

1- e

z

é

0ù

(1- e

z ¢

- e

z

)

lim

= ê

ú

= lim

= lim

=1

2

2

¢

z - z

ë

0û

2z -1

z →0

z →0

z →0

Res f(0) = 0

Точка z = 1 – простий полюс, за формулою (2.27):

Res f (1) = lim

(1- ez )(z -1)

=1- e.

z(z -1)

z→1

За формулою (2.29):

1- ez

ò

dz = 2πi(Res f (0) + Res f (1))= 2πi(1- e)

z2 - z

z

=2

Приклад 2.18

z + i

Обчислити інтеграл ò

dz

(z +1)

2

(z - i)

z

=3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

44

Розв’язок.

z = i – простий полюс; за формулою (2.27):

Res f (i) = lim

(z + i)(z − i)

= lim

(z + i)

=1

(z +1)2 (z - i)

z→i

z →i

(z +1)2

z = −1 – полюс другого порядку, за формулою (2.26):

æ

(z + i)(z +

1)

2 ö′

æ z + i ö

¢

2i

Res f (-1) =

ç

÷

=

= -

= -1

lim

lim ç

÷

lim

2

÷

2

z

→−1ç

(z + 1)

(z

z→−1è z - i ø

z→−1

(z - i)

è

- i) ø

За формулою (2.29):

ò=3

z + i

dz

= 2πi(Res f (i) + Res f (-1))= 2πi(1+ (-1))= 0

z

(z +1)2 (z - i)

Приклад 2.19

ò(1+ z + z2 )e

1

dz

Обчислити інтеграл

z −2

Розв’язок.

z −2

=1

Розкладемо

підінтегральну

функцію в ряд

Лорана за

степенями

(z − 2)

1

(1+ z + z2 )e

= (7 + 5(z - 2) + (z - 2)2 )×å∞

1

=

z −2

k

k!

k =0 (z - 2)

= (z - 2)2 + 6(z - 2) +

25

+

29

1

+....

3

z -

2

За формулою (2.24)

2

Res f (2) =

29

3

1

ò(1+ z + z2 )e

dz = 2πi ×

29

z −2

3

z −2

=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

45

Приклад 2.20					ctgz
Обчислити інтеграл	ò							dz
					4z -π
Розв’язок.		z		=1
				ctgz				cos z
Знаменник функції						=			дорівнює нулеві в точках
		4z -π					(4z -π )sin z
z = π , z = kπ , k = 0,±1; ± 2;....								Всі ці	точки прості полюси
4

æ	¢		=
çsin kπ = 0,	(sin z)
è			z =kπ

попадають тільки полюси

æ π		ö		ctg z
Res f ç		÷	=
	4			(4z -π )¢
è		ø				z =	π
							4

cos kπ ¹ 0

ö

кола

z

=1

÷ . Всередину

z =

π

ø

та z = 0 . За формулою (2.28):

4

cos z

1

1

=

Res f (0)=

4z -π

= -

4

¢

π

(sin z)

z =0

		ctgz	æ	1		1	ö
			dz = 2πiç		-		÷ .
	zò=1 4z -π			4		π
			è				ø

3 ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

3.1 Визначення перетворення Лапласа. Оригінал та зображення функції

Перетворенням Лапласа	функції f(t), t R називається	функція
F( p) комплексної змінної	p , яка задається рівністю
	F( p) = ∞ò f (t)e− pt dt	(3.1)
	0

Інтеграл Лапласа – невласний інтеграл, що залежить від комплексного параметра p .

Оригіналом називається функція f (t) , яка задовольняє таким умовам:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

		46
1)	f (t) = 0 при t < 0	f (0) = lim f (t)
		t →0+
2)	існують сталі S > 0	і M > 0 такі, що		f (t)		£ MeSt, "t > 0 , при

цьому число S називається показником росту функції f (t) ;

3) на будь-якому скінченому інтервалі [a,b] функція f (t) може мати скінчену кількість точок розриву першого роду.

Найпростішою функцією-оригіналом є одинична функція Хевісайда

(рис. 3.1):

ì1,	t > 0	(3.2)
η(t) = í	t < 0
î0,

			Рисунок 3.1
Вочевидь, якщо довільну функцію ϕ(t)					помножити на одиничну, то
отримаємо наступне:			ìϕ(t),		t > 0
		ϕ(t) ×η(t) = í
			î0, t < 0
Якщо f (t) –	оригінал,		то інтеграл		Лапласа F( p)	збігається
абсолютно і рівномірно на півплощині Re p > S .
Функція F( p)	– аналітична на			цій	півплощині та	називається
зображенням функції		f (t) .
Співвідношення	між	оригіналом		f (t) та зображенням F( p)
символічно записується у			вигляді		∙	∙
				f (t) ¬ F(p) , або		f (t) = F( p) .
					∙	∙

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

47

Надалі позначатимемо: f (t) – оригінал, F( p) – відповідне зображення.

