РДЗ 20 Вариант / Методички / 1
.pdf51
Рисунок 3.6
Але при t > 4 з’являється залежність f (t) = 9 − 32 t (рис. 3.7).
|
Рисунок 3.7 |
||||
|
æ |
|
3 |
ö |
|
Тому f3 |
(t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + ç9 |
- |
|
t ÷η(t - 4). |
|
2 |
|||||
|
è |
|
ø |
Для t > 6 ця залежність зникає, тобто наша шукана функція набуває вигляду, що наведений на рис. 3.4.
Таким чином
æ |
|
3 |
ö |
æ |
|
3 |
ö |
|
f (t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + ç9 |
- |
|
t ÷η(t - 4)- ç9 |
- |
|
t ÷η(t - 6). |
||
2 |
2 |
|||||||
è |
|
ø |
è |
|
ø |
Щоб знайти зображення цієї функції, використовуючи теорему запізнення (3.4), представимо її у вигляді:
f (t) = 3η(t) +ϕ1(t - 4)η(t - 4)+ϕ2 (t - 6)η(t - 6)
Тобто |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
æ |
|
|
ö |
æ |
|
|
ö |
|||
f (t) = 3η(t) + ç6 - |
|
(t - 4)- 6÷η(t - 4)- ç9 |
- |
|
(t - 6)- 9 |
÷η(t - 6)= |
||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
3 |
è |
|
3 |
ø |
è |
|
|
ø |
|||
= 3η(t) - |
(t - 4)η(t - 4)+ |
(t - 6)η(t - 6) |
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Використовуючи таблицю зображень-оригіналів: |
|
|||||||||||||
∙ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
За теоремою запізнення (3.4) |
||||||||
∙ |
|
3 |
|
|
3 |
|
||
f (t) = |
3 |
|
− |
e−4 p |
+ |
e−6 p |
||
|
2p2 |
2p2 |
||||||
∙ p |
|
|
|
|
||||
3. |
3 Знаходження оригінала по зображенню |
|||||||
Для знаходження |
оригінала f (t) по відомому зображенню F( p) |
застосовують наступні прийоми:
1. Якщо F( p) = QR(( pp)) – правильний раціональний дріб, то його
розкладають на суму простих дробів і для кожного з них знаходять оригінали.
Приклад 3.2
Знайти оригінал для функції F( p) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
p(p − 2)(p2 +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||
Розв’язок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розкладемо F( p) на суму простих дробів: |
|
|
Cp + D |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
||||||||||||
F( p) = |
p(p − 2)(p2 +1) |
= |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
p |
p − 2 |
|
|
p2 +1 |
||||||||||||||||||||
Далі знаходимо коефіцієнти A, B,C, D і отримаємо розклад |
||||||||||||||||||||||||
F( p) = − |
1 |
|
1 |
+ |
1 |
|
1 |
+ |
2 |
|
p |
|
− |
1 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
5 p2 +1 |
5 p2 +1 |
|||||||||||||||||||
|
|
2 p 10 p − 2 |
|
|
|
Використовуючи властивість лінійності і таблицю зображень для елементарних функцій, що наведена в додатку А, маємо оригінал:
f (t) = − 12 + 101 e2t + 52 cost − 15 sin t
2. Застосування теореми про згортку Приклад 3.3
Знайти оригінал для функції F( p) = ( 1 )2 p2 +1
Розв’язок:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
53
|
|
1 |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(p2 +1) ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
За формулою (3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
∙ |
|
t |
|
|
|
|
|||
|
F(p) = |
|
|
|
|
= |
|
|
× |
|
|
=∙ |
ò0 sin(t -τ)sinτdτ = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(p2 +1) |
(p2 +1) |
|
||||||||||||||||||
|
|
(p2 +1)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
τ =t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 ò(cost - cos(2τ - t))dτ = 2 t cost - 4 sin(2τ - t) |
|
τ =0 = |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 t cost - 1 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Застосування теореми про запізнення |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Приклад 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−2 p |
|
|
|
|
|
||||||
Знайти оригінал для функції F( p) = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
p -1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
||||
За |
теоремою |
|
про |
запізнення |
|
|
(3.4), |
якщо |
|
то |
|||||||||||||||
|
|
|
|
f (t) = F( p) , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
τ > 0 . |
|
|
В |
даному |
|
прикладі τ = 2 , |
||||||||
|
