шпоры по высшей математике 1 семестр 1 курс
.docx1. Матрица
Это прямоугольная таблица, состоящая из m×n элементов и содержащая m строк и n столбцов.
Числовая матрица – все элементы матрицы числа.
Квадратная матрица – m=n.
Операции над матрицами
Сложение – складываются все элементы, стоящие на одинаковых местах (только у равноразмерных).
Произведение – каждый элемент матрицы умножается на число (с).
2 Транспонирование
Транспонированная матрица – это матрица, полученная из матрицы А заменой строк столбцами.
Умножение матриц
Вводится только для согласованных матриц (число столбцов м-цы А должно совпадать со строками м-цы В).
При умножении матриц появляется новая матрица, элементы которой вычисляются по формуле: c11=a11b11+a12b21+…(1 элемент 1 строки умножаем на 1 э-т 1 столбца + 2 э-т 1 с-ки на 2 э-т 2 с-ца, и т.д.)
3. Определители 2 и 3 порядков
Определители вводятся только для квадратных матриц. Определителем (Δ) или детерминалом матрицы А называется число det A.
Для 2-го порядка Δ вычисляется по формуле: a11a22-a12a21 (крест накрест).
Для 3-го порядка по правилу треугольников.
Свойства: 1) Δ единичной матрицы =1. 2) Δ треугольной матрицы = произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 3) det(A*B)=detA*detB. 4) если строка или столбец = 0, то Δ=0.
4.Определитель n-го порядка
Определитель n-го порядка находится либо разложением по элементам строки (столбца), либо приведением определителя к треугольному виду.
Миноры и алгебраические дополнения
Минор матрицы А соответствующей элементу Aij – это Δ (n-1) порядка, получаемый путём вычёркивания i-ой строки или j-го столбца. Aij=(-1)i+jMij называется алгебраическим дополнением к элементу aij.
Разложение определителя
Δ раскладывается по элементам i-ой строки или j-го столбца по формуле: Δ = ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin
5. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы
Обратная матрица существует только для квадратных матриц.
Если обратная матрица существует, то она единственна.
Матрица А-1 обратная А, если выполняется условие: А-1А=А А-1=Е (единичная матрица).
Для того чтобы матрица А была обратной, необходимо чтобы она была невырожденной (Δ не должен =0).
Матрица, состоящая из алгебр. дополнений, полученная путём транспонирования называется союзной (Ас).
Вычисление
обратной матрицы: 1) Находим Δ
0,
2) Вычислем алгебр. доп., 3) Строим Ас
и
вычисляем:
А-1=
*
Ас
, 4) Делаем проверку А-1А=Е
6. Ранг матрицы
Ранг
матрицы
– это максимальный порядок минора,
отличный от нуля. Способы вычисления:
1)Если существует минор Mk
0
(k
- какой-то порядок минора) и все Mk+1=0,
то ранг М=k.
2) Метод элементарных преобразований
(матрицу приводят к треугольной и
трапециевидной форме).
Элементарные преобразования
1) сложение 2-х любых строк матрицы. 2) Умножение элементов строки на число.
Теорема о базисном миноре
Базисный минор – это минор, не равный 0, порядок которого равен рангу матрицы.
7. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)
Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b1, b2, b3) – столбец свободных членов. (x1, x2, x3) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.
Решение систем по формулам Крамера
Сначала находим Δ и убеждаемся, что он не равен 0. Затем по формулам Крамера находим определители уже как бы новых матриц с заменой определённого столбца на столбец свободных членов. Находим переменные (x, y, z) по формулам Δx\ Δ и т.д. Делаем проверку.
8. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)
Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b1, b2, b3) – столбец свободных членов. (x1, x2, x3) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.
Матричный метод
Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Находим
союзную матрицу, а затем обратную по
формуле А-1=
*
Ас.
Затем находим переменные (x,
y,
z)
и делаем проверку.
9. Решение произвольных СЛАУ
Берём
обычную систему уравнений, где А –
матрица системы, а добавление к матрице
А столбец свободных членов даёт нам
расширенную матрицу
.
Теорема Кренекера-Капелли
Для
того, чтобы система уравнений была
совместна, необходимо чтобы ранг А =
рангу
.
Если:
1) rA=
=n,
то система имеет единственное решение.
n
– последний член элемента (a1n)
2)
rA=
,
то система имеет бесконечное кол-во
решений.
10. Векторы в пространстве
Вектор
– это направленный отрезок.
– свободный;
– имеющий точку приложения. Длина
вектора – модуль.
Линейные операции над векторами
1)
сложение (по правилу треугольника и
параллелограмма). Суммой 2 векторов
и
явл.
