Зачет 2 сем

1. Определение производной функции. Геометрический смысл производной Производной функции в точке называется предел приращения функции к приращению аргумента, когда приращение стремится к нулю Геом смысл Производная в точке равна угл коэфиценту

2. Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)x-x0

3. Определение дифференцируемой функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка называется дифференцируемой на этом промежутке Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке и её функция конечна, тогда функция непрерывна

4. Формула производной сложной функции

5. Алгоритм логарифмического дифференцирования. Пусть дана функция y=f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:lny=lnf(x).Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.(lny)′=(lnf(x))′,⇒1yy′(x)=(lnf(x))′.Отсюда видно, что искомая производная равнаy′=y(lnf(x))′=f(x)(lnf(x))

6. Определение производной 2-го 3-го порядка Производная второго порядка это производная от производной первого порядка

7. Определение дифференциала функции. Дифференциалом в т.х называется главная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента

8. Определение дифференциала второго порядка. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

9. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке

10. Правило лопиталя неопределенность 0/0

24. Первообразная, Теорема о множестве первообразных

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.

Теорема:(О множестве всех первообразных).

Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются первообразными функции f(x), где C – произвольная константа

Доказательство:

Пусть функция F(x) – первообразная функции f(x), тогда F΄(x)=f(x) и (F(x)+C)΄=f(x). Пусть функции F и G – первообразные функции f(x) на промежутке I (нужно доказать, что они отличаются на константу). Тогда (F-G)΄=0  F-G=C (по теореме о функции, имеющей нулевую производную).

Теорема доказана.

Неопределённый интегра́л для функции {\displaystyle f(x)}fx — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция {\displaystyle f(x)}fx определена и непрерывна на промежутке {\displaystyle (a,b)}a.b и {\displaystyle F(x)}Fx — её первообразная, то есть {\displaystyle F'(x)=f(x)}F`x=fx при {\displaystyle a<x<b}a<x<b .то

е С — произвольная постоянная.

26. Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной³функции (по определению)

. (2.1)

Свойство 2. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

, (2.2)

т.е. если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла, то они взаимно уничтожаются.

Свойство 3. Если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, то они взаимно уничтожаются, а к функции добавляется произвольная постоянная величина

27. Инвариантность формулы интегрирования. Пример на использование инвариантности

Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если , то , где u = φ (x) – любая дифференцируемая функция х.

Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того является переменная интегрирования независимо переменной или любой дифференцируемой функции ее.

Пример - неопределенный интеграл

29. Формула интегрирования по частям

Используем формулу интегрирования по частям: 

1)∫Pn(x){e^kx,sin(x),cos(x)} dx : u=Pn(x); dv=остаток+dx

2)∫Pn(x){ln(x),arctg/arcctg...} dx : u=fx; dv=Pn(x)dx

3)∫e^kx{sin/cosx}dx : u=e^kx; dv= все остальное

30.Интегрирование ПРД 1вида:

31.Интегрирование ПРД 2вида:

32.Определение интегральной суммы функции f(x) на отрезке [a,b]

Интегральной суммой  для функции  на отрезке  называется сумма вида.   Причем эта сумма имеет конечный предел  если для каждого  найдется такое число , что при  неравенство  выполняется при любом наборе числе  

33.Определение и обозначение определенного интеграла

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего астичного отрезка ∆х_i стремится к нулю

Теорема Коши: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то определенный инеграл существует

34.Свойства опр. интегралов

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница: 

Теорема 2. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

 

Теорема 3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

 то 

36.  Теорема о среднем значении

Пусть функция  непрерывна на замкнутом промежутке [a,b],

или . Тогда на этом промежутке найдётся точка c такая, что

Доказательство. Из непрерывности функции следует, что она достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Обозначим:

Пусть . В силу свойства 9:

Разделим это неравенство почленно на b–a :

Обозначим . Тогда . Но непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, принимает и все промежуточные значения, т.е.  – это и доказывает теорему для . Если же, то

Умножив обе части этого неравенства на (–1), получим утверждение теоре-мы для .

37.Определение опр.интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если x ∈ [a,b], то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл

с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования. Интег­рал (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 3. Производная интеграла от непрерывной функции по пере­мен­ному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф(x), а так как всякая другая первообразная функции f(x) может отличаться от данной Ф(x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом

38. Пример на интегрирование четных и нечетных функций в симметричном пределе

 Теорема 1. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:

f(–x) = f(x).

(1)

Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:

Теореиа 2. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция: 

f(–x) = – f(x).

(5)

Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен нулю:

39. Несобственный интеграл 1го рода

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке. Тогда для любогоона интегрируема на промежутке, то есть существует интеграл.

Определение 1. Конечный или бесконечный предел этого интеграла при называют несобственным интегралом 1-го рода от функциипо промежуткуи обозначают символом. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае (или не существует ) – расходящимся.

Итак, по определению

..

2..

3.– не существует.

Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.

40.