f (t -τ) =e− pτ F(p) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∙ |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
e−2 p |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
t−2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
F(p) = |
|
|
|
=e η(t) |
. Тому |
|
|
|
|
=e |
|
η(t |
- 2) . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p -1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
p -1 ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. З теореми обертання випливає формула |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) = åRes(F(p)ept , pk ), |
(3.15) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де |
pk – особливі точки функції F( p) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Зокрема, якщо |
F( p) = |
Q( p) |
– правильний раціональний дріб, |
а всі |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
полюси |
|
pk |
функції F( p) прості, то остання формула матиме вигляд |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
54
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
Q(p |
k |
) |
|
|
P t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) = å |
|
|
|
|
|
|
|
|
e k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R¢(pk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Приклад 3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Знайти оригінал для функції |
F ( p ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
p 2 |
|
+ 4 p + 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язок: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( p +1)( p + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Функція F( p) має прості полюси |
|
p1 = -1, |
p2 = -3 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Якщо F( p) = |
Q( p) |
, то Q( p) =1, |
|
R( p) = p2 + 4 p + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ( p) = 2 p + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (−1) = 2, R (−3) = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тоді за формулою (3.16): |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) = |
|
e−t - |
e−3t |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Приклад 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Знайти оригінал для функції F( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(p +1)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = −1. Це полюс другого |
|||||||
Функція |
F( p) |
має єдину особливу точку |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
порядку. Знайдемо лишок функції F( p)ept |
в цій точці |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
æ |
pe |
pt |
|
ö |
|
|
|
d |
æ |
pe |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ö |
|
|
pt |
¢ |
|
|||||||
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||
Resç |
|
|
|
|
÷ |
= lim |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
× |
( p + |
1) |
|
÷ |
|
= lim (pe |
|
)p |
= |
|||||||||
( p |
+ |
1) |
2 |
|
|
|
( p +1) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
p=−1è |
|
ø p→−1 dp |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø p→−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= lim (ept |
+ ptept )= e−t - te−t |
= (1- t)e−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
p→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За формулою (3.15) |
f (t) = (1- t)e−t . |
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
55
3.4 Розв’язання задачі Коші для звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
Нехай маємо диференціальне рівняння другого порядку
a |
d 2 x |
+ a |
dx |
+ a |
x = f (t) |
(3.17) |
|
dt2 |
|
||||||
0 |
|
1 dt |
2 |
|
x = x(t) – |
||
де a0 , a1, a2 – const , a0 |
¹ 0 , |
f (t) |
– функція-оригінал, |
невідома функція-оригінал.
Будемо шукати розв’язок рівняння (3.17), який задовольняє початковим умовам:
x(0) = x0, x′(0) = x0′ |
(3.18) |
|
∙ |
∙ |
|
Нехай x(t) = X ( p), |
f (t) = F(p) . |
|
∙∙
Застосуємо перетворення Лапласа до обох частин рівняння (3.17), враховуючи теорему про диференціювання оригінала (3.6) і властивість лінійності перетворення Лапласа.