,
начало которого совпадает с началом 1
вектора (
),
а конец - с концом 2 вектора
.
2)
вычитание (
.
Разностью
и
явл.
,
конец которого совпадает с концом
,
а начало - с концом
.
3)
умножение на число (Условия: 1) существует
;
2)
и
направлены одинаково если с
0.
11. Координаты вектора в пространстве.
3
вектора (
)
образую
базис в пространстве если они взаимно
⊥
и имеют единичную длину.
=ax
+ay
+az
=
(x2-x1,
y2-y1,
z2-z1).
=
– длина
вектора
Направляющие косинусы вектора
ax
= ПрOx
=
*cosα; ay
= ПрOy
=
cosβ;
az
= ПрOz
=
cosγ;
cosα=
Проекции вектора на ось
образованный
с помощью осей Ox,
Oy,
Oz,
образует углы
α,
β, γ.
12. Скалярное произведение 2 векторов
Это
число, равное произведению длин этих
векторов на cos
угла между ними.
*
=
*
cosφ
Свойство:
1)
*
=
*
2)
(
*
)
=
*
*
)
3) Скалярное произведение на число = произведение числа на один из векторов и * на 2 вектор.
4)
*
=0,
если
вектора
и
явл. Ортогональными (
⊥
).
13. Векторное произведение 2 векторов
Векторным
произведением 2 векторов
и
явл.
,
который удовлетворяет условиям: 1)
⊥
,
;
2)
,
,
– правая тройка векторов. 3)
=
*
sinφ
(модуль произв. 2 векторов – площадь
параллелограмма)
Свойство:
1)
=
-
2)
=
+
3)
=
0 если
//
14. Смешанное произведение 3 векторов
Это число = скалярному произведению 3-го вектора на векторное произведение 2-х первых векторов.
*
*
= (
)
-
объём параллелепипеда.
Свойство:
1)
От перемены мест множителей произведение
не меняется.
=
=
2)
Если умножить на число, то оно умножается
с одним из членов произведения.
3)
(α-
β)(
= α(
+
β (
15. Базис в пространстве
Компланарные векторы лежат в одной плоскости.
3 любых некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.
Разложение вектора по базису
Любой
вектор можно разложить по базису таким
способом: допустим B
(
,
)
– базис, а (α,
β, γ)
координаты определённого вектора,
например
.
Тогда разложение
по базису имеет вид:
=
α
+
β
+
γ
16. Прямая на плоскости
Вектором
нормали
называется вектор перпендикулярный
плоскости. Пусть вектор
= (𝐴,
𝐵)
является вектором нормали к прямой 𝑙.
Произвольная точка плоскости 𝑀(𝑥,
𝑦)
принадлежит прямой 𝑙
тогда и только тогда, когда
⊥
,
т.е. скалярное произведение этих векторов
*
=
0
Её уравнения
1) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали 𝐴(𝑥–𝑥0)+𝐵(𝑦−𝑦0)=0
2) Общее уравнение прямой: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
17. Различные уравнения плоскости
а) Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0
б)
Уравнение проходящее через точку
M0(x0,y0,z0)
и ⊥
вектору нормали
(A,B,C):
A(x-x0)
+ B(y-y0)
+C(z-z0)=0
в) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
г)
Уравнение плоскости в отрезках:
18. Угол между плоскостями
Допустим,
мы имеем 2 уравнения плоскости (α: A1x
+ B1y
+ C1z
+ D1
= 0
и β: A2x
+ B2y
+ C2z
+ D2
= 0)
и нам нужно вычислить угол между 2
плоскостями – двугранный
угол.
Он вычисляется по формуле: cos
=
(отношение произведения
1*
2
к произведению модулей векторов
нормали).
Взаимное расположение плоскостей
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.
α1//α2
– коллинеарные ⇒
=
=
– условие
параллельности.
α1⊥α2
⇒
⊥
⇒
*
=0.
=0
– условие
⊥.
19. Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой в пространстве
1) Параметрическое уравнение: x=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt
(m,n,p)
– направляющий вектор прямой (l),
который параллелен этой прямой. M0(x0,
y0,
z0)
∈l.
2)
Каноническое уравнение:
=
=
3)
Уравнение прямой проходящей через 2
точки:
=
=
4)
Общее уравнение прямой в пространстве:
20. Угол между прямыми и их взаимное расположение
Допустим,
мы имеем 2 (канонических) уравнения
прямых, а также их направляющие векторы
1
и
2.
Тогда угол между 2 прямыми
можно найти по формуле: cos
=
Условие
//-ти:
1
//
2
⇒
=
=
Условие
⊥-ти:
Расстояние от точки до прямой в пространстве
У
нас есть уравнение прямой
=
=
,
её направляющий вектор
(m,n,p)
и точка не принадлежащая этой прямой
M(x1,y1,z1).