3.2 Властивості перетворення Лапласа Лінійність

n

åck fk (t)

k =1

∙ n

=ck åFk ( p) , де Re ( p) > max(S1, S2 ,...,Sn ) для будь-яких
∙	k =1

сталих ck , для k =1, 2,...,n.
Теорема подібності
	∙	1	æ	p ö
Для довільної сталої α > 0	: f (αt) =		Fç		÷ , де Re p > αS .
	∙	α	è	α ø

Теорема зміщення

eαt	∙			(3.3)
	f (t) = F( p -α) , де Re ( p −α) > S
	∙
Теорема запізнення
	∙			(3.4)
f (t -τ)η(t -τ ) =e− pτ F( p) , де Re p > S, τ > 0
	∙
	ì f (t -τ ), t ³τ		, де τ > 0
Розглянемо функцію g(t) = í		t <τ
	î0,
Графік g(t) одержується з		графіка f (t) зсувом		останнього на
значення τ	вздовж вісі t (рис. 3.2 та рис. 3.3).

Рисунок 3.2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

48

Рисунок 3.3

Таким чином, якщо функція f (t) визначає стан деякого процесу в часі, то функція g(t) описує той самий процес, який почався з

запізненням τ .
Функція Хевісайда із запізненням:	t >τ
ì1,		(3.5)
η(t -τ ) = í	t <τ
î0,

Теорема диференціювання оригіналу

(k)

∙

k

k −1

k −2

¢

k −1

f

(t) = p

F(p) - p

f (0)

- p

-...- f

(0)

f (0)

∙

∙

Зокрема f ¢(t) = pF( p) - f (0)

∙

Теорема диференціювання зображення

(−t)n

∙

n

F

f (t) = d

∙

dp n

Теорема інтегрування оригіналу

(3.6)

(3.7)

(3.8)

t		∙
ò	f (τ )dτ =		1	F ( p)	(3.9)
		∙ p
0
Теорема інтегрування зображення
1	∙	∞			(3.10)
	f (t) = ò F ( p)dp
t	∙	p

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

49

Теорема про згортку (теорема множення або теорема Бореля)

Добуток двох зображень також є зображенням

∙

t

(3.11)

F(p)Ф( p) = ò f (τ )ϕ(t −τ)dτ ,

∙

0

Інтеграл в правій частині називається згорткою функцій

f (t)iϕ(t) .

Позначають її

f (t) *ϕ(t) .

Інтеграл Дюамеля

Якщо

∙.

∙

і

f (t) та

g(t)

неперервно

f (t) = F( p) ,

g(t) =G(p)

∙

∙

диференційовані по t

на інтервалі (0,∞), то

∙

d

t

t

(3.12)

pF ( p)G( p) =∙

ò f (τ )g(t − τ )dτ = f (t)g(0) + ò f (τ )g′(t − τ )dτ

dt

0

0

Диференціювання та інтегрування за параметром

∙

∂f

α2

Якщо

і функції

,

ò f (t,α)dα

є оригіналами по

f (t,α) = F( p,α)

∂α

∙

α1

змінній t , то

∂f (t,α) ∙ ∂F( p,α)

∂α = ∂α

∙

Теорема обертання

α2	∙	α2	(3.13)
та ò	f (t,α)dα = ò F( p,α)dα
α	∙	α
1		1

Якщо f (t) – оригінал, а F( p) – його зображення, то у будь-якій точці неперервності функції f (t) є справедливою формула обернення Мелліна

		1	S +iw
	f (t) =		òF( p)eptdp ,	(3.14)
		2πi
			S −iw

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

50

де інтегрування виконується по будь-якій прямій Re p > S .

Ця теорема вирішує задачу знаходження оригіналу за данним зображенням.

Приклад 3.1

Знайти зображення кусково-неперервної функції, заданої графічно на рис. 3.4.

Рисунок 3.4

Розв’язок:

Запишемо задану функцію в аналітичному вигляді:

	ì0,	t < 0
	ï	0 £ t < 4
	ï3,
	f (t) = í	3	t, 4	£ t < 6
	ï9 -
		2
	ï
	ï	t ³ 6
	î0,

Застосовуючи функцію Хевісайда (3.2) та її запізнення (3.5) поступово запишемо f (t) .

Спочатку запишемо функцію f1(t) , зображену на рис. 3.5

Рисунок 3.5

f1(t) = 3η(t) .

Далі розглянемо функцію f2 (t) , яка при t < 4 співпадає з f1(t) , а при t > 4 обертається у нуль (рис. 3.6). f2 (t) = 3η(t) - 3η(t - 4)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com