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
- x¢ |
|
||
x¢¢(t) = p2 X ( p) - px(0) - x¢(0) = p2 X ( p) - px |
|
|||||||||||
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∙ |
|
= pX ( p) - x |
|
|
|
|
|
|
|||
x¢(t) = pX ( p) - x(0) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∙ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
a0 (p2 X ( p) - px0 - x0¢ )+ a1(pX ( p) - x0 )+ a2 X ( p) = F( p) |
|
|||||||||||
(a0 p |
2 |
+ a1 p + a2 )X ( p) = F( p) |
+ a0 px0 |
|
¢ |
|
|
|
||||
|
+ a0x0 + a1x0 |
|
||||||||||
|
|
X ( p) = |
F( p) + a0 px0 + a0 x0′ + a1x0 |
(3.19) |
||||||||
|
|
a |
0 |
p2 + a p + a |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Отримали операторний розв’язок |
рівняння. |
Далі по зображенню |
||||||||||
X ( p) |
знаходять |
оригінал |
|
x(t) , |
який |
є розв’язком задачі |
Коші (3.17)–(3.18).
Аналогічно розв’язують лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку.
Приклад 3.7 |
|
|
|
′′ |
+ x = cost, |
′ |
=1 |
Розв’язати задачу Коші x |
x(0) = −1, x (0) |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
56
Розв’язок:
∙
x(t) = X ( p) .
∙
∙
x′′(t) = p2 X ( p) − px(0) − x′(0) = p2 X ( p) + p −1
∙
∙p
cost =
∙p2 +1
Операторне рівняння має вигляд
p2 X ( p) + p −1+ X ( p) = |
|
p |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
p2 +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X ( p)(p2 +1)= |
|
|
|
|
p |
|
|
− p +1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
p |
2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|
|||||
X ( p) = (p2 +1)2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Знайдемо оригінал для X ( p) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∙ |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
1 |
|
|
|
|
||||
sin ωt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
sin t = |
|
|
|
|
|
|||||
|
p2 + ω |
2 |
|
|
p2 +1 |
|||||||||||||||||
∙ |
|
|
|
|
|
∙ |
||||||||||||||||
∙ |
|
2pω |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
2p |
|||||||||
t sin ωt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, t sin t = |
|
|
|
|
||||||||
(p2 + ω2 )2 |
(p2 +1)2 |
|||||||||||||||||||||
∙ |
|
|
|
|
|
|
∙ |
|||||||||||||||
|
|
|
∙ |
1 t sin t − cost + sin t . Це і є розв’язок задачі Коші, тобто |
||||||||||||||||||
Тому X ( p) = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
∙ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x(t) = |
|
1 |
t sin t − cost + sin t |
|||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
57
4. РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНІ ЗАВДАННЯ
4.1 Завдання 1
Обчислити подвійні інтеграли.
1а) òò(x + 2y)dxdy |
D : x = 1; x = 2; y = x; y = |
1 |
x . |
|
2 |
||||
D |
|
|
||
|
|
|
2а) òò(5 − 2y)dxdy
D
3а) òòex+ y dxdy
D
4а) òò(x − 4y)dxdy
D
5а) òòcos(x + y)dxdy
D
6а) òò(x + y)dxdy
D
7а) òò(x2 + y2 )dxdy
D
8а) òòx ydxdy
D
9а) òò(x + y)dxdy
D
D : y = x2; y = 4; x = 0 .
D : y = x; x = 0; y = 1.
D : y = 2 − x2 ; y = x2 .
D : y = x; y = 0; x = π2 .
D : y = x; y = 2x; x = 1.
D : y = x; x + y = 2; y = 0 .
D : x = 0; y = 0; x + y = 1.
D : y = x2; y = x .
10а) òò(3− y)dxdy |
D : x2 = 2y; y = 2 . |
||||||
D |
|
|
|
||||
11а) òòe |
y |
D : y = x2; y = 0; x = 1. |
|||||
x |
dxdy |
||||||
D |
|
|
|
||||
12а) òò( |
|
− y)dxdy |
D : y = |
|
; y = 0; x = 4 . |
||
x |
x |
||||||
D |
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13а) òò(x − 6y)dxdy
D
14а) òò(x2 + 3y2 )dxdy
D
15а) òò(x + 2)dxdy
D
16а) òò(2y − 4y)dxdy
D
17а) òò(x + 3 y)dxdy
D
18а) òò(x + y +1)dxdy
D
19а) òòcos(x + 2y)dxdy
D
20а) òò x2 ydxdy
D
21а) òò y dxdy
D x
22а) òòey dxdy
D
23а) òò(x2 + 3y2 )dxdy
D
24а) òò(2y +1)dxdy
D
25а) òò x dxdy
D y2
26а) òò y dxdy
D x2
58
D : y = x2; y = x .