Расстояние от точки до прямой определяется
по формуле:
21. Угол между прямой и плоскостью.
Допустим,
у нас есть каноническое уравнение
прямой
=
=
и уравнение плоскости Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0.
Тогда угол между прямой и плоскостью
можно найти по формуле: Sin
=
22. Взаимное расположение прямой и плоскости
Условие //-ти: Am+Bn+Cp = 0
Условие
⊥-ти:
Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.
23. Эллипс
Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, расстоянием от которых до 2 заданных точек называется фокусами есть величина постоянная.
Вывод канонического уравнения
+
= 1
Геометрические свойства
1) Эллипс является кривой 2-го порядка.
2) Является ограниченной фигурой.
3) Является симметричной фигурой, оси симметрии Ox, Oy.
4) a – большая ось; b – малая ось; Вершины: А1(а,0); А2(-а,0); В1(0, b); В2(0, -b);
5)
=
– эксцентриситет эллипса; 0
1.
6)
Прямые
x
=
– директриса эллипса. При
=1 ⇒
а=с; а=b
– уравнение окружности.
+
=
24. Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний для 2 заданных точек называется фокусами есть величина постоянная.
Вывод канонического уравнения
-
= 1
Геометрические свойства
1) Является кривой 2-го порядка.
2) Является неограниченной кривой.
3) Является симметричной фигурой.
4) Пересекает Ox в 2 точках, не пересекает ось Oy. a – действительная полуось; b – мнимая полуось;
5)
=
– эксцентриситет эллипса;
1.
6)
x
=
– директриса.
1
7)
y
=
x
– асимптоты
25. Парабола
Парабола – геометрическое место точек плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки называется фокусом и до определённой прямой L, называемой директрисой. (F∉L)
Вывод канонического уравнения
p-
(параметр) расстояние от F
до L.
F(
;0)
– фокус параболы. x=
.
Уравнение: y2=2px
Геометрические свойства
1) Является кривой 2-го порядка.
2) Симметричная фигура, ось симметрии – Ox.
3) Неограниченная фигура
4)
= 1
– эксцентриситет
26. Числовая последовательность
Если каждому натуральному числу из множества N поставлено в соответствие некоторое число или величина, то множество последних образует последовательность. xn – числовая последовательность.
Предел
Число a называется пределом числовой последовательности, если для любого положительного числа существует N-число, такое, что для всех номеров N последующий больше, чем это число по модулю.
Теорема о сходимости
Если
xn
имеет
предел, то он единственный. xn
наз.
ограниченной, если существует n
и все члены удовлетворяют
M,
n
N
27. Предел функции
Если к каждому числу из множества x поставлено в соответствие одно число и множество y, то на множестве x задана функция y=f(x)
Число
b
называется пределом функции f(x)
при x→a,
если для любого положительного
существует положительная дельта,
зависящая от
Теорема о существовании предела функции
Для того, чтобы f(x) имела предел в точке a, необходимо чтобы левый и правый пределы были равны.
28. Односторонние пределы функции
Левый и правый пределы называют односторонними пределами.
1)
Число b
называется правым пределом функции
при x→a
справа если для всех
0
существует дельта от
,
такой что 0
следовательно
модуль f(x)-b
,
следовательно x
2)
Число b
называется левым пределом функции при
x→a
слева если для всех
0
существует дельта от
,
такой что -b
следовательно модуль f(x)-b
,
следовательно x
Теорема о существовании предела функции
Для того, чтобы f(x) имела предел в точке a, необходимо чтобы левый и правый пределы были равны.
29. Бесконечно-малые и их свойства.
Бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Функция α(x) – бесконечно-малая при x→a, если lim α(x) = 0.
При
x→a
lim
=
предел не существует.
Основные свойства
1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.
3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м.
4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.
6°
Функция 
,
обратная
к б.м функции α(x)
0,
есть функция бесконечно большая. Верно
и обратное.
30. Бесконечно-большие функции.
Бесконечно
большая функция
– это функция, предел которой
стремится к
.
Теорема о связи бесконечно-большой и бесконечно-малой функции
Теорема.
Функция обратная бесконечно малой,
является бесконечно большой и наоборот.
Доказательство: Пусть предел функции
равен 0, а сама функция не = 0, при x→a,
т.е. задаём бесконечно-малую функцию
.
Тогда для любого числа 
существует
такое число дельта
,
что для всех x,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство 
,
т.е.
.
А из этого следует, что функция 
-
бесконечно большая.