Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, явный метод Эйлера
В простейшем случае можно представить решение системы уравнений химической кинетики как первые два члена в разложении в ряд Тейлора:
Этот метод является одношаговым явным методом первого порядка точности. Если скорость фотохимического изменения разбить на продукцию и разрушение, то можно представить этот метод в виде
Преимуществом данного метода является простота реализации, т.к. в правой части стоят только величины явно известные на момент начала шага по времени, кроме того, этот метод является консервативным, т.е. обеспечивает сохранение суммарной массы, т.к. все параметры вычисляются в один и тот же момент времени. Однако этот метод требует очень маленьких шагов по времени, чтобы обеспечить устойчивость.
Если
рассмотреть одну газовую компоненту,
которая может только разрушаться с
постоянной положительной скоростью
,
то для такой задачи существует
аналитическое решение
Это
означает, что на каждом следующем шаге
концентрация этого газа должна быть
меньше концентрации на предыдущем шаге,
т.е.
.
Если применить для этой задачи явный метод Эйлера, то получим решение
Из условия устойчивости ограничение на шаг по времени составляет
А из условия положительности решения ограничение на шаг по времени еще меньше
Таким
образом, для больших значений
шаг
по времени должен быть очень маленьким.
Если вернуться к системе уравнений, то
функцию
условно
может играть
,
т.е. величина, обратная времени жизни.
Соответственно, для вычисления эволюции
долгоживущих газов нужно делать
количество шагов соизмеримых с
коэффициентом жесткости системы.