D : y = x; x + y = 2; x = 0.
D : y = ln x; y = 0; x = e .
D : x = 3y; x = 1; x = 2 .
D : x = 0; y = x; y =1.
D : y = x; y = 2x; y = 2 .
D : y = x; y = π2 ; x = 0 . D : y = x2; y = x .
D : y = x; y = 12 x; x = 2.
D : x + y = 2; y = x; x = 0.
D : y = x; y = x2 .
D : y = x; y = −x; x = 1.
D : x = 3; y = x; xy = 1.
D : x + y = 1; y = 0; x = 0 .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
27а) òòsin( x + y)dxdy |
D : y = 0; y = x; x = π . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x =1- y2 ; x = 0 . |
|
|||||||
28а) òò(2x + 3y)dxdy |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
29а) òò(3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
)dxdy |
D : y = x; y = |
x; x =1. |
||||||||||||||||||
y |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : y = ex ; y = e; x = 0 . |
|||||||||
30а) òò xdxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1б) |
òò |
|
|
x2 + y2 + R2 |
dxdy |
D : x2 + y2 = R2 ; x2 + y2 = 3R2 . |
||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2б) |
òò |
|
|
R2 - x2 - y2 |
dxdy |
D : x2 + y2 = R2; (x ³ 0; y ³ 0) . |
||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3б) òò(x2 + y2 )dxdy |
D : x2 + y2 = 2x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+x2 + y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4б) |
|
|
|
dxdy |
D : y = 1- x |
2 |
; y = 0 . |
|||||||||||||||||||||
òòe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5б) òò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x2 + y2 = R2;(x ³ 0; y ³ 0) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R2 - x2 - y2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6б) òò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : y = 1- x2 ; y = 0 . |
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ R |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7б) |
òò |
|
|
1+ 2x2 + 2y2 |
dxdy |
D : x2 + y2 = 4. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8б) |
òò(1+ |
y |
)dxdy |
D : x2 + y2 =1; y = x; y = 0;( y ³ 0) . |
||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9б) |
òò |
|
|
x2 + y2 |
dxdy D : x2 + y2 = 4; x2 + y2 = 2x . |
|||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10б) òòln(x2 + y2 )dxdy D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = e2
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
60
11б) òò |
cos |
|
x2 + y2 |
dxdy |
D : x2 + y2 = |
p2 |
; x2 |
+ y |
2 |
= p2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|
||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12б) òò(2 + x2 + y2 )dxdy |
D : x2 + y2 = 4x . |
|
|
|
|||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4; x = 0;(y ³ 0) . |
|||||||||
13б) òò(3x + 2y)dxdy |
|||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14б) òòarctg |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4; y = x; y = |
x;(y ³ 0) . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15б) òòsin |
x2 + y2 |
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 9; y = -x;(x ³ 0) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16б) òò xdxdy |
|
|
|
|
|
|
D : x2 + y2 = 2y . |
|
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x2 + y2 = 2x . |
|
|
|
|
|
||||
17б) òò ydxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18б) òò(x + y)dxdy |
|
D : x2 + y2 = 6x; x2 + y2 = 2x . |
|
||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19б) òòex2 + y2 dxdy |
|
D : x2 + y2 = 4; y = 0;( y ³ 0) . |
|
|
|||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20б) òò |
|
x2 + y2 + 2 |
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x2 + y2 = 4; x2 + y2 = 9; y = x; y = -x;(x ³ 0) . |
|
|
|
||||||||||||||||||
21б) òò |
|
4 - x2 - y2 |
dxdy |
D : x2 + y2 = 2x . |
|
|
|
||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com