отчёт_lab2
.docxМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра высшей математики №2
отчет
по лабораторной работе №2
по дисциплине «Статистика случайных процессов»
Тема: Прогнозирование
Студент гр. 3381 |
|
Сучков А.И. |
Преподаватель |
|
Егоров В.А. |
Санкт-Петербург
2018
Цель работы.
Научится решать задачи экстраполяции стационарных случайных процессов с дискретным временем.
Основные теоретические положения.
Пусть Xn – стационарный нормальный случайный процесс с дискретным временем имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию K(n). Задача экстраполяции состоит в выборе оценки значения процесса Xn, зависящей только от значений процесса , таким образом, чтобы минимизировать .
Теоретически задача экстраполяции процесса решается формулой , где справа стоит условное математическое ожидание. Цель задачи экстраполяции заключается в том, чтобы свести нахождение функции прогноза к простым и быстрым вычислениям.
В общем случае обычно находят оптимальную линейную оценку, для чего достаточно решить задачу для нормального процесса с ковариационной функцией K(n). Полученная линейная оценка окажется оптимальной линейной оценкой для исходной задачи.
Постановка задачи.
Задание №1: Пусть спектральная плотность стационарного случайного процесса равна . Построить функции оптимального линейного прогноза.
Задание №2: Пусть спектральная плотность стационарного случайного процесса равна . Найти ковариационную функцию и построить функции оптимального линейного прогноза. Представить процесс в виде скользящего среднего.
Задание №3: Пусть спектральная плотность стационарного случайного процесса равна . Найти ковариационную функцию и построить функции оптимального линейного прогноза стандартным способом и с помощью вычисления условного математического ожидания.
Задание №4: , – ортонормированные случайные величины. Найти ковариационную функцию и построить функции прогноза.
Задание №5: Рекуррентный случайный процесс определяется равенством , где , – ортонормированная последовательность случайных величин, . Вычислить ковариационную функцию и построить оптимальный линейный прогноз.
Выполнение работы.
Задание №1
Дано:
.
Решение:
Запишем спектральную плотность в виде:
;
.
Сравнивая коэффициенты, получим систему уравнений
которая имеет два решения и .
Для того чтобы функция не имела корней внутри единичного круга, следует выбрать решение системы , поэтому
, , , , , .
Следовательно,
Таким образом, прогноз имеет вид
.
Прогноз :
Таким образом,
.
Задание №2
Дано:
Решение: Корреляционная функция K(n) имеет вид:
;
.
Таким образом,
Запишем спектральную плотность в виде
Сравнивая коэффициенты, получим систему уравнений
которая имеет два решения (a = 6, b = –1) и (a = 1, b = –6).
Для того чтобы функция не имела корней внутри единичного круга, следует выбрать решение системы (a = 6, b = –1), поэтому
, , , .
Следовательно,
, , .
Необходимо представить в виде ряда:
.
Таким образом,
.
Задание №3
Дано:
Решение: Используя спектральное представление для ковариационной функции, получим
В спектре присутствуют все кратные частоты, поэтому все коэффициенты функции прогноза отличны от нуля. Корреляционная функция быстро убывает, поэтому следует ожидать прогноз, быстро сходящийся к нулю. Необходимо вычислить коэффициенты функции прогноза. Для этого необходимо записать знаменатель спектральной плотности в виде . Это приведет к равенствам
Сравнивая коэффициенты, получим систему уравнений
которая имеет два решения (a = 6, b = –1) и (a = 1, b = –6).
Для того чтобы функция не имела корней внутри единичного круга, следует выбрать решение системы (a = 6, b = –1), поэтому
,
,
Из последнего равенства следует, что функция прогноза через n моментов времени равна .
Необходимо построить функции оптимального линейного прогноза с помощью вычисления условного математического ожидания:
.
В силу того, что данный процесс является непрерывным марковским, то достаточно рассмотреть . Для векторов, имеющих невырожденное совместное нормальное распределение, условное математическое ожидание является линейной функцией относительно переменной X0, ее можно выразить через векторы математических ожиданий и ковариационные функции случайных векторов и Xm и X0:
.
,
.
Таким образом,
.
Задание №4
Дано:
; ; ; ;
Решение:
.
Ковариационная матрица имеет вид:
Таким образом,
Пусть Y0 = 0.
,
, , , .
.
;
.
Задание №5
Дано:
; ;
Решение:
Ковариационная норма для рекуррентного случайного процесса имеет вид:
Поскольку, , получим:
.
.
.
Выводы.
В ходе выполнения лабораторной работы были получены навыки решения задач экстраполяции стационарных случайных процессов с дискретным